Теорема существования Пеано

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , в частности , в изучении обыкновенных дифференциальных уравнений , то теорема существования Пеано , теорема Пеана или теорема Коши-Пеано , названная в честь Джузеппе Пеано и Огюстен Луи Коши , является фундаментальной теоремой , которая гарантирует существование решений для некоторых начальных задач .

История [ править ]

Пеано впервые опубликовал теорему в 1886 году с неверным доказательством. ^[1] В 1890 году он опубликовал новое правильное доказательство, использующее последовательные приближения. ^[2]

Теорема [ править ]

Пусть D - открытое подмножество R × R с

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$

непрерывная функция и

${\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}$

непрерывное , явный дифференциальное уравнение первого порядка , определенное на D , то каждая начальная задача

${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$

для f с имеет локальное решение${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$

${\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }$

где это соседство из в такое , что для всех . ^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}$${\displaystyle x\in I}$

Решение не обязательно должно быть уникальным: одно и то же начальное значение ( x ₀ , y ₀ ) может привести к множеству различных решений z .

Связанные теоремы [ править ]

Теорему Пеано можно сравнить с другим результатом существования в том же контексте, теоремой Пикара – Линделёфа . Теорема Пикара – Линделёфа предполагает большее и большее количество выводов. Это требует липшицевой непрерывности , а теорема Пеано требует только непрерывности; но он доказывает как существование, так и единственность там, где теорема Пеано доказывает только существование решений. Для иллюстрации рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$ на домене ${\displaystyle \left[0,1\right].}$

Согласно теореме Пеано, это уравнение имеет решения, но теорема Пикара – Линделёфа неприменима, поскольку правая часть не является липшицевой ни в какой окрестности, содержащей 0. Таким образом, мы можем заключить существование, но не единственность. Оказывается , что это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет два вида решений , когда начиная с , либо или . Переход между и может произойти на любом C.${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(x)=0}$${\displaystyle y(x)=x^{2}/4}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=(x-C)^{2}/4}$

Теорема Каратеодорьте существование является обобщением теоремы Пеано существования с более слабыми , чем условиями непрерывности.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Осгуд, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл .
• Мюррей, Фрэнсис Дж .; Миллер, Кеннет С. (1976) [1954]. Теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений (Переиздание). Нью-Йорк: Кригер.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.