Дифференциально-алгебраическая система уравнений

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Сфера Природные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , А дифференциально-алгебраическая система уравнений ( Даес ) представляет собой система уравнений , которые либо содержит дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения , или эквивалентен такую систему. Такие системы представляют собой общую форму (систем) дифференциальных уравнений для вектор-функций x от одной независимой переменной t ,

${\ Displaystyle F ({\ точка {x}} (т), \, х (т), \, т) = 0}$

где вектор зависимых переменных и система имеет столько же уравнений, . Они отличаются от обыкновенного дифференциального уравнения (ODE) тем, что DAE не является полностью разрешимым для производных всех компонентов функции x, потому что они не все могут появиться (т. Е. Некоторые уравнения являются алгебраическими); Технически различие между неявной системой ODE [которая может быть выражена явно] и системой DAE состоит в том, что матрица Якоби является сингулярной матрицей для системы DAE. ^[1] Это различие между ODE и DAE проводится потому, что DAE имеют разные характеристики и, как правило, их сложнее решить. ^[2]${\ displaystyle x: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle х (т) = (х_ {1} (т), \ точки, х_ {п} (т))}$${\ Displaystyle F = (F_ {1}, \ точки, F_ {n}): \ mathbb {R} ^ {2n + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial F (u, v, t)} {\ partial u}}}$

На практике различие между DAE и ODE часто заключается в том, что решение системы DAE зависит от производных входного сигнала, а не только от самого сигнала, как в случае ODE; ^[3] эта проблема обычно встречается в системах с гистерезисом , ^[4] , такие как триггер Шмитта . ^[5]

Эта разница будет более отчетливо видна, если систему можно переписать так, чтобы вместо x мы рассматривали пару векторов зависимых переменных, а DAE имела вид${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

где , , и${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Система DAE такой формы называется полуявной . ^[1] Каждое решение второй половины g уравнения определяет уникальное направление для x через первую половину f уравнений, в то время как направление для y является произвольным. Но не каждая точка (x, y, t) является решением g . Переменные в x и первой половине f уравнений получают дифференциал атрибутов . Компоненты y и второй половины g уравнений называются алгебраическимипеременные или уравнения системы. [Термин « алгебраический» в контексте DAE означает только « свободный от производных» и не имеет отношения к (абстрактной) алгебре.]

Решение DAE состоит из двух частей: первая - поиск согласованных начальных значений, а вторая - вычисление траектории. Чтобы найти согласованные начальные значения, часто необходимо рассматривать производные некоторых составляющих функций DAE. Наивысший порядок производной, необходимый для этого процесса, называется индексом дифференцирования . Уравнения, полученные при вычислении индекса и согласованных начальных значений, также могут быть полезны при вычислении траектории. Полуявную систему DAE можно преобразовать в неявную, уменьшив индекс дифференцирования на единицу, и наоборот. ^[6]

Другие формы DAE [ править ]

Отличие DAE от ODE становится очевидным, если некоторые зависимые переменные встречаются без их производных. Тогда вектор зависимых переменных можно записать в виде пары, и система дифференциальных уравнений ДАУ появится в виде${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

где

• ${\displaystyle x}$, вектор в , - зависимые переменные, для которых существуют производные ( дифференциальные переменные ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle y}$, вектор в , - зависимые переменные, для которых нет производных ( алгебраические переменные ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\displaystyle t}$, скаляр (обычно время) - независимая переменная.
• ${\displaystyle F}$- вектор функций, включающих подмножества этих переменных и производных.${\displaystyle n+m}$${\displaystyle n+m+1}$${\displaystyle n}$

В целом набор DAE - это функция

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Начальные условия должны быть решением системы уравнений вида

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Примеры [ править ]

Поведение маятника длиной L с центром в (0,0) в декартовых координатах ( x , y ) описывается уравнениями Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

где - множитель Лагранжа . Импульсные переменные u и v должны быть ограничены законом сохранения энергии, и их направление должно указывать вдоль окружности. Ни одно из условий не является явным в этих уравнениях. Дифференцирование последнего уравнения приводит к${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

ограничение направления движения касательной к окружности. Из следующей производной этого уравнения следует

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

и производная этого последнего тождества упрощается, что неявно подразумевает сохранение энергии, поскольку после интегрирования константа является суммой кинетической и потенциальной энергии.${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$

Для получения уникальных значений производной для всех зависимых переменных последнее уравнение было трижды дифференцировано. Это дает индекс дифференциации 3, который типичен для механических систем с ограничениями.

Если заданы начальные значения и знак y , другие переменные определяются через , а если то и . Чтобы перейти к следующему пункту, достаточно получить производные от x и u , то есть система, которую нужно решить, теперь${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle v=-ux/y}$${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

Это полуявная DAE индекса 1. Другой набор аналогичных уравнений может быть получен, начиная со знака x .${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$

DAE также естественным образом возникают при моделировании цепей с нелинейными устройствами. Модифицированный узловой анализ с использованием DAE используется, например, в широко распространенном семействе числовых симуляторов схем SPICE . ^[7] Аналогичным образом, пакет Fraunhofer Analog Insydes Mathematica может использоваться для получения DAE из списка соединений, а затем упрощать или даже в некоторых случаях решать уравнения символически. ^{[8] [9]} Стоит отметить, что индекс DAE (схемы) можно сделать произвольно высоким за счет каскадирования / связи через конденсаторные операционные усилители с положительной обратной связью . ^[4]

Полуявная DAE индекса 1 [ править ]

DAE формы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

называются полуявными. Свойство index-1 требует, чтобы g была разрешима относительно y . Другими словами, индекс дифференцирования равен 1, если путем дифференцирования алгебраических уравнений для t получается неявная система ОДУ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

которое разрешимо, если${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

Всякая достаточно гладкая ДАУ почти всюду сводится к этой полуявной форме индекса-1.

Численная обработка DAE и приложений [ править ]

Две основные проблемы при решении DAE - это уменьшение индекса и согласованные начальные условия . Для большинства численных решателей требуются обыкновенные дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения вида

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Преобразование произвольных систем DAE в ODE для решения чистыми решателями ODE - нетривиальная задача. Методы, которые могут быть использованы, включают алгоритм Пантелидеса и метод уменьшения индекса фиктивной производной . В качестве альтернативы также возможно прямое решение высокоиндексных DAE с несовместимыми начальными условиями. Этот подход к решению включает преобразование производных элементов посредством ортогонального сочетания конечных элементов или прямой транскрипции в алгебраические выражения. Это позволяет решать DAE любого индекса без перегруппировки в форме открытого уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Как только модель была преобразована в форму алгебраического уравнения, ее можно решить с помощью крупномасштабных решателей нелинейного программирования (см. APMonitor ).

Сговорчивость [ править ]

Несколько мер ДАЕС сговорчивости с точки зрения численных методов были разработаны, например, индекс дифференциации , индекс возмущений , индекс сговорчивости , геометрический индекс , и индекс Кронекера . ^{[10] [11]}

Структурный анализ DAE [ править ]

Мы используем -метод для анализа DAE. Мы строим для DAE матрицу сигнатур , где каждая строка соответствует каждому уравнению, а каждый столбец соответствует каждой переменной . Запись в положении находится , который обозначает самый высокий порядок производной , в которой происходит в , или , если не происходит в .${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \sigma _{i,j}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$

Для маятникового DAE, приведенного выше, переменные равны . Соответствующая матрица подписи${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

См. Также [ править ]

• Алгебраическое дифференциальное уравнение , другая концепция, несмотря на похожее название
• Дифференциальное уравнение задержки
• Дифференциальное алгебраическое уравнение с частными производными
• Modelica Language

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations