Интегро-дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Приказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , интегро-дифференциальное уравнение является уравнением , что включает в себя как интегралы и производные от в функции .

Общие линейные уравнения первого порядка [ править ]

Общее линейное (только по отношению к члену, содержащему производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} u (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, u (t)) \, dt = g (x, u ( x)), \ qquad u (x_ {0}) = u_ {0}, \ qquad x_ {0} \ geq 0.}$

Как это обычно бывает с дифференциальными уравнениями , получение решения в замкнутой форме часто может быть затруднено. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-либо интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.

Пример [ править ]

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

${\ displaystyle u '(x) + 2u (x) +5 \ int _ {0} ^ {x} u (t) \, dt = \ theta (x) \ qquad {\ text {with}} \ qquad u (0) = 0,}$

где

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

- ступенчатая функция Хевисайда . Преобразование Лапласа определяется как

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Обращение преобразования Лапласа с использованием методов контурного интеграла дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

В качестве альтернативы, можно заполнить квадрат и использовать таблицу преобразований Лапласа («экспоненциально затухающую синусоидальную волну») или вызвать из памяти, чтобы продолжить:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Приложения [ править ]

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из науки и техники , например, при анализе цепей. Согласно второму закону Кирхгофа , полное падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению . (По сути, это приложение для сохранения энергии.) Таким образом, цепь RLC подчиняется${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$

где - ток как функция времени, - сопротивление, индуктивность и емкость. ^[1]${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$

Активность взаимодействующих тормозных и возбуждающих нейронов может быть описана системой интегро-дифференциальных уравнений, см., Например, модель Уилсона-Коуэна .

Эпидемиология [ править ]

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиологии , математическом моделировании эпидемий , особенно когда модели содержат возрастную структуру ^[2] или описывают пространственные эпидемии. ^[3]

См. Также [ править ]

• Дифференциальное уравнение задержки
• Дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Уравнение интегроразличия

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, « Теория интегро-дифференциальных уравнений », CRC Press, 1995

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная математика
• Численное решение примера с использованием Chebfun