В математике , теорема существования Каратеодори говорит , что обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение при относительно мягких условиях. Это обобщение теоремы существования Пеано . Теорема Пеано требует, чтобы правая часть дифференциального уравнения была непрерывной, а теорема Каратеодори показывает существование решений (в более общем смысле) для некоторых разрывных уравнений. Теорема названа в честь Константина Каратеодори .
Вступление
Рассмотрим дифференциальное уравнение
с начальным условием
где функция ƒ определена на прямоугольной области вида
Теорема существования Пеано утверждает, что если непрерывно , то дифференциальное уравнение имеет по крайней мере одно решение в окрестности начального условия. [1]
Однако можно также рассматривать дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, например уравнение
где H обозначает функцию Хевисайда, определенную формулой
Имеет смысл рассмотреть функцию рампы
как решение дифференциального уравнения. Однако, строго говоря, он не удовлетворяет дифференциальному уравнению при, потому что функция там не дифференцируема. Это предполагает, что идея решения должна быть расширена, чтобы учесть решения, которые не везде дифференцируемы, тем самым мотивируя следующее определение.
Функция y называется решением в расширенном смысле дифференциального уравнения с начальным условием если у является абсолютно непрерывным , у удовлетворяет дифференциальное уравнение почти всюду и у удовлетворяет начальное условие. [2] Абсолютная непрерывность y означает, что его производная существует почти всюду. [3]
Формулировка теоремы
Рассмотрим дифференциальное уравнение
с участием определенная в прямоугольной области . Если функция удовлетворяет следующим трем условиям:
- является непрерывной в за каждый фиксированный ,
- это измеримо в за каждый фиксированный ,
- существует интегрируемая по Лебегу функция такой, что для всех ,
то дифференциальное уравнение имеет решение в расширенном смысле в окрестности начального условия. [4]
Отображение как говорят, удовлетворяет условиям Каратеодори наесли он удовлетворяет условию теоремы. [5]
Уникальность решения
Предположим, что отображение удовлетворяет условиям Каратеодори на и существует интегрируемая по Лебегу функция, так что
для всех Тогда существует единственное решение к задаче начального значения
Более того, если отображение определяется на всем пространстве и если для любого начального условия существует компактная прямоугольная область такое, что отображение удовлетворяет всем условиям сверху . Тогда домен определения функции открыт и непрерывно на . [6]
Пример
Рассмотрим линейную начальную задачу вида
Здесь компоненты матричнозначного отображения и неоднородности считаются интегрируемыми на каждом конечном интервале. Тогда правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Каратеодори и существует единственное решение начальной задачи. [7]
Смотрите также
Заметки
- ^ Coddington & Levinson (1955) , теорема 1.2 главы 1
- ^ Coddington & Levinson (1955) , стр 42
- ^ Рудин (1987) , теорема 7.18
- ^ Coddington & Levinson (1955) , теорема 1.1 главы 2
- ↑ Хейл (1980) , стр.28
- ^ Хейл (1980) , теорема 5.3 главы 1
- ↑ Хейл (1980) , стр.30
Рекомендации
- Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: McGraw-Hill.
- Хейл, Джек К. (1980), Обычные дифференциальные уравнения (2-е изд.), Малабар: Издательство Роберта Э. Кригера , ISBN 0-89874-011-8.
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157.