Вронскиан

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Сфера Природные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галёркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , то Вронский (или вронскиан ) является фактором , определяющий введенный Юзефа Hoene-Вронский  ( 1812 ) и назван Томас Muir  ( 1882 г. , глава XVIII). Он используется при изучении дифференциальных уравнений , где иногда может показывать линейную независимость в наборе решений.

Определение [ править ]

Вронскиан двух дифференцируемых функций f  и g равен W ( f ,  g ) = f g ′ - g f  ′ .

В более общем плане , для п вещественных - или комплексных значных функций F ₁ ,. . . , f _n , которые n - 1 раз дифференцируемы на интервале I , вронскиан W ( f ₁ , ..., f _n ) как функция на I определяется формулой

${\ Displaystyle W (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) (x) = {\ begin {vmatrix} f_ {1} (x) & f_ {2} (x) & \ cdots & f_ {n} ( x) \\ f_ {1} '(x) & f_ {2}' (x) & \ cdots & f_ {n} '(x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ f_ {1} ^ {(n-1)} (x) & f_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & f_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {vmatrix}} , \ qquad x \ in I.}$

То есть, это определитель из матрицы , построенной путем размещения функций в первом ряду, первая производная от каждой функции во втором ряду, и так далее через ( п - 1) -й производной, тем самым образуя квадратную матрицу .

Когда функции f _i являются решениями линейного дифференциального уравнения , вронскиан можно найти явно, используя тождество Абеля , даже если функции f _i не известны явно.

Вронскиан и линейная независимость [ править ]

Если функции f _i линейно зависимы, то столбцы вронскиана тоже зависят, поскольку дифференцирование является линейной операцией, поэтому вронскиан обращается в нуль. Таким образом, вронскиан можно использовать, чтобы показать, что набор дифференцируемых функций линейно независим на интервале, показав, что он не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках он может исчезнуть. ^[1]

Распространенное заблуждение состоит в том, что W = 0 везде подразумевает линейную зависимость, но Пеано (1889) указал, что функции x ² и | х | · X  имеют непрерывные производные, и их вронскиан всюду равен нулю, но они не являются линейно зависимыми ни в какой окрестности 0 . ^[a] Есть несколько дополнительных условий, которые гарантируют, что исчезновение вронскиана в интервале подразумевает линейную зависимость. Максим Бохер заметил, что если функции аналитические , то исчезновение вронскиана в интервале означает, что они линейно зависимы.^[3] Бохер (1901) дал несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан n функций тождественно равен нулю и n вронскианов n - 1 из них не обращаются в нуль ни в какой точке, то функции линейно зависимы. Вольссон (1989a) дал более общее условие, которое вместе с обращением в нуль вронскиана подразумевает линейную зависимость.

Над полями положительной характеристики p вронскиан может обращаться в нуль даже для линейно независимых многочленов; например, вронскиан x ^p и 1 тождественно 0.

Приложение к линейным дифференциальным уравнениям [ править ]

В общем случае для линейного дифференциального уравнения -го порядка, если известны решения, последнее можно определить с помощью вронскиана.${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п-1)}$

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в обозначениях Лагранжа

${\ Displaystyle у '' = а (х) у '+ Ь (х) у}$

откуда известны. Назовем два решения уравнения и сформируем их вронскиан${\ Displaystyle а (х), Ь (х)}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$

${\ displaystyle W (x) = y_ {1} y '_ {2} -y_ {2} y' _ {1}}$

Затем дифференцируя и используя тот факт, что подчиняются приведенному выше дифференциальному уравнению, можно показать,${\ Displaystyle W (х)}$${\ displaystyle y_ {i}}$

${\displaystyle W'(x)=aW(x)}$

Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен:

${\displaystyle W(x)=e^{A(x)}}$

где ${\displaystyle A'(x)=a(x)}$

Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем . Тогда, по определению вронскиана, подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка:${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$

и может быть решена точно (по крайней мере, теоретически).

Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.

Обобщенные вронскианцы [ править ]

Для n функций нескольких переменных обобщенный вронскиан является определителем матрицы n на n с элементами D _i ( f _j ) (с 0 ≤ i < n ), где каждый D _i является некоторым линейным дифференциальным оператором в частных производных с постоянным коэффициентом порядка я. Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае с 1 переменной, в общем случае обратное неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих частных случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве теоремы Рота . Более общие условия, при которых верно обратное, см. Wolsson (1989b) .

См. Также [ править ]

• Вариация параметров
• Матрица Мура , аналогичная вронскиану с заменой дифференцирования эндоморфизмом Фробениуса над конечным полем.
• Альтернантная матрица
• Матрица Вандермонда

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бохер, Максим (1900–1901). «Теория линейной зависимости» . Анналы математики . Принстонский университет . 2 (1/4): 81–96. DOI : 10.2307 / 2007186 . ISSN  0003-486X . JSTOR  2007 186 .
• Бохер, Максим (1901), «Некоторые случаи, в которых исчезновение вронскиана является достаточным условием для линейной зависимости» (PDF) , Труды Американского математического общества , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , 2 (2): 139 -149, DOI : 10,2307 / 1986214 , ISSN  0002-9947 , JFM  32.0313.02 , JSTOR  1986214
• Бостан, Алин; Дюма, Филипп (2010). «Вронскианцы и линейная независимость». Американский математический ежемесячник . Тейлор и Фрэнсис . 117 (8): 722–727. arXiv : 1301,6598 . DOI : 10.4169 / 000298910x515785 . ISSN  0002-9890 . JSTOR  10.4169 / 000298910x515785 .
• Хартман, Филип (1964), обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1, Руководство по ремонту  0171038 , Zbl  0125.32102
• Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange , Париж
• Мьюир, Томас (1882 г.), Трактат о теории детерминант. , Macmillan, JFM  15.0118.05
• Пеано, Джузеппе (1889), "Sur le déterminant wronskien". , Матезис (на французском языке), IX : 75-76, 110-112, JFM  21.0153.01
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Вронскиан" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Wolsson, Кеннет (1989a), "Условие эквивалентно линейной зависимости для функций с нулевыми вронскиан", Линейная алгебра и ее применения , 116 : 1-8, DOI : 10,1016 / 0024-3795 (89) 90393-5 , ISSN  0024- 3795 , Руководство по ремонту  0989712 , Zbl  0671.15005
• Wolsson, Кеннет (1989b), "Линейная зависимость функции множества т переменных с нулевым обобщены вронскианами", Линейная алгебра и ее применение , 117 : 73-80, DOI : 10.1016 / 0024-3795 (89) 90548-X , ISSN  0024-3795 , MR  0993032 , Zbl  0724.15004