- См. Устойчивость по Ляпунову , где дается определение асимптотической устойчивости для более общих динамических систем . Все экспоненциально устойчивые системы также асимптотически устойчивы.
| Дифференциальные уравнения |
|---|
 |
| Классификация |
| Решение |
В теории управления непрерывная линейная инвариантная во времени система (LTI) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда система имеет собственные значения (т. Е. Полюсы систем ввода-вывода) со строго отрицательными действительными частями. (т.е. в левой половине комплексной плоскости ). [1] Система LTI с дискретным временем ввода-вывода экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда полюсы ее передаточной функции лежат строго внутри единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Экспоненциальная устойчивость - это форма асимптотической устойчивости.. Системы, которые не LTI экспоненциально устойчивы , если их сходимость ограничена по экспоненциальному затуханию .
Практические последствия [ править ]
Экспоненциально устойчивая система LTI - это система, которая не «взорвется» (т. Е. Даст неограниченный выход) при заданном конечном входе или ненулевом начальном условии. Более того, если системе дан фиксированный конечный вход (то есть шаг ), то любые результирующие колебания на выходе будут затухать с экспоненциальной скоростью , а выход будет асимптотически стремиться к новому конечному, установившемуся значению. Если вместо этого в систему будет подан дельта-импульс Дирака в качестве входного сигнала, то индуцированные колебания исчезнут, и система вернется к своему предыдущему значению. Если колебания не затухают или система не возвращается к своему исходному выходу при подаче импульса, система вместо этого является минимально стабильной .
Пример экспоненциально стабильной системы LTI [ править ]
График справа показывает импульсную характеристику двух аналогичных систем. Зеленая кривая представляет собой импульсную характеристику системы , а синяя кривая представляет систему . Хотя один ответ является колебательным, оба со временем возвращаются к исходному значению 0.
Пример из реальной жизни [ править ]
Представьте, что вы кладете шарик в черпак. Он встанет в самую нижнюю точку ковша и, если его не потревожить, останется там. Теперь представьте, что вы толкаете мяч, что является приближением к импульсу дельты Дирака . Мрамор будет катиться взад и вперед, но в конечном итоге осядет на дне ковша. Построение горизонтального положения мрамора с течением времени дало бы постепенно уменьшающуюся синусоиду, похожую на синюю кривую на изображении выше.
Для ступенчатого ввода в этом случае необходимо поддерживать мрамор подальше от дна ковша, чтобы он не мог откатиться назад. Он будет оставаться в том же положении и не будет, как это было бы в случае, если бы система была лишь незначительно устойчивой или полностью нестабильной, продолжать движение от дна ковша под действием этой постоянной силы, равной его весу.
Важно отметить, что в этом примере система не стабильна для всех входов. Сильно толкните мрамор, и он вывалится из ковша и упадет, остановившись только тогда, когда достигнет пола. Поэтому для некоторых систем уместно утверждать, что система экспоненциально стабильна в определенном диапазоне входных данных .
См. Также [ править ]
- Предельная стабильность
- Теория управления
- Пространство состояний (элементы управления)
Ссылки [ править ]
- ^ Дэвид Н. Чебан (2004), Глобальные аттракторы неавтономных диссипативных динамических систем . п. 47
Внешние ссылки [ править ]
- Оценка параметров и асимптотическая устойчивость при хаотической фильтрации , Анастасия Папавасилиу ∗ 28 сентября 2004 г.
