Равномерная ограниченность

В математике , равномерно ограниченная семья из функций является семейством ограниченных функций , что все они могут быть ограниченными по той же константе. Эта константа больше, чем абсолютное значение любого значения любой из функций в семействе.

Определение [ править ]

Реальная линия и комплексная плоскость [ править ]

Позволять

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: от X \ до K, i \ in I \}}$

семейство функций , индексированных по , где произвольное множество , и это множество действительных или комплексных чисел . Мы называем равномерно ограниченным, если существует действительное число такое, что${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle | е_ {я} (х) | \ Leq M \ qquad \ forall i \ in I \ quad \ forall x \ in X.}$

Метрическое пространство [ править ]

В общем случае пусть будет метрическое пространство с метрикой , тогда множество${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: от X \ до Y, i \ in I \}}$

называется равномерно ограниченным, если существует такой элемент из и действительное число , что${\ displaystyle a}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle d (f_ {i} (x), a) \ leq M \ qquad \ forall i \ in I \ quad \ forall x \ in X.}$

Примеры [ править ]

• Всякая равномерно сходящаяся последовательность ограниченных функций равномерно ограничена.
• Семейство функций, определенных для вещественных чисел с перемещением по целым числам , равномерно ограничено 1.${\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin nx}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$
• Семейство производных указанного выше семейства не является равномерно ограниченным. Каждый из них ограничен, но не существует такого действительного числа , что для всех целых чисел${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle |n|,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle |n|\leq M}$${\displaystyle n.}$

Ссылки [ править ]

• Ма, Цой-Во (2002). Банахово-гильбертовы пространства, векторные меры, представления групп . World Scientific. п. 620 стр. ISBN 981-238-038-8.