В математической области анализа , равномерная сходимость является режимом из сходимости функций сильнее , чем поточечная сходимость . Последовательность из функций равномерно сходится к предельной функции на съемочной площадке если, учитывая любое сколь угодно малое положительное число , число можно найти так, что каждая из функций отличаться от не более чем в каждой точке в . Описано неформально, если сходится к равномерно, то скорость, с которой подходы является "единообразным" во всей своей области в следующем смысле: чтобы гарантировать, что падает на определенное расстояние из , нам не нужно знать значение в вопросе - может быть найдено единственное значение независим от , так что выбирая будет гарантировать, что внутри из для всех . Напротив, поточечная сходимость к просто гарантирует, что для любого учитывая заранее, мы можем найти ( может зависеть от стоимости ), так что для этого конкретного , попадает в из в любое время .
Разница между равномерной сходимостью и точечной сходимостью не была полностью оценена на ранних этапах истории исчисления, что приводило к ошибочным рассуждениям. Концепция, впервые формализованная Карлом Вейерштрассом , важна, поскольку некоторые свойства функций, такие как непрерывность , интегрируемость по Риману и, с дополнительными предположениями, дифференцируемость , переносятся на предел если сходимость равномерная, но не обязательно, если сходимость не равномерная.
История
В 1821 году Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, к которому Нильс Хенрик Абель в 1826 году нашел предполагаемые контрпримеры в контексте рядов Фурье , утверждая, что доказательство Коши должно быть неверным. В то время не существовало полностью стандартных понятий сходимости, и Коши обрабатывал сходимость, используя методы бесконечно малых. Говоря современным языком, Коши доказал, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Неспособность просто поточечной сходимости предела непрерывных функций сходиться к непрерывной функции иллюстрирует важность различения различных типов сходимости при обработке последовательностей функций. [1]
Термин равномерная сходимость, вероятно, впервые был использован Кристофом Гудерманом в статье 1838 года об эллиптических функциях , где он использовал фразу «сходимость равномерным способом», когда «режим сходимости» ряда не зависит от переменных а также Хотя он считал «примечательным фактом», что ряд сходится таким образом, он не дал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств. [2]
Позже ученик Гудермана Карл Вейерштрасс , посещавший его курс эллиптических функций в 1839–1840 годах, ввел термин gleichmäßig konvergent ( немецкий : равномерно сходящийся ), который он использовал в своей статье 1841 года Zur Theorie der Potenzreihen , опубликованной в 1894 году. сформулировано Филиппом Людвигом фон Зайделем [3] и Джорджем Габриэлем Стоуксом . Г. Х. Харди сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стоукс и концепция равномерной конвергенции» и отмечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и он один полностью осознал его далеко идущее значение как одной из фундаментальных идей анализа».
Под влиянием Вейерштрасса и Бернхарда Римана эта концепция и связанные с ней вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германом Ганкелем , Полем дю Буа-Реймон , Улиссом Дини , Чезаре Арсела и другими.
Определение
Сначала мы определяем равномерную сходимость для вещественнозначных функций , хотя это понятие легко обобщается на функции, отображаемые в метрические пространства и, в более общем смысле, равномерные пространства (см. Ниже ).
Предполагать это набор ипредставляет собой последовательность действительных на нем функций. Мы говорим последовательностьявляется равномерно сходящимся на с лимитом если для каждого существует натуральное число такое, что для всех а также
Обозначения равномерной сходимости к не совсем стандартизирован, и разные авторы использовали различные символы, в том числе (примерно в порядке убывания популярности):
Часто специальный символ не используется, и авторы просто пишут
чтобы указать, что сходимость является равномерной. (Напротив, выражение на без наречия означает поточечную сходимость на: для всех , в виде .)
С является полным метрическим пространством , критерий Коши можно использовать, чтобы дать эквивалентную альтернативную формулировку для равномерной сходимости: сходится равномерно на (в предыдущем смысле) тогда и только тогда, когда для каждого , существует натуральное число такой, что
- .
В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим
тогда сходится к равномерно тогда и только тогда, когда в виде . Таким образом, можно охарактеризовать равномерную сходимость на как (простая) сходимость в функциональном пространстве относительно равномерной метрики (также называемой метрикой супремума), определяемой
Символично,
- .
Последовательность называется локально равномерно сходящейся с пределом если является метрическим пространством и для каждогосуществует такой, что сходится равномерно на Ясно, что равномерная сходимость влечет локальную равномерную сходимость, что влечет поточечную сходимость.
Заметки
Интуитивно последовательность функций равномерно сходится к если при сколь угодно малом , мы можем найти так что функции с участием все попадают в «трубу» шириной сосредоточено вокруг (т.е. между а также ) для всей области определения функции.
Обратите внимание, что изменение порядка кванторов в определении равномерной сходимости путем перемещения «для всех» «перед» существует натуральное число "приводит к определению поточечной сходимости последовательности. Чтобы сделать это различие явным, в случае равномерной сходимости может зависеть только от , и выбор должен работать для всех , для определенного значения что дано. Напротив, в случае поточечной сходимости может зависеть от обоих а также , и выбор должен работать только для определенных значений а также что дано. Таким образом, равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как показывает пример в следующем разделе.
Обобщения
Эту концепцию можно напрямую распространить на функции E → M , где ( M , d ) - метрическое пространство , заменив с участием .
Самая общая установка - это равномерная сходимость сетей функций E → X , где X - равномерное пространство . Мы говорим, что сеть сходится равномерно с пределом f : E → X тогда и только тогда, когда для каждого окружения V в X существует, такое, что для любого x из E и каждого, в V . В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остается непрерывным.
Определение в гиперреальной обстановке
Равномерная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательностьсходится к f равномерно, если для всех x в области определенияи все бесконечное n , бесконечно близко к (см. микропрерывность для аналогичного определения равномерной непрерывности).
Примеры
Учитывая топологическое пространство X , мы можем оборудовать пространство ограниченных вещественных или комплексных значных функций над X с равномерной нормой топологией, с равномерной метрикой определяется
Тогда равномерная сходимость просто означает сходимость в топологии с равномерной нормой :
- .
Последовательность функций
классический пример последовательности функций, которая сходится к функции точечно, но не равномерно. Чтобы показать это, сначала заметим, что поточечный предел в виде это функция , данный
Поточечная сходимость: сходимость тривиальна для а также , поскольку а также , для всех . Для и учитывая , мы можем гарантировать, что в любое время выбирая (здесь верхние квадратные скобки обозначают округление в большую сторону, см. функцию потолка ). Следовательно, поточечно для всех . Обратите внимание, что выбор зависит от стоимости а также . Более того, при фиксированном выборе, (который не может быть определен как меньший) неограниченно растет как подходы 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерной сходимости.
Неравномерность сходимости: сходимость не является равномерной, потому что мы можем найти так что независимо от того, насколько большой мы выберем будут значения а также такой, что Чтобы убедиться в этом, сначала заметьте, что независимо от того, насколько велик становится, всегда есть такой, что Таким образом, если мы выберем мы никогда не сможем найти такой, что для всех а также . В явном виде, какого бы кандидата мы ни выбрали, рассмотрим значение в . С
кандидат терпит неудачу, потому что мы нашли пример что "ускользнуло" от нашей попытки "ограничить" каждый в пределах из для всех . На самом деле легко увидеть, что
вопреки требованию, что если .
В этом примере легко увидеть, что поточечная сходимость не сохраняет дифференцируемость и непрерывность. Хотя каждая функция последовательности является гладкой, то есть для всех n ,, Лимит даже не непрерывно.
Экспоненциальная функция
Можно показать, что разложение экспоненты в ряд равномерно сходится на любом ограниченном подмножествес помощью М-критерия Вейерштрасса .
Теорема (М-критерий Вейерштрасса). Позволять быть последовательностью функций и разреши последовательность положительных действительных чисел такая, что для всех а также Если сходится, то сходится равномерно на .
Комплексная экспоненциальная функция может быть выражена в виде ряда:
Любое ограниченное подмножество - это подмножество некоторого диска радиуса с центром в начале координат в комплексной плоскости . M-критерий Вейерштрасса требует от нас определения верхней границы по условиям сериала, с независимо от положения на диске:
Для этого мы замечаем
и возьми
Если сходится, то М-тест утверждает, что исходный ряд сходится равномерно.
Здесь можно использовать тест соотношения :
что означает серию по сходится. Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех и с тех пор , ряд также сходится равномерно на
Характеристики
- Каждая равномерно сходящаяся последовательность сходится локально равномерно.
- Всякая локально равномерно сходящаяся последовательность сходится компактно .
- Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
- Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах с полным метрическим пространством изображений сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равномерно Коши .
- Если является компактным интервалом (или, вообще говоря, компактным топологическим пространством), ипредставляет собой монотонно возрастающую последовательность (что означаетдля всех n и x ) непрерывных функций с поточечным пределомкоторое также непрерывно, то сходимость обязательно равномерная ( теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется, если компактный интервал и - равностепенно непрерывная последовательность, поточечно сходящаяся.
Приложения
К преемственности
Если а также являются топологическими пространствами , то имеет смысл говорить о непрерывности функций. Если далее предположить, чтоявляется метрическим пространством , то (однородная) сходимости к также хорошо определен. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется при равномерной сходимости:
- Равномерная предельная теорема . Предполагать топологическое пространство, метрическое пространство, а представляет собой последовательность непрерывных функций . Если на , тогда также непрерывно.
Эта теорема доказывается с помощью « уловки ε / 3 » и является типичным примером этой уловки: чтобы доказать данное неравенство ( ε ), нужно использовать определения непрерывности и равномерной сходимости, чтобы получить 3 неравенства ( ε / 3 ), а затем объединяет их с помощью неравенства треугольника, чтобы получить желаемое неравенство.
Эта теорема является важной в истории реального анализа и анализа Фурье, поскольку многие математики 18 века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. На изображении выше показан контрпример, и многие прерывистые функции на самом деле могут быть записаны в виде ряда Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение о непрерывности поточечного предела последовательности непрерывных функций (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций) печально известно как «неправильная теорема Коши». Равномерная предельная теорема показывает, что для сохранения непрерывности предельной функции необходима более сильная форма сходимости - равномерная сходимость.
Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен; для локально компактного пространства непрерывность эквивалентна локальной равномерной непрерывности, и, следовательно, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.
К дифференцируемости
Если интервал и все функции являются дифференцируемы и сходятся к пределу, часто желательно определить производную функцию взяв предел последовательности . Однако в общем случае это невозможно: даже если сходимость равномерна, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду аналитических функций, см. Функцию Вейерштрасса ), и даже если она дифференцируема, производная от предельная функция не обязательно должна быть равна пределу производных. Рассмотрим, например, с единым лимитом . Четко,также тождественно равен нулю. Однако производные последовательности функций имеют вид и последовательность не сходится к или даже к любой функции. Чтобы обеспечить связь между пределом последовательности дифференцируемых функций и пределом последовательности производных, требуется равномерная сходимость последовательности производных плюс сходимость последовательности функций хотя бы в одной точке: [4 ]
- Если последовательность дифференцируемых функций на такой, что существует (и конечно) для некоторого и последовательность сходится равномерно на , тогда равномерно сходится к функции на , а также для .
К интегрируемости
Точно так же часто нужно обмениваться интегралами и ограничивать процессы. Для интеграла Римана это можно сделать, если предположить равномерную сходимость:
- Если - последовательность интегрируемых по Риману функций, определенных на компактном интервале которые сходятся равномерно с пределом , тогда интегрируем по Риману, и его интеграл может быть вычислен как предел интегралов от :
Фактически, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана от предельной функции. Это следует потому, что при достаточно большом n графикнаходится в пределах ε графика f , поэтому верхняя сумма и нижняя сумма каждый внутри стоимости верхней и нижней сумм , соответственно.
Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, которые требуют не более чем поточечной сходимости, могут быть получены, если отказаться от интеграла Римана и использовать вместо него интеграл Лебега .
К аналитичности
Используя теорему Мореры , можно показать, что если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то предел аналитичен в S. Этот пример демонстрирует, что комплексные функции ведут себя лучше, чем действительные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на вещественном интервале может даже не быть дифференцируемым (см. функцию Вейерштрасса ).
В серию
Мы говорим что сходится:
i) поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится для каждого .
ii) равномерно на E тогда и только тогда, когда s n сходится равномерно при.
iii) абсолютно на E тогда и только тогда, когда сходится для каждого .
Это определение дает следующий результат:
Пусть x 0 содержится в множестве E и каждая f n непрерывна в x 0 . Еслисходится равномерно на E, то f непрерывна в точке x 0 в E. Предположим, чтои каждая f n интегрируема на E. Еслисходится равномерно на E, то f интегрируема на E и ряд интегралов от f n равен интегралу ряда от f n .
Почти равномерная сходимость
Если область определения функций является пространством с мерой E, то можно определить соответствующее понятие почти равномерной сходимости . Мы говорим последовательность функцийсходится почти равномерно на E, если для каждого существует измеримое множество с мерой меньше чем такая, что последовательность функций сходится равномерно на . Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества сколь угодно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении.
Обратите внимание, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно почти всюду, как можно заключить из названия. Однако теорема Егорова гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также сходится почти равномерно на том же множестве.
Почти равномерная сходимость влечет сходимость почти всюду и сходимость по мере .
Смотрите также
- Равномерная сходимость по вероятности
- Способы сходимости (аннотированный указатель)
- Теорема Дини
- Теорема Арцела – Асколи
Заметки
- ^ Соренсен, Хенрик Краг (2005). «Исключения и контрпримеры: понимание комментария Абеля к теореме Коши». Historia Mathematica . 32 (4): 453–480. DOI : 10.1016 / j.hm.2004.11.010 .
- ^ Янке, Ханс Нильс (2003). «6.7 Основы анализа в XIX веке: Вейерштрасс». История анализа . Книжный магазин AMS. ISBN 978-0-8218-2623-2, стр. 184 .CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ Лакатос, Имре (1976). Доказательства и опровержения . Издательство Кембриджского университета. С. 141 . ISBN 978-0-521-21078-2.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа 3-е издание, теорема 7.17. Макгроу-Хилл: Нью-Йорк.
Рекомендации
- Конрад Кнопп , Теория и применение бесконечных рядов ; Блэки и сын, Лондон, 1954, перепечатано Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 .
- Г. Х. Харди , сэр Джордж Стоукс и концепция равномерной конвергенции ; Труды Кембриджского философского общества , 19 , стр. 148–156 (1918)
- Бурбаки ; Элементы математики: общая топология. Главы 5–10 (мягкая обложка) ; ISBN 0-387-19374-X
- Вальтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е изд., McGraw – Hill, 1976.
- Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их приложения, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
- Уильям Уэйд, Введение в анализ , 3-е изд., Пирсон, 2005 г.
Внешние ссылки
- «Равномерная сходимость» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Графические примеры равномерной сходимости рядов Фурье от Университета Колорадо