Микропрерывность

В нестандартном анализе , дисциплина в рамках классической математики , микронепрерывность (или S -непрерывность) из с внутренней функцией F в точке определяются следующим образом :

для всех x, бесконечно близких к a , значение f ( x ) бесконечно близко к f ( a ).

Здесь x пробегает область определения f . В формулах это можно выразить следующим образом:

если тогда .${\ Displaystyle х \ приблизительно а}$${\ Displaystyle е (х) \ приблизительно е (а)}$

Для функции f, определенной на , определение может быть выражено в терминах гало следующим образом: f является микропрерывным в том и только в том случае , если естественное продолжение f на гиперреальные числа по-прежнему обозначается f . В качестве альтернативы, свойство микропрерывности в точке c можно выразить, заявив, что состав постоянен на ореоле c , где «st» - это стандартная функция части .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (hal (c)) \ substeq hal (f (c))}$${\ displaystyle {\ text {st}} \ circ f}$

История [ править ]

Современное свойство непрерывности функции было впервые определено Больцано в 1817 году. Однако работа Больцано не была замечена большим математическим сообществом до ее повторного открытия Гейне в 1860-х годах. Между тем, учебник Коши Cours d'Analyse определил непрерывность в 1821 году, используя бесконечно малые величины, как указано выше. ^[1]

Непрерывность и единообразная преемственность [ править ]

Свойство микропрерывности обычно применяется к естественному продолжению f * действительной функции f . Таким образом, F , определенные на реальный интервале I непрерывен тогда и только тогда , когда е * микронепрерывен в каждой точке I . В то же время, е является равномерно непрерывной на I тогда и только тогда , когда е * микронепрерывна в каждой точке (стандартные и нестандартные) естественного расширения I * его области I (см Davis, 1977, стр. 96).

Пример 1 [ править ]

Реальная функция на открытом интервале (0,1) не является равномерно непрерывной , так как естественное продолжение е * о е не может быть микронепрерывными при бесконечно малом . Действительно, для такого a значения a и 2a бесконечно близки, но значения f * , а именно и не бесконечно близки.${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {а}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2a}}}$

Пример 2 [ править ]

Функция on не является равномерно непрерывной, поскольку f * не может быть микропрерывной в бесконечной точке . А именно, полагая и K  =  H  +  e , легко видеть, что H и K бесконечно близки, но f * ( H ) и f * ( K ) не бесконечно близки.${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ Displaystyle е = {\ tfrac {1} {H}}}$

Равномерная конвергенция [ править ]

Равномерная сходимость аналогично допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательность сходится к F равномерно , если для всех х в области е * и все бесконечного п , бесконечно близко к .${\ displaystyle f_ {n}}$${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$${\displaystyle f^{*}(x)}$

См. Также [ править ]

• Стандартная функция детали

Библиография [ править ]

• Мартин Дэвис (1977) Прикладной нестандартный анализ. Чистая и прикладная математика. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Нью-Йорк-Лондон-Сидней. xii + 181 с. ISBN  0-471-19897-8
• Гордон, EI; Кусраев, АГ; Кутателадзе , С.С.: Анализ бесконечно малых. Обновленный и переработанный перевод русского оригинала 2001 года. Перевод Кутателадзе. Математика и ее приложения, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Ссылки [ править ]