Нестандартный анализ

Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что следует вводить идеализированные числа, содержащие бесконечно малые числа .

История исчисления чревата философскими дискуссии о значении и логической обоснованности течений или бесконечно малых чисел. Стандартный способ разрешить эти споры - определить операции исчисления с помощью эпсилон-дельта- процедур, а не бесконечно малых. Нестандартный анализ ^{[1] [2] [3]} вместо этого переформулирует исчисление, используя логически строгое понятие бесконечно малых чисел.

Нестандартный анализ зародился в начале 1960-х годов математиком Абрахамом Робинсоном . ^{[4] [5]} Он писал:

... идея бесконечно малых или бесконечно малых величин кажется естественным образом апеллирует к нашей интуиции. Во всяком случае, использование бесконечно малых величин было широко распространено на этапе становления дифференциального и интегрального исчисления. Что касается возражения ... о том, что расстояние между двумя различными действительными числами не может быть бесконечно малым, Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что теория бесконечно малых подразумевает введение идеальных чисел, которые могут быть бесконечно малыми или бесконечно большими по сравнению с действительными числами, но которые должны были обладать теми же свойствами, что и последний.

Робинсон утверждал, что этот закон непрерывности Лейбница является предшественником принципа переноса . Робинсон продолжил:

Однако ни он, ни его ученики и последователи не смогли дать рационального развития, ведущего к подобной системе. В результате теория бесконечно малых величин постепенно потеряла репутацию и была заменена классической теорией пределов. ^[6]

Робинсон продолжает:

... Идеи Лейбница могут быть полностью подтверждены, и ... они приводят к новому и плодотворному подходу к классическому анализу и многим другим разделам математики. Ключ к нашему методу - это подробный анализ взаимосвязи между математическими языками и математическими структурами, который лежит в основе современной теории моделей .

В 1973 году интуиционист Аренд Гейтинг хвалил нестандартный анализ как «стандартную модель важных математических исследований». ^[7]

Введение [ править ]

Ненулевой элемент упорядоченного поля является бесконечно малым тогда и только тогда, когда его абсолютное значение меньше любого элемента формы для стандартного натурального числа. Упорядоченные поля, содержащие бесконечно малые элементы, также называются неархимедовыми . В более общем смысле нестандартный анализ - это любая форма математики, основанная на нестандартных моделях и принципе переноса . Поле, удовлетворяющее принципу переноса действительных чисел, является гиперреальным полем , и в нестандартном реальном анализе эти поля используются как нестандартные модели действительных чисел.${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$

Оригинальный подход Робинсона был основан на этих нестандартных моделях поля действительных чисел. Его классическая основополагающая книга по теме « Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году и до сих пор издается. ^[8] На странице 88 Робинсон пишет:

Существование нестандартных моделей арифметики открыл Торальф Сколем (1934). Метод Сколема предвещает сверхмощную конструкцию [...]

Для разработки исчисления бесконечно малых необходимо решить несколько технических вопросов. Например, недостаточно построить упорядоченное поле с бесконечно малыми величинами. См. Статью о гиперреальных числах, где обсуждаются некоторые важные идеи.

Основные определения [ править ]

В этом разделе мы обрисовываем один из простейших подходов к определению гиперреального поля . Позвольте быть поле действительных чисел, и позвольте быть полукольцом натуральных чисел. Обозначим набором последовательностей действительных чисел. Поле определяется как подходящее частное от , как показано ниже. Возьмите неглавный ультрафильтр . В частности, содержит фильтр Фреше . Рассмотрим пару последовательностей${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Мы говорим, что и эквивалентны, если они совпадают на множестве индексов, входящих в состав ультрафильтра, или в формулах:${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

Частное по полученному отношению эквивалентности - это гиперреальное поле , ситуация, резюмированная формулой .${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$

Мотивация [ править ]

Есть как минимум три причины рассмотреть нестандартный анализ: исторический, педагогический и технический.

Исторический [ править ]

Большая часть самого раннего развития исчисления бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем была сформулирована с использованием таких выражений, как бесконечно малое число и исчезающая величина . Как отмечалось в статье о гиперреальных числах , эти формулировки подверглись широкой критике со стороны Джорджа Беркли и других. Было сложно разработать последовательную теорию анализа с использованием бесконечно малых величин, и первым, кто сделал это удовлетворительным образом, был Авраам Робинсон. ^[6]

В 1958 году Курт Шмиден и Детлеф Лаугвиц опубликовали статью «Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung» ^[9] («Расширение исчисления бесконечно малых»), в которой предложили конструкцию кольца, содержащего бесконечно малые числа. Кольцо было построено из последовательностей действительных чисел. Две последовательности считались эквивалентными, если они отличались только конечным числом элементов. Арифметические операции определялись поэлементно. Однако построенное таким образом кольцо содержит делители нуля и поэтому не может быть полем.

Педагогический [ править ]

Х. Джером Кейслер , Дэвид Толл и другие преподаватели утверждают, что использование бесконечно малых более интуитивно понятно и легче понимается студентами, чем подход к аналитическим концепциям «эпсилон – дельта» . ^[10] Этот подход может иногда обеспечить более легкое доказательство результатов, чем соответствующая формулировка доказательства эпсилон-дельта. Большая часть упрощения происходит от применения очень простых правил нестандартной арифметики, а именно:

бесконечно малый × конечный = бесконечно малый

бесконечно малый + бесконечно малый = бесконечно малый

вместе с принципом передачи, упомянутым ниже.

Еще одно педагогическое применение нестандартного анализа - это трактовка Эдвардом Нельсоном теории случайных процессов . ^[11]

Технические [ править ]

Некоторые недавние работы были выполнены в области анализа с использованием концепций нестандартного анализа, особенно в области исследования предельных процессов статистики и математической физики. Серджио Альбеверио и др. ^[12] обсуждают некоторые из этих приложений.

Подходы к нестандартному анализу [ править ]

Существует два основных различных подхода к нестандартному анализу: семантический или теоретико-модельный подход и синтаксический подход. Оба этих подхода применимы к другим областям математики, выходящим за рамки анализа, включая теорию чисел, алгебру и топологию.

Оригинальная формулировка нестандартного анализа Робинсоном попадает в категорию семантического подхода . Как он разработал в своих статьях, он основан на изучении моделей (в частности, насыщенных моделей ) теории . С момента появления работы Робинсона был разработан более простой семантический подход (благодаря Элиасу Закону) с использованием чисто теоретико-множественных объектов, называемых надстройками . При таком подходе модель теории заменяется объект называется надстройка V ( S ) над множеством S . Начиная с надстройки V ( S )один строит другой объект * V ( S ), используя сверхстепенную конструкцию вместе с отображением V ( S ) → * V ( S ), которое удовлетворяет принципу переноса . Отображение * связывает формальные свойства V ( S ) и * V ( S ) . Кроме того, можно рассмотреть более простую форму насыщения, называемую счетным насыщением. Этот упрощенный подход также больше подходит для использования математиками, которые не являются специалистами в теории моделей или логике.

Синтаксический подход требует гораздо меньше логики и модели теории для понимания и использования. Этот подход был разработан в середине 1970-х математиком Эдвардом Нельсоном . Нельсон ввел полностью аксиоматическую формулировку нестандартного анализа, которую он назвал теорией внутренних множеств (IST). ^[13] IST является расширением теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) в том смысле, что наряду с основным бинарным отношением принадлежности ∈, он вводит новый стандарт унарных предикатов , который может применяться к элементам математической вселенной вместе с некоторыми аксиомами для рассуждений. с этим новым предикатом.

Синтаксический нестандартный анализ требует большой осторожности при применении принципа формирования множеств (формально известного как аксиома понимания ), который математики обычно принимают как должное. Как указывает Нельсон, ошибка в рассуждениях IST заключается в незаконном формировании множества . Например, в IST нет множества, элементы которого являются в точности стандартными целыми числами (здесь стандарт понимается в смысле нового предиката). Чтобы избежать незаконного формирования набора, нужно использовать только предикаты ZFC для определения подмножеств. ^[13]

Другим примером синтаксического подхода является Альтернативная теория множеств ^[14], введенная Петром Вопенка в попытке найти аксиомы теории множеств, более совместимые с нестандартным анализом, чем аксиомы ZF.

В 2018 году Абдельджалил Саге предложил явный подход к построению поля нестандартного анализа без использования ультрафильтров.

В том же 2018 году Ангга Нуграха предложил другой подход к созданию того, что он называет наивным анализом бесконечно малых. ^{[15] [16]} Его подход является чем-то средним между двумя упомянутыми выше подходами (семантическим и синтаксическим). Семантически он предложил модель, которая в некотором смысле является упрощенной версией . Однако он не позволил этому помешать цели использовать общий язык для обсуждения обоих и . Аксиоматически он также говорил о синтаксисе. Он использовал некоторые принципы, которые также напоминают принципы Белла ^[17] - микростабильность и тому подобное. Тем не менее, ему не нужно было различать «внутренние» и «внешние» наборы, поскольку его стратегия - Chunk & Permeate.${\displaystyle \mathbb {R^{Z_{<}}} }$${\displaystyle \mathbb {^{*}R} }$${\displaystyle \mathbb {R^{Z_{<}}} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$, поэтому ему не нужно было беспокоиться о несоответствиях, возникающих в результате их объединения. Еще одно преимущество использования его подхода состоит в том, что он работает достаточно интуитивно, не увязая (слишком) в технических сложностях.

Книга Робинсона [ править ]

Книга Абрахама Робинсона « Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году. Некоторые темы, разработанные в книге, уже были представлены в его статье 1961 года с тем же названием (Robinson 1961). ^[18] В дополнение к содержанию первого полного описания нестандартного анализа, книга содержит подробный исторический раздел, в котором Робинсон оспаривает некоторые из полученных мнений по истории математики, основанные на восприятии до нестандартного анализа бесконечно малых как несовместимых сущностей. Таким образом, Робинсон оспаривает идею о том, что " теорема суммы " Огюстена-Луи Коши в Cours d'Analyse относительно сходимости ряда непрерывных функций был неправильным, и предлагает инфинитезимальную интерпретацию своей гипотезы, которая приводит к правильной теореме.

Проблема инвариантного подпространства [ править ]

Абрахам Робинсон и Аллен Бернштейн использовали нестандартный анализ, чтобы доказать, что каждый полиномиально компактный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет инвариантное подпространство . ^[19]

Учитывая , оператор Т на гильбертовом пространстве H , рассмотрим орбиту в точке V в Н при итерациях Т . Применяя Грама-Шмидта получается ортонормированный базис ( е _я ) для H . Пусть ( Н _я ) соответствующая вложенная последовательность «координат» подпространства Н . Матрица a _{i, j,} выражающая T относительно ( e _i ), является почти верхнетреугольной в том смысле, что коэффициенты a _{i +1,i} - единственные ненулевые субдиагональные коэффициенты. Бернштейн и Робинсон показывают, что еслиTполиномиально компактно, то существует гиперконечный индексwтакой, что матричный коэффициент a _{w +1, w} бесконечно мал. Далее рассмотрим подпространство H _ш о* Н . Еслиyв H _w имеет конечную норму, то T ( y )бесконечно близко к H _w .

Пусть теперь T _w - оператор, действующий на H _w , где P _w - ортогональный проектор на H _w . Обозначим через q многочлен такой, что q ( T ) компактно. Подпространство H _w является внутренним гиперконечной размерностью. Перенося верхнюю триангуляризацию операторов конечномерного комплексного векторного пространства, мы получаем внутренний базис ортонормированного гильбертова пространства ( e _k ) для H _w, где k пробегает от 1 до${\displaystyle P_{w}\circ T}$w , такое, что каждое из соответствующих k -мерных подпространств E _k является T -инвариантным. Обозначим через Π _k проекцию на подпространство E _k . Для ненулевого вектора x конечной нормы в H можно считать, что q ( T ) ( x ) отлична от нуля, или | q ( T ) ( x ) | > 1 по исправлению идей. Поскольку q ( T ) - компактный оператор, ( q ( T _w)) ( x ) бесконечно близка к q ( T ) ( x ) и, следовательно, также | q ( T _w ) ( x ) | > 1 . Пусть теперь j будет наибольшим индексом такой, что . Тогда пространство всех стандартных элементов, бесконечно близких к E _j, является искомым инвариантным подпространством.${\displaystyle |q(T_{w})\left(\Pi _{j}(x)\right)|<{\tfrac {1}{2}}}$

Прочитав препринт статьи Бернштейна и Робинсона, Пол Халмос переосмыслил их доказательство, используя стандартные методы. ^[20] Обе статьи были опубликованы в одном и том же номере Pacific Journal of Mathematics . Некоторые идеи, использованные в доказательстве Халмоша, вновь проявились много лет спустя в собственной работе Халмоша по квазитреугольным операторам.

Другие приложения [ править ]

Другие результаты были получены в рамках переосмысления или опровержения ранее известных результатов. Особый интерес представляет доказательство Teturo камаэ в ^[21] из индивидуальной эргодической теоремы или Л. ван ден Dries и Алекс Уилки лечения «s ^[22] из теоремы Громова о группах полиномиального роста . Нестандартный анализ был использован Ларри Маневицем и Шмуэлем Вайнбергером для доказательства результата в алгебраической топологии. ^[23]

Однако реальный вклад нестандартного анализа заключается в концепциях и теоремах, которые используют новый расширенный язык нестандартной теории множеств. Среди новых приложений в математике - новые подходы к вероятности, ^[11] гидродинамика, ^[24] теория меры, ^[25] негладкий и гармонический анализ ^[26] и т. Д.

Существуют также приложения нестандартного анализа к теории случайных процессов, в частности построения броуновского движения как случайных блужданий . Albeverio et al. ^[12] имеют прекрасное введение в эту область исследований.

Приложения к исчислению [ править ]

В качестве приложения к математическому образованию , H. Джером Кейслера писал Elementary Исчисление: Инфинитезимальная подход . ^[10] Охват нестандартного исчисления , он развивает дифференциальное и интегральное исчисление с использованием гиперреалистических чисел, которые включают бесконечно малые элементы. Эти приложения нестандартного анализа зависят от существования стандартной части конечного гиперреального r . Стандартная часть r , обозначаемая st ( r ) , является стандартным действительным числом, бесконечно близким к r. Одним из устройств визуализации, которые использует Кейслер, является воображаемый микроскоп с бесконечным увеличением, чтобы различать точки, бесконечно близкие друг к другу. Книга Кейслера сейчас больше не издается, но она находится в свободном доступе на его сайте; см. ссылки ниже.

Критика [ править ]

Этот раздел должен включать краткое изложение критики нестандартного анализа . См. Wikipedia: Summary style для получения информации о том, как включить его в основной текст этой статьи. ( Июнь 2020 г. )

Несмотря на элегантность и привлекательность некоторых аспектов нестандартного анализа, также высказывались критические замечания, например, со стороны Эрретта Бишопа , Алена Коннеса и П. Халмоса, что было задокументировано при критике нестандартного анализа .

Логическая основа [ править ]

Принимая во внимание любое множество S , то надстройку над множеством S есть множество V ( S ) определяется условиями

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

Таким образом, надстройка над S получается, начиная с S и повторяя операцию присоединения к множеству степеней S и взятия объединения результирующей последовательности. Надстройка над действительными числами включает множество математических структур: например, она содержит изоморфные копии всех сепарабельных метрических пространств и метризуемых топологических векторных пространств. Практически вся математика, которая интересует аналитика, происходит в рамках V ( R ) .

Рабочий вид нестандартного анализа - это множество * R и отображение *: V ( R ) → V (* R ), которое удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам. Чтобы сформулировать эти принципы, мы сначала дадим несколько определений.

Формула имеет ограниченную количественную оценку тогда и только тогда, когда единственные количественные показатели, которые встречаются в формуле, имеют ограниченный диапазон по множествам, то есть все имеют форму:

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

Например, формула

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

имеет ограниченную квантификацию, универсально определенные количественные переменные х пробегает А , в экзистенциально количественно переменных у пробегает Powerset из B . С другой стороны,

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

не имеет ограниченного количественного определения, потому что количественное определение y не ограничено.

Внутренние наборы [ править ]

Множество x является внутренним тогда и только тогда, когда x является элементом * A для некоторого элемента A из V ( R ) . * Само A является внутренним, если A принадлежит V ( R ) .

Сформулируем основные логические рамки нестандартного анализа:

• Принцип Удлинитель : отображение * тождественный на R .
• Принцип переноса : для любой формулы P ( x ₁ , ..., x _n ) с ограниченной квантификацией и со свободными переменными x ₁ , ..., x _n и для любых элементов A ₁ , ..., A _n из V ( R ) имеет место следующая эквивалентность:

${\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}$

• Счетное насыщение : если { A _k } _{k ∈ N} - убывающая последовательность непустых внутренних множеств с k, изменяющимся по натуральным числам, то

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

С помощью ультрапродуктов можно показать, что такая карта * существует. Элементы V ( R ) называются стандартными . Элементы * R называются гиперреальными числами .

Первые последствия [ править ]

Символ * N обозначает нестандартные натуральные числа. По принципу расширения, это является надстройкой N . Множество * N - N непусто. Чтобы убедиться в этом, примените счетную насыщенность к последовательности внутренних множеств.

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

Последовательность { A _n } _{n ∈ N} имеет непустое пересечение, что доказывает результат.

Начну с некоторыми определениями: Hyperreals г , s являются бесконечно близкими , если и только если

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta }$

Гиперреальный г является бесконечно малым , если и только если оно бесконечно близко к 0. Например, если п является hyperinteger , т.е. элемента * N - N , то 1 / п является бесконечно малым. Гиперреальный г является ограниченным (или конечным ) тогда и только тогда , когда его абсолютное значение преобладают (менее) стандартное число. Ограниченные гиперреалы образуют подкольцо * R, содержащее действительные числа. В этом кольце бесконечно малые гиперреалы являются идеалом .

Множество ограниченных гиперреалов или множество бесконечно малых гиперреалов являются внешними подмножествами V (* R ) ; На практике это означает, что ограниченная количественная оценка, когда граница является внутренним набором, никогда не распространяется на эти наборы.

Пример : плоскость ( x , y ) с координатами x и y в пределах * R является внутренней и является моделью плоской евклидовой геометрии. Плоскость с x и y, ограниченными ограниченными значениями (аналогично плоскости Дена ), является внешней, и в этой ограниченной плоскости постулат параллельности нарушается. Например, любая линия, проходящая через точку (0, 1) на оси y и имеющая бесконечно малый наклон, параллельна оси x .

Теорема. Для любого ограниченного гиперреального числа r существует единственное стандартное вещественное число, обозначаемое st ( r ), бесконечно близкое к r . Отображение я является кольцевым гомоморфизмом из кольца ограниченных hyperreals до R .

Отображение st также является внешним.

Один из способов мышления стандартной части гиперреального - в терминах дедекиндовских сокращений ; любое ограниченное гиперреальное число s определяет разрез, рассматривая пару множеств ( L , U ), где L - множество стандартных рациональных чисел a меньше s, а U - множество стандартных рациональных чисел b больше s . Видно, что действительное число, соответствующее ( L , U ), удовлетворяет условию того, что оно является стандартной частью s .

Одна интуитивная характеристика непрерывности такова:

Теорема. Действительнозначная функция f на интервале [ a , b ] является непрерывной тогда и только тогда, когда для каждого гиперреального x в интервале * [ a , b ] мы имеем: * f ( x ) ≅ * f (st ( x ) ) .

(подробнее см. микропрерывность ). По аналогии,

Теорема. Действительная функция f дифференцируема при действительном значении x тогда и только тогда, когда для каждого бесконечно малого гиперреального числа h значение

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

существует и не зависит от h . В этом случае f ′ ( x ) является действительным числом и является производной от f в точке x .

κ- насыщенность [ править ]

Можно «улучшить» насыщенность, разрешив пересечение коллекций более высокой мощности. Модель является κ - насыщенный , если всякий раз , когда это совокупность внутренних множеств с конечным свойством пересечения и ,${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle |I|\leq \kappa }$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

Это полезно, например, в топологическом пространстве X , где мы можем захотеть | 2 ^X | -насыщение, чтобы гарантировать, что пересечение стандартной базы окрестностей непусто. ^[27]

Для любого кардинальных х , κ -насыщенного расширение может быть построено. ^[28]

См. Также [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• EE Rosinger, [math / 0407178]. Краткое введение в нестандартный анализ . arxiv.org.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Призраки ушедших количеств Линдси Киган.