История исчисления

Исчисление , известное в своей ранней истории как исчисление бесконечно малых , представляет собой математическую дисциплину, ориентированную на пределы , непрерывность , производные , интегралы и бесконечные ряды . Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали теорию исчисления бесконечно малых в конце 17 века. К концу 17 века каждый ученый утверждал, что другой украл его работу, и спор об исчислении Лейбница-Ньютона продолжался до смерти Лейбница в 1716 году.

Пионеры математического анализа [ править ]

Древний [ править ]

Архимед использовал метод истощения для вычисления площади внутри круга.

Древний период представил некоторые идеи, которые привели к интегральному исчислению, но, похоже, не развил эти идеи строго и систематически. Вычисления объемов и площадей, одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском московском папирусе (ок. 1820 г. до н.э.), но формулы даны только для конкретных чисел, некоторые из них верны лишь приблизительно и не выводятся дедуктивным методом. рассуждения. ^[1] Вавилоняне, возможно, открыли правило трапеции во время астрономических наблюдений за Юпитером . ^{[2] [3]}

С возраста греческой математики , Евдокс (ок. 408-355 до н.э.) использовал метод исчерпывания , который предвосхищает понятие предела для вычисления площадей и объемов, а Архимед (ок. 287-212 до н.э.) дальнейшее развитие этой идеи , изобретая эвристики, напоминающие методы интегрального исчисления. ^[4] Греческим математикам также приписывают значительное использование бесконечно малых величин . Демокритявляется первым зарегистрированным человеком, серьезно задумавшим о разделении объектов на бесконечное количество поперечных сечений, но его неспособность рационализировать дискретные поперечные сечения с плавным наклоном конуса помешала ему принять эту идею. Примерно в то же время Зенон Элейский еще больше дискредитировал бесконечно малые, сформулировав парадоксы, которые они создают.

Архимед развил этот метод дальше, а также изобрел эвристические методы, которые несколько напоминают современные концепции в его Квадратуре параболы , Методе и О сфере и цилиндре . ^[5] Однако не следует думать, что бесконечно малые были поставлены на твердую основу в это время. Только когда оно было дополнено правильным геометрическим доказательством, греческие математики могли принять предложение как истинное. Лишь в 17 веке этот метод был формализован Кавальери как метод неделимых и в конечном итоге включен Ньютоном в общую структуру интегрального исчисления.. Архимед был первым, кто нашел касательную к кривой, отличной от окружности, методом, родственным дифференциальному исчислению. Изучая спираль, он разделил движение точки на две составляющие, одну радиальную составляющую движения и одну круговую составляющую движения, а затем продолжил складывать два составляющих движения вместе, тем самым находя касательную к кривой. ^[6] Пионеры математического анализа, такие как Исаак Барроу и Иоганн Бернулли, были прилежными учениками Архимеда; см., например, CS Roero (1983).

Метод исчерпывания был заново в Китае от Лю Хуэй в 4 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. ^[7] В V веке Цзу Чунчжи разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы . ^[8]

Средневековый [ править ]

На исламском Ближнем Востоке арабский математик XI века Ибн аль-Хайтам (Альхазен) вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что теперь будет называться интегрированием , где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[9] В XII веке персидский математик Шараф ад-Дин ат-Туси открыл производную от кубических многочленов . ^[10] Его Трактат об уравнениях развил концепции, связанные с дифференциальным исчислением., например, производная функция, а также максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. ^[11]

Некоторые идеи по исчислению позже появились в индийской математике , в Керальской школе астрономии и математики . ^[9] Мадхава из Сангамаграмы в XIV веке и более поздние математики школы Кералы заявили о таких компонентах исчисления, как ряд Тейлора и приближения бесконечных рядов . ^[12] Однако они не смогли объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем - производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в мощный инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня. ^[9]

Математическое исследование непрерывности было возрождено в XIV веке Oxford Calculators и французскими коллегами, такими как Николь Орем . Они доказали « теорему Мертона о средней скорости »: равномерно ускоренное тело движется на такое же расстояние, что и тело с постоянной скоростью, скорость которого составляет половину конечной скорости ускоряемого тела. ^[13]

Ранний модерн [ править ]

В 17 веке европейские математики Исаак Барроу , Рене Декарт , Пьер де Ферма , Блез Паскаль , Джон Уоллис и другие обсуждали идею производной . В частности, в статьях Methodus ad disquirendam maximam et minima и De tangentibus linearum curvarum Ферма разработал метод адекватности для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, который был тесно связан с дифференцированием. ^[14] Исаак Ньютон позже напишет, что его собственные ранние идеи об исчислении исходили непосредственно из «способа Ферма рисовать касательные». ^[15]

На интегральной стороне, Кавальери разработал свой метод неделимых в 1630 и 1640 - х годах, обеспечивая более современную форму древнего греческого метода истощения , ^{[ оспаривались - обсудить ]} и вычисление квадратурной формулы Кавальери , площадь под кривыми й ^п высшего градус, который ранее был вычислен только для параболы Архимедом. Торричелли распространил эту работу на другие кривые, такие как циклоида, а затем формула была обобщена для дробных и отрицательных степеней Уоллисом в 1656 году. В трактате 1659 года Ферма приписывают изобретательный трюк для непосредственного вычисления интеграла любой степенной функции. ^[16] Ферма также получил метод нахождения центров тяжести различных плоских и твердых фигур, который повлиял на дальнейшую работу в квадратуре. Джеймс Грегори , под влиянием вклада Ферма как в касание, так и в квадратуру, затем в середине 17 века смог доказать ограниченную версию второй фундаментальной теоремы исчисления . ^{[17] [18]} Первое полное доказательство основной теоремы исчисления было дано Исааком Барроу .^{[19] : стр.61 когда дуга ME ~ дуга NH в точке касания F рис.26 [20]}

Одно из предварительных условий для создания исчисления функций действительной переменной заключалось в нахождении первообразной для рациональной функции. Эту задачу можно сформулировать как квадратуру прямоугольной гиперболы xy = 1. В 1647 году Грегуар де Сен-Винсент заметил, что искомая функция F удовлетворено , так что геометрическая последовательность стала, под F , в арифметической последовательности . А. А. де Сараса связал эту особенность с современными алгоритмами, называемыми логарифмами.${\ displaystyle f (x) \ = \ {\ frac {1} {x}}.}$${\ Displaystyle F (st) = F (s) + F (t),}$это позволило сэкономить на арифметике за счет преобразования умножения в сложение. Итак, F впервые был известен как гиперболический логарифм . После того, как Эйлер эксплуатировал е = 2,71828 ..., и F была определена как обратная функция от экспоненциальной функции , он стал натуральным логарифмом , удовлетворяющим${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}} \ = \ {\ frac {1} {x}}.}$

Первое доказательство теоремы Ролля было дано Мишелем Роллем в 1691 году с использованием методов, разработанных голландским математиком Иоганном ван Вавереном Худде . ^[21] Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована Бернаром Больцано и Огюстен-Луи Коши (1789–1857) также после основания современного исчисления. Важный вклад внесли также Барроу , Гюйгенс и многие другие.

Ньютон и Лейбниц [ править ]

До Ньютона и Лейбница слово «исчисление» относилось к любой области математики, но в последующие годы «исчисление» стало популярным термином для области математики, основанной на их понимании. ^[22] Ньютон и Лейбниц, опираясь на эту работу, независимо друг от друга разработали окружающую теорию исчисления бесконечно малых в конце 17 века. Кроме того, Лейбниц проделал большую работу по разработке последовательных и полезных обозначений и концепций. Ньютон предоставил некоторые из наиболее важных приложений к физике, особенно к интегральному исчислению.. Цель этого раздела - изучить исследования Ньютона и Лейбница в развивающейся области исчисления бесконечно малых. Особое внимание будет уделено обоснованию и описательным терминам, которые они использовали в попытке понять исчисление в том виде, в каком они его сами понимали.

К середине 17 века европейская математика изменила свой основной хранилище знаний. По сравнению с прошлым веком, когда эллинистическая математика была отправной точкой для исследований, Ньютон, Лейбниц и их современники все больше обращали внимание на работы более современных мыслителей. ^[23] Европа стала домом для растущего математического сообщества, и с появлением расширенных институциональных и организационных основ достигался новый уровень организации и академической интеграции. Однако важно то, что сообществу не хватало формализма; вместо этого он состоял из беспорядочной массы различных методов, техник, обозначений , теорий и парадоксов .

Ньютон пришел к исчислению в рамках своих исследований в области физики и геометрии . Он рассматривал исчисление как научное описание возникновения движения и величин . Для сравнения, Лейбниц сосредоточился на касательной проблеме и пришел к выводу, что исчисление является метафизическим объяснением изменений. Важно отметить, что в основе их идей лежала формализация обратных свойств между интегралом и дифференциалом функции . Это понимание ожидалось их предшественниками, но они были первыми, кто задумал исчисление как систему, в которой были созданы новые риторика и описательные термины. ^[24] Их уникальные открытия заключаются не только в их воображении, но и в их способности синтезировать идеи вокруг себя в универсальный алгоритмический процесс, тем самым формируя новую математическую систему.

Ньютон [ править ]

Ньютон не завершил окончательной публикации, формализующей его флюксное исчисление; скорее, многие из его математических открытий были переданы по переписке, в более мелких статьях или в виде включенных аспектов в другие его окончательные компиляции, такие как Principia и Opticks . Ньютон начал свое математическое образование как избранный наследник Исаака Барроу в Кембридже . Его способности были признаны рано, и он быстро усвоил современные теории. К 1664 году Ньютон внес свой первый важный вклад в развитие биномиальной теоремы , которую он расширил, включив дробные и отрицательные показатели.. Ньютону удалось расширить область применения биномиальной теоремы, применив алгебру конечных величин в анализе бесконечных рядов . Он проявил готовность рассматривать бесконечные ряды не только как приблизительные приемы, но и как альтернативные формы выражения термина. ^[25]

Многие из критических прозрений Ньютона произошли в годы чумы 1665–1666 ^[26], которые он позже охарактеризовал как «расцвет моей эпохи для изобретений, и математики и [естественной] философии интересовали больше, чем когда-либо с тех пор». Именно во время его изоляции, вызванной чумой, первая письменная концепция флюксионного исчисления была зафиксирована в неопубликованном De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . В этой статье Ньютон определил площадь под кривой , сначала вычислив мгновенную скорость изменения, а затем экстраполируя общую площадь. Он начал с рассуждений о бесконечно малом треугольнике, площадь которого является функцией от x и y . Затем он рассудил, чтобесконечно малое увеличение абсциссы создаст новую формулу, где x = x + o (что важно, o - это буква, а не цифра 0). Затем он пересчитал площадь с помощью биномиальной теоремы, удалил все величины, содержащие букву o, и заново сформировал алгебраическое выражение для площади. Примечательно, что тогда Ньютон «вычеркнет» количества, содержащие o, потому что члены, «умноженные на него, не будут иметь ничего общего с остальными».

В этот момент Ньютон начал осознавать центральное свойство инверсии. Он создал выражение для площади под кривой, учитывая мгновенное увеличение в точке. Фактически, основная теорема исчисления была встроена в его вычисления. Хотя его новая формулировка обладала невероятным потенциалом, Ньютон в то время хорошо осознавал ее логические ограничения. Он признает, что «в математике нельзя пренебрегать ошибками, какими бы малыми они ни были» и что то, чего он достиг, «скорее кратко объяснено, чем точно продемонстрировано».

Стремясь дать исчислению более строгое объяснение и структуру, Ньютон в 1671 году составил Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . В этой книге строгий эмпиризм Ньютона сформировал и определил его флюксионное исчисление. Он неформально использовал мгновенное движение и бесконечно малые. Он использовал математику как методологический инструмент для объяснения физического мира. Основой пересмотренного исчисления Ньютона стала непрерывность; Таким образом, он пересмотрел свои вычисления в терминах непрерывного плавного движения. Для Ньютона переменные величины не являются совокупностью бесконечно малых элементов, а порождаются бесспорным фактом движения. Как и многие его работы, Ньютон отложил публикацию. Методус Флюксионумне был опубликован до 1736 года. ^[27]

Ньютон попытался избежать использования бесконечно малого, построив вычисления на основе соотношений изменений. В Methodus Fluxionum он определил скорость генерируемого изменения как флюксию , которую он представил пунктирной буквой, а генерируемую величину он определил как текучесть . Например, если и являются текучими, то и представляют собой соответствующие им текучести. Это пересмотренное исчисление соотношений продолжало развиваться и было подробно изложено в тексте 1676 года De Quadratura Curvarum.${\ displaystyle {x}}$${\ displaystyle {y}}$${\ displaystyle {\ dot {x}}}$${\ displaystyle {\ dot {y}}}$где Ньютон пришел к определению современной производной как предельного отношения изменений, которое он определил как отношение между кратковременными приращениями (отношением потоков) исключительно в данный момент. По сути, окончательное соотношение - это соотношение, когда приращения исчезают в ничто. Важно отметить, что Ньютон объяснил существование предельного отношения обращением к движению;

«Ибо под конечной скоростью понимается то, с чем тело движется ни до того, как оно достигнет своего последнего места, когда движение прекращается, ни после, но в тот самый момент, когда оно прибывает ... конечное соотношение мимолетных величин равно нужно понимать соотношение величин не до того, как они исчезнут, не после, но при котором они исчезнут » ^[28]

Ньютон разработал свое флюксное исчисление в попытке избежать неформального использования бесконечно малых величин в своих вычислениях.

Лейбниц [ править ]

Хотя Ньютон начал разработку своего флюксного исчисления в 1665–1666 годах, его результаты не получили широкого распространения до позднего времени. В последующие годы Лейбниц также стремился создать свой расчет. По сравнению с Ньютоном, который пришел к математике в раннем возрасте, Лейбниц начал свои строгие математические занятия с развитым интеллектом. Он был эрудитом , и его интеллектуальные интересы и достижения касались метафизики , права , экономики , политики , логики и математики . Чтобы понять рассуждения Лейбница в области вычислений, следует иметь в виду его предысторию. В частности, его метафизика, описывающая вселенную какМонадология и его планы по созданию точной формальной логики, посредством которой «общий метод, в котором все истины разума были бы сведены к некоему расчету». ^[29]

В 1672 году Лейбниц встретил математика Гюйгенса, который убедил Лейбница посвятить значительное время изучению математики. К 1673 году он перешел к чтению Паскаля « Traité des Sinus du Quarte Cercle», и именно во время его в основном самодидактического исследования Лейбниц сказал, что «загорелся свет». Как и Ньютон, Лейбниц рассматривал тангенс как отношение, но объявил его просто отношением между ординатами и абсциссами . Он продолжил эти рассуждения, чтобы доказать, что интегралфактически была суммой ординат бесконечно малых интервалов по абсциссе; по сути, это сумма бесконечного числа прямоугольников. Из этих определений стало ясно обратное отношение или дифференциал, и Лейбниц быстро осознал потенциал для формирования совершенно новой системы математики. Если Ньютон на протяжении своей карьеры использовал несколько подходов в дополнение к подходу с использованием бесконечно малых величин , Лейбниц сделал это краеугольным камнем своих обозначений и исчислений. ^{[30] [31]}

В рукописях от 25 октября по 11 ноября 1675 г. Лейбниц записал свои открытия и эксперименты с различными формами записи. Он хорошо знал используемые обозначения, и его более ранние планы сформировать точный логический символизм стали очевидными. В конце концов, Лейбниц обозначил бесконечно малые приращения абсцисс и ординат dx и dy , а суммирование бесконечного множества бесконечно тонких прямоугольников как длинный s (∫), который стал настоящим интегральным символом . ^[32]${\ Displaystyle \ scriptstyle \ int}$

Хотя обозначения Лейбница используются в современной математике, его логическая база отличалась от нашей нынешней. Лейбниц принял бесконечно малое и много писал, чтобы «не делать бесконечно малое загадкой, как это сделал Паскаль». ^[33] Согласно Жилю Делезу , нули Лейбница «не являются ничем, но они не являются абсолютными ничто, они, соответственно, ничто» (цитируя текст Лейбница «Обоснование исчисления бесконечно малых с помощью исчисления обычной алгебры»). ^[34] В качестве альтернативы он определяет их как «меньше любого заданного количества». Для Лейбница мир был совокупностью бесконечно малых точек, и отсутствие научных доказательств их существования не беспокоило его. Бесконечно малые числа для Лейбница были идеальными величинами иного типа, чем заметные числа. Истина преемственности была доказана самим существованием. Для Лейбница был обеспечен принцип непрерывности и, следовательно, обоснованность его расчетов. Через триста лет после работы Лейбница Абрахам Робинсон показал, что использование бесконечно малых величин в исчислении может иметь прочное основание. ^[35]

Наследие [ править ]

Возникновение математического анализа является уникальным моментом в математике. Исчисление - это математика движения и изменений, и поэтому его изобретение потребовало создания новой математической системы. Важно отметить, что Ньютон и Лейбниц не создали одно и то же исчисление и не задумали современное исчисление. Хотя они оба были вовлечены в процесс создания математической системы для работы с переменными величинами, их элементарная база была другой. Для Ньютона изменение было переменной величиной во времени, а для Лейбница - разницей в последовательности бесконечно близких значений. Примечательно, что описательные термины, создаваемые каждой системой для описания изменений, были разными.

Исторически сложилось так, что было много споров о том, кто первым «изобрел» исчисление - Ньютон или Лейбниц. Этот аргумент, полемика по поводу исчисления Лейбница и Ньютона , в которой участвовали Лейбниц, который был немцем, и англичанин Ньютон, привели к расколу в европейском математическом сообществе, продолжавшемуся более века. Лейбниц первым опубликовал свои исследования; однако точно установлено, что Ньютон начал свою работу за несколько лет до Лейбница и уже разработал теорию касательных.к тому времени, когда этот вопрос заинтересовал Лейбница. Неизвестно, насколько это могло повлиять на Лейбница. Первоначальные обвинения были выдвинуты студентами и сторонниками двух великих ученых на рубеже веков, но после 1711 года они оба стали лично вовлеченными, обвиняя друг друга в плагиате .

Спор о приоритетах на долгие годы отделил англоговорящих математиков от математиков из континентальной Европы. Только в 1820-х годах, благодаря усилиям Аналитического общества , аналитическое исчисление Лейбница стало общепринятым в Англии. Сегодня и Ньютону, и Лейбницу приписывают независимое развитие основ математики. Однако именно Лейбницу приписывают дать новой дисциплине название, которое она известна сегодня: «исчисление». Имя Ньютона для него было «наука о флюенте и течения ».

Работа Ньютона и Лейбница отражена в используемых сегодня обозначениях. Ньютон введены обозначения для производной от функции F . ^[36] Лейбниц ввел символ для интеграла и написал производную от функции у переменной х , как , оба из которых все еще используются.${\ displaystyle {\ dot {f}}}$${\ displaystyle \ int}$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в постоянное развитие математического анализа. Одна из первых и наиболее полных работ как по бесконечно малому, так и по интегральному исчислению была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Агнеси . ^{[37] [38]}

Операционные методы [ править ]

Антуан Арбогаст (1800) был первым, кто отделил символ операции от символа количества в дифференциальном уравнении. Франсуа-Жозеф Сервуа (1814 г.), кажется, был первым, кто дал правильные правила по этому вопросу. Чарльз Джеймс Харгрив (1848) применил эти методы в своих мемуарах о дифференциальных уравнениях, а Джордж Буль свободно применил их. Герман Грассманн и Герман Ганкель широко использовали теорию: первая - при изучении уравнений , вторая - в своей теории комплексных чисел .

Вариационное исчисление [ править ]

Исчисление вариаций можно сказать , чтобы начать с проблемой Иоганн Бернулли (1696). Это сразу же привлекло внимание Якоба Бернулли, но Леонард Эйлер первым разработал эту тему. Его вклад начался в 1733 году, а его Elementa Calculi Variationum дала науке ее имя. Жозеф Луи Лагранж внес большой вклад в теорию, а Адриан-Мари Лежандр (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. К этому различению Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Дени Пуассон (1831),Среди авторов - Михаил Васильевич Остроградский (1834 г.) и Карл Густав Якоб Якоби (1837 г.). Важной общей работой является работа Сарруса (1842), которая была сокращена и улучшена Огюстэном Луи Коши (1844). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849 г.), Джеллеттом (1850 г.), Отто Гессе (1857 г.), Альфредом Клебшем (1858 г.) и Карлом (1885 г.), но, пожалуй, самая важная работа века - это работа Карла. Вейерштрасс . Его курс теории можно утверждать, что он первым поставил исчисления на прочную и строгую основу.

Интегралы [ править ]

Нильс Хенрик Абель, по- видимому, был первым, кто рассмотрел в общем виде вопрос о том, какие дифференциальные уравнения можно интегрировать в конечной форме с помощью обычных функций - исследование, продолженное Лиувиллем . Коши рано разработал общую теорию определения определенных интегралов , и эта тема приобрела известность в 19 веке. Интегралы Фруллани , работа Дэвида Биренса де Хаана по теории и его подробные таблицы, лекции Лежена Дирихле , воплощенные в трактате Мейера , и многочисленные мемуары Лежандра , Пуассона ,Плана , Раабе , Зонке , Шлёмильх , Эллиотт , Лёдесдорф и Кронекер - среди заслуживающих внимания вкладов.

Интегралы Эйлера были сначала изучены Эйлером, а затем исследованы Лежандром, который классифицировал их как интегралы Эйлера первого и второго видов следующим образом:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} х ^ {п-1} (1-х) ^ {п-1} \, dx}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {n-1} \, dx}$

хотя это не были точные формы исследования Эйлера.

Если n - положительное целое число :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {n-1} dx = (n-1) !,}$

но интеграл сходится для всех положительных реального и определяет аналитическое продолжение в факторных функциях всех комплексной плоскости для полюсов в нуле и отрицательные целых чисел , за исключением. Ему Лежандр присвоил символ , и теперь он называется гамма-функцией . Помимо того, что он аналитичен над положительными действительными числами ⁺ , он   также обладает однозначно определяющим свойством, которое   является выпуклым , что эстетически оправдывает это аналитическое продолжение факториальной функции над любым другим аналитическим продолжением. На тему Лежен Дирихле${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ log \ Gamma}$внес важную теорему (Лиувилль, 1839 г.), которую разработали Лиувилль , Каталон , Лесли Эллис и другие. Раабе (1843–44), Бауэр (1859) и Гудерманн (1845) писали об оценке и . Большой стол Лежандра появился в 1816 году.${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle \log \Gamma (x)}$

Приложения [ править ]

Применение исчисления бесконечно малых к задачам физики и астрономии совпало с зарождением науки. На протяжении XVIII века эти приложения множились, пока в конце Лаплас и Лагранж не перенесли весь диапазон изучения сил в область анализа. Для Лагранжа (1773) мы обязаны введение теории потенциала в динамику, хотя название « потенциальная функция » и фундаментальная биография субъекта обусловлены Грину (1827, напечатанном в 1828 году). Название « потенциал » принадлежит Гауссу.(1840), а различие между потенциалом и потенциальной функцией - Клаузиусом . С его развитием связаны имена Лежена Дирихле , Римана , фон Неймана , Гейне , Кронекера , Липшица , Кристоффеля , Кирхгофа , Бельтрами и многих ведущих физиков века.

Здесь невозможно рассмотреть множество других приложений анализа к физическим проблемам. Среди них исследования Эйлера о колеблющихся аккордах; Софи Жермен на эластичных мембранах; Пуассон, Ламе , Сен-Венан и Клебш об упругости трехмерных тел; Фурье по диффузии тепла ; Френель на свете ; Максвелл , Гельмгольц и Герц об электричестве ; Хансен, Хилл и Гилден по астрономии ; Максвелл насферические гармоники ; Лорд Рэлей по акустике ; и вклады Лежена Дирихле, Вебера , Кирхгофа , Ф. Ноймана , лорда Кельвина , Клаузиуса , Бьеркнеса , МакКуллаха и Фурмана в физику в целом. Следует особо упомянуть труды Гельмгольца, поскольку он внес вклад в теории динамики, электричества и т. Д. И применил свои огромные аналитические способности к фундаментальным аксиомам механики, а также к аксиомам чистой математики.

Кроме того, исчисление бесконечно малых было введено в социальные науки, начиная с неоклассической экономики . Сегодня это ценный инструмент в основной экономике.

См. Также [ править ]

• Аналитическая геометрия
• История логарифмов
• История математики
• Нестандартное исчисление

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Роэро, CS (2005). "Готфрид Вильгельм Лейбниц, первые три статьи по исчислению (1684, 1686, 1693)" . В Grattan-Guinness, I. (ред.). Знаменитые труды по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. С. 46–58. ISBN 978-0-444-50871-3.
• Роэро, CS (1983). «Якоб Бернулли, внимательный исследователь творчества Архимеда: заметки на полях к изданию Барроу». Болл. Storia Sci. Мат . 3 (1): 77–125.
• Бойер, Карл (1959). История математического анализа и его концептуальное развитие . Нью-Йорк: Dover Publications. Переиздание книги 1939 г. (2-е издание 1949 г.) с другим названием.
• Calinger, Рональд (1999). Контекстная история математики . Торонто: Прентис-Холл. ISBN 978-0-02-318285-3.
• Рейес, Митчелл (2004). «Риторика в математике: Ньютон, Лейбниц, исчисление и риторическая сила бесконечно малого». Ежеквартальный речевой журнал . 90 (2): 159–184. DOI : 10.1080 / 0033563042000227427 . S2CID  145802382 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор . Радуга математики: история математических наук , главы 5 и 6, WW Norton & Company, 2000.
• Хоффман, Рут Ирен , "О развитии и использовании концепций исчисления бесконечно малых до Ньютона и Лейбница", Диссертация (MA), Университет Колорадо, 1937

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты по теме: История математического анализа.

• История исчисления в архиве истории математики MacTutor , 1996.
• Самые ранние известные способы использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Документы Ньютона, цифровая библиотека Кембриджского университета
• (на английском и арабском языках) Экскурсия по исчислению , 1772 г.