Метод механических теорем

Метод механических теорем ( греч . : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), также называемый «Методом» , считается одной из основных сохранившихся работ древнегреческого эрудита Архимеда . Метод принимает форму письма от Архимеда до Эратосфена , ^[1] главный библиотекарь в библиотеке Александрии , и содержит первое заверенного явного использования неделимых (иногда называют инфинитезималями ). ^{[2] [3]}Первоначально эта работа считалась утерянной, но в 1906 году была вновь обнаружена в знаменитом Архимедовом палимпсесте . Палимпсест включает отчет Архимеда о «механическом методе», названном так потому, что он опирается на закон рычага , который впервые был продемонстрирован Архимедом, и центра масс (или центроида ), который он нашел для многих специальных формы.

Архимед не признавал метод неделимых как часть строгой математики и поэтому не публиковал свой метод в формальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает те же теоремы методом исчерпания , находя строгие верхние и нижние оценки, которые обе сходятся к требуемому ответу. Тем не менее именно механический метод был тем, что он использовал для открытия соотношений, которым он позже дал строгие доказательства.

Площадь параболы [ править ]

Чтобы объяснить метод Архимеда сегодня, удобно использовать немного декартовой геометрии, хотя в то время это, конечно, было недоступно. Его идея состоит в том, чтобы использовать закон рычага для определения площадей фигур из известного центра масс других фигур. Самый простой пример на современном языке - это область параболы. Архимед использует более элегантный метод, но на картезианском языке его метод вычисляет интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}},}$

что в настоящее время легко проверить с помощью элементарного интегрального исчисления .

Идея состоит в том, чтобы механически сбалансировать параболу (изогнутая область, интегрированная выше) с определенным треугольником, сделанным из того же материала. Парабола - это область в плоскости x - y между осью x и y  =  x ² при изменении x от 0 до 1. Треугольник - это область в плоскости x - y между осью x и линией y  =  x , также как x изменяется от 0 до 1.

Разрежьте параболу и треугольник на вертикальные срезы, по одному для каждого значения  x . Представьте, что ось x представляет собой рычаг с точкой опоры в точке x  = 0. Закон рычага гласит, что два объекта на противоположных сторонах оси  будут уравновешивать, если каждый из них имеет одинаковый крутящий момент , где крутящий момент объекта равен его весу, умноженному на расстояние до точки опоры. Для каждого значения  x срез треугольника в позиции x имеет массу, равную его высоте  x , и находится на расстоянии  x от точки опоры; таким образом, он уравновесил бы соответствующий кусок параболы высотой x ² , если бы последний был перемещен на x = −1, на расстоянии 1 по другую сторону от оси.

Сбалансированный треугольник и параболическая перемычка по Методике

Поскольку каждая пара срезов уравновешивается, перемещение всей параболы к x  = −1 уравновешивает весь треугольник. Это означает, что если исходная неразрезанная парабола подвешена за крюк за точку x  = −1 (так, чтобы вся масса параболы была прикреплена к этой точке), она уравновесит треугольник, расположенный между x  = 0 и  x  = 1. .

Центр масс треугольника может быть легко найден следующим методом, также принадлежащим Архимеду. Если срединная линия проведена от любой одной из вершин треугольника к противоположному краю E , треугольник будет балансировать на медиане, считающейся точкой опоры. Причина в том, что если треугольник разделен на бесконечно малые отрезки линии, параллельные E , каждый отрезок имеет одинаковую длину на противоположных сторонах медианы, поэтому баланс следует симметрии. Этот аргумент можно легко сделать строгим, исчерпав его, используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и именно это делает Архимед в «Равновесии плоскостей» .

Таким образом, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одна медиана - это линия y  =  x / 2, а вторая медиана - это линия y  = 1 -  x . Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится выше точки x  = 2/3, так что суммарный эффект треугольника на рычаг такой, как если бы общая масса треугольника давила на (или висела из) этой точки. Общий крутящий момент, создаваемый треугольником, равен его площади 1/2, умноженной на расстояние 2/3 его центра масс от точки опоры в точке x. = 0. Этот крутящий момент 1/3 уравновешивает параболу, которая находится на расстоянии -1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна быть 1/3, чтобы дать ей противоположный крутящий момент.

Этот тип метода может использоваться, чтобы найти площадь произвольного участка параболы, и аналогичные аргументы могут использоваться, чтобы найти интеграл любой степени x , хотя более высокие степени усложняются без алгебры. Архимед дошел только до интеграла x ³ , который он использовал, чтобы найти центр масс полушария, а в другой работе - центр масс параболы.

Первое предложение в палимпсесте [ править ]

Рассмотрим параболу на рисунке справа. Выберите две точки на параболе и называть их А и Б .

Предположим, что отрезок AC параллелен оси симметрии параболы. Далее предположим , что отрезок BC лежит на линии, касательной к параболе в B . Первое предложение гласит:

Площадь треугольника ABC ровно в три раза больше площади, ограниченной параболой и секущей AB .

Доказательство :

Пусть D - середина AC . Построить отрезок линии JB через D , где расстояние от J до D равно расстоянию от B до D . Мы будем думать о сегменте JB как о «рычаге» с точкой опоры D. Как ранее показал Архимед, центр масс треугольника находится в точке I на «рычаге», где DI  : DB  = 1: 3. Следовательно, достаточно показать, что если весь вес внутренней части треугольника лежит на I, а весь вес сечения параболы в точке J , рычаг находится в равновесии.

Рассмотрим бесконечно малое поперечное сечение треугольника, заданного отрезком HE , где точка H лежит на BC , точка E лежит на AB , а HE параллельна оси симметрии параболы. Вызвать пересечение HE и параболу F и пересечение HE и рычаг G . Если весь вес треугольника опирается на I , он оказывает на рычаг JB такой же крутящий момент, как и на HE . Таким образом, мы хотим показать, что если вес поперечного сечения HE лежит наG и вес сечения EF сечения параболы опирается на J , тогда рычаг находится в равновесии. Другими словами, достаточно показать, что EF  : GD  =  EH  : JD . Но это обычное следствие уравнения параболы. QED

Объем шара [ править ]

Опять же, чтобы осветить механический метод, удобно использовать немного координатной геометрии. Если сфера радиуса 1 помещается с центром в точке x  = 1, радиус вертикального поперечного сечения при любом x между 0 и 2 определяется по следующей формуле:${\displaystyle \rho _{S}}$

${\displaystyle \rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.}$

Масса этого поперечного сечения для балансировки на рычаге пропорциональна площади:

${\displaystyle \pi \rho _{S}(x)^{2}=2\pi x-\pi x^{2}.}$

Затем Архимед рассмотрел возможность поворота треугольной области между y  = 0 и y  =  x и x =  2 на плоскости x - y вокруг оси x , чтобы сформировать конус. Поперечное сечение этого конуса представляет собой окружность радиуса${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle \rho _{C}(x)=x}$

а площадь этого поперечного сечения равна

${\displaystyle \pi \rho _{C}^{2}=\pi x^{2}.}$

Так что, если кусочки конуса и сферы , как должны быть взвешены вместе, суммарная площадь поперечного сечения:

${\displaystyle M(x)=2\pi x.}$

Если два среза разместить вместе на расстоянии 1 от точки опоры, их общий вес будет точно уравновешен кругом площади на расстоянии x от точки опоры на другой стороне. Это означает, что конус и сфера вместе, если бы весь их материал был перемещен к x = 1 , уравновесили бы цилиндр с радиусом основания 1 и длиной 2 с другой стороны.${\displaystyle 2\pi }$

Поскольку x находится в диапазоне от 0 до 2, центр тяжести цилиндра будет находиться на расстоянии 1 от точки опоры, поэтому можно считать, что весь вес цилиндра находится в положении 1. Условие баланса гарантирует, что объем конуса плюс объем шара равен объему цилиндра.

Объем цилиндра равен площади поперечного сечения, умноженной на высоту, которая равна 2 или . Архимед мог также найти объем конуса, используя механический метод, поскольку, говоря современным языком, используемый интеграл точно такой же, как и интеграл для площади параболы. Объем конуса равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту. Основание конуса - это круг радиуса 2 с площадью , а высота равна 2, поэтому площадь равна . Вычитание объема конуса из объема цилиндра дает объем сферы:${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle 8\pi /3}$

${\displaystyle V_{S}=4\pi -{8 \over 3}\pi ={4 \over 3}\pi .}$

Зависимость объема сферы от радиуса очевидна из масштабирования, хотя в то время это было нетривиально сделать строго. Затем метод дает известную формулу для объема сферы . Масштабируя размеры линейно, Архимед легко распространил объем до сфероидов .

Аргумент Архимеда почти идентичен приведенному выше аргументу, но его цилиндр имел больший радиус, так что конус и цилиндр висели на большем расстоянии от точки опоры. Он считал этот аргумент своим величайшим достижением, прося, чтобы на его надгробной плите была выгравирована соответствующая фигура сбалансированной сферы, конуса и цилиндра.

Площадь поверхности сферы [ править ]

Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед утверждал, что точно так же, как площадь круга можно представить как бесконечное множество бесконечно малых прямоугольных треугольников, идущих по окружности (см. Измерение круга ), можно представить себе объем сферы. как разделенный на множество конусов с высотой, равной радиусу и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота - радиус. Нет никаких подробностей для аргументации, но очевидная причина состоит в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разделив основную площадь наверх, и каждый конус вносит свой вклад в соответствии со своей основной площадью, точно так же, как и в сфере. .

Пусть поверхность сферы будет  S . Объем конуса с площадью основания S и высоты г является , которая должна равняться объем сферы: . Следовательно, площадь поверхности сферы должна быть в четыре раза больше ее наибольшего круга. Архимед строго доказывает это в своей книге « На сфере и цилиндре» .${\displaystyle \scriptstyle Sr/3}$${\displaystyle \scriptstyle 4\pi r^{3}/3}$${\displaystyle 4\pi r^{2}}$

Криволинейные формы с рациональными объемами [ править ]

Одна из замечательных особенностей метода заключается в том, что Архимед находит две формы, определяемые секциями цилиндров, объем которых не включает  π , несмотря на то, что формы имеют криволинейные границы. Это центральный момент исследования - некоторые криволинейные формы можно исправить с помощью линейки и циркуля, так что существуют нетривиальные рациональные отношения между объемами, определяемыми пересечениями геометрических тел.

Архимед подчеркивает это в начале трактата и предлагает читателю попытаться воспроизвести результаты каким-либо другим методом. В отличие от других примеров, объем этих форм не вычисляется строго ни в одной из его других работ. Из фрагментов палимпсеста следует, что Архимед действительно вписывал и описывал формы, чтобы доказать строгие границы объема, хотя детали не сохранились.

Две формы, которые он рассматривает, являются пересечением двух цилиндров под прямым углом ( бицилиндр ), который является областью ( x ,  y ,  z ), подчиняющейся:

(2 цил )${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\;\;\;y^{2}+z^{2}<1,}$

и круговая призма, которая представляет собой область, подчиняющуюся:

( CirP )${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1,\;\;\;\;\;0<z<y.}$

Обе задачи имеют нарезку, которая дает простой интеграл для механического метода. Для круглой призмы разрежьте ось X на кусочки. Область в плоскости y - z при любом x - это внутренность прямоугольного треугольника с длиной стороны, равной площади , так что общий объем равен:${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle \scriptstyle {1 \over 2}(1-x^{2})}$

( CirP ) ${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx}$

которые легко исправить механическим способом. Добавление к каждому треугольному сечению части треугольной пирамиды с площадью уравновешивает призму с постоянным поперечным сечением.${\displaystyle \scriptstyle x^{2}/2}$

Для пересечения двух цилиндров разрез теряется в рукописи, но его можно очевидным образом восстановить параллельно с остальной частью документа: если плоскость xz является направлением среза, уравнения для цилиндра дают это, а , который определяет область, которая представляет собой квадрат в плоскости x - z с длиной стороны , так что общий объем равен:${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\,<\,1-y^{2}}$${\displaystyle \scriptstyle z^{2}\,<\,1-y^{2}}$${\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {1-y^{2}}}}$

(2 цил ) ${\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.}$

И это тот же интеграл, что и в предыдущем примере.

Другие предложения в палимпсесте [ править ]

Ряд предложений геометрии доказывается в палимпсесте аналогичными аргументами. Одна из теорем состоит в том, что центр масс полусферы расположен на 5/8 пути от полюса до центра сферы. Эта проблема примечательна тем, что вычисляет кубический интеграл.

См. Также [ править ]

• Архимед Палимпсест
• Метод неделимых
• Метод истощения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архимед (1912), Метод Архимеда, недавно открытый Хейбергом; приложение к работам Архимеда , Cambridge University Press(перевод Томаса Литтла Хита ).
• Ян Хогендейк (2002). «Площадь поверхности бицилиндра и метод Архимеда». Historia Mathematica . 29 (2): 199–203. DOI : 10.1006 / hmat.2002.2349 . Руководство по ремонту  1896975 .