На сфере и цилиндре

Страница из "О сфере и цилиндре" на латыни.

О сфере и цилиндре ( греч . Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) - труд, опубликованный Архимедом в двух томах c. 225 г. до н. Э. ^[1] Это особенно подробно описанокак найти площадь поверхности в виде сферы и объем содержащегося шара и аналогичных значений для цилиндра , и был первымчтобы сделать это. ^[2]

Содержание [ править ]

От объема шара к объему цилиндра от 2 до 3.

Основные формулы, полученные в книгах « На сфере» и «Цилиндр», - это те, которые упомянуты выше: площадь поверхности сферы, объем содержащегося в ней шара, а также площадь поверхности и объем цилиндра. Позвольте быть радиусом сферы и цилиндра, и быть высотой цилиндра, с предположением, что цилиндр является прямым цилиндром - сторона перпендикулярна обеим крышкам. В своей работе Архимед показал, что площадь поверхности цилиндра равна:${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle A_ {C} = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh = 2 \ pi r (r + h). \,}$

и что объем того же самого:

${\ Displaystyle V_ {C} = \ pi r ^ {2} ч. \,}$^[3]

На сфере он показал, что площадь поверхности в четыре раза больше площади ее большого круга . Говоря современным языком, это означает, что площадь поверхности равна:

${\ Displaystyle A_ {S} = 4 \ pi r ^ {2}. \,}$

Результат для объема заключенного шара показал, что он составляет две трети объема описанного цилиндра , что означает, что объем равен

${\ displaystyle V_ {S} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}$

Когда вписывающий цилиндр плотный и имеет высоту , так что сфера касается цилиндра сверху и снизу, он показал, что и объем, и площадь поверхности сферы составляли две трети от цилиндра. Это означает, что площадь сферы равна площади цилиндра без его крышек. Этот результат в конечном итоге привел к цилиндрической проекции равных площадей Ламберта , способу картирования мира, который точно представляет области. Архимед особенно гордился этим последним результатом, и поэтому он попросил, чтобы набросок сферы, вписанной в цилиндр, был начертан на его могиле. Позднее римский философ Марк Туллий Цицерон обнаружил гробницу, заросшую окружающей растительностью. ^[4]${\displaystyle h=2r}$

Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы объема шара, был скорее связан с его геометрией, и многие современные учебники имеют упрощенную версию с использованием концепции предела , которой не существовало во времена Архимеда. Архимед использовал вписанный полу-многоугольник в полукруг, затем повернул оба, чтобы создать конгломерат усеченных пирамид в сфере, для которой он затем определил объем. ^[5]

Похоже, что это не оригинальный метод, который Архимед использовал для получения этого результата, а лучший формальный аргумент, доступный ему в греческой математической традиции. Его первоначальный метод, вероятно, заключался в умном использовании рычагов. ^[6] палимпсест украдена из греческой православной церкви в начале 20 - го века, который вновь появился на аукционе в 1998 году, содержит многие из Архимеда работ, в том числе методом механических теорем , в которых он описывает метод определения объема , который включает в себя остатки, центры масс и бесконечно малые срезы. ^[7]

См. Также [ править ]

• Архимедова собственность

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Данэм, Уильям (1990), Путешествие через гения (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-50030-5
• Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-53656-3
• Ш.Гулд, Метод Архимеда, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, No. 7 (август - сентябрь 1955 г.), стр. 473–476

• Лучио Ломбардо Радиче, Математика да Питагора в Ньютоне , Рома, Editori Riuniti , 1971.
• Аттилио Фражезе, Опере ди Архимеда , Турин, UTET, 1974.