Архимедова собственность

Иллюстрация архимедова свойства.

В абстрактной алгебре и анализе , то архимедовость , названная в честь древнегреческого математика Архимеда из Сиракуза , является имуществом , находящимся в некоторых алгебраических структурах , такие как упорядоченные или нормированных группы и поле . Свойство, обычно трактуемое как свойство, гласит, что для двух положительных чисел x и y существует целое число n, так что nx> y. Это также означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху. ^[1] Грубо говоря, это свойство не иметь бесконечно больших или бесконечно малых элементов. Это былоОтто Штольц , давший название аксиоме Архимеда, потому что она появляется как Аксиома V Архимеда « О сфере и цилиндре» . ^[2]

Это понятие возникло из теории величин Древней Греции; он до сих пор играет важную роль в современной математике , таких как Дэвид Гильберта «s аксиом геометрии и теории упорядоченных групп , упорядоченных полей и локальных полей .

Алгебраическая структура, в которой любые два ненулевых элемента сравнимы в том смысле, что ни один из них не является бесконечно малым по отношению к другому, называется архимедовой . Структура, которая имеет пару ненулевых элементов, один из которых бесконечно мал по отношению к другому, называется неархимедовой . Например, линейно упорядоченная группа, которая является архимедовой, является архимедовой группой .

Это может быть уточнено в различных контекстах с немного разными формулировками. Например, в контексте упорядоченных полей есть аксиома Архимеда, которая формулирует это свойство, где поле действительных чисел архимедово, а поле рациональных функций в реальных коэффициентах - нет.

История и происхождение названия архимедовой собственности [ править ]

Концепция была названа Отто Штольц (в 1880 году) после древнегреческих геометр и физик Архимед из Сиракуз .

Свойство Архимеда появляется в Книге V Элементов Евклида как Определение 4:

Говорят, что величины имеют отношение друг к другу, которое при умножении может превосходить друг друга.

Поскольку Архимед приписал ее Евдоксу Книдскому, она также известна как «Теорема Евдокса» или аксиома Евдокса . ^[3]

Архимед использовал бесконечно малые числа в эвристических аргументах, хотя он отрицал, что это были законченные математические доказательства .

Определение линейно упорядоченных групп [ править ]

Пусть $х$ и $у$ будут положительные элементы из более линейно упорядоченной группы G . Тогда $x$ бесконечно мал по отношению к $y$ (или, что эквивалентно, $y$ бесконечен по отношению к $x$ ), если для любого натурального числа $n$ кратное $nx$ меньше $y$ , то есть выполняется следующее неравенство:

{\ displaystyle \ underbrace {x + \ cdots + x} _ {n {\ text {terms}}} <y. \,}

Это определение можно распространить на всю группу, взяв абсолютные значения.

Группа $G$ является архимедовой, если не существует пары $(x, y)$ такой, что $x$ бесконечно мал по отношению к $y$ .

Кроме того, если $К$ является алгебраической структура с блоком (1) - например, кольцо - аналогичное определение относится и к $K$ . Если $x$ бесконечно мал по отношению к 1, то $x$ является бесконечно малым элементом . Аналогично, если $y$ бесконечно относительно 1, то $y$ - бесконечный элемент . Алгебраическая структура $K$ является архимедовой, если в ней нет бесконечных элементов и бесконечно малых элементов.

Упорядоченные поля [ править ]

У упорядоченных полей есть некоторые дополнительные свойства:

Рациональные числа вложены в любое упорядоченное поле. То есть любое упорядоченное поле имеет нулевую характеристику .
Если $x$ бесконечно мал, то $1 / x$ бесконечно, и наоборот. Следовательно, чтобы убедиться, что поле архимедово, достаточно проверить только отсутствие бесконечно малых элементов или отсутствие бесконечных элементов.
Если $x$ бесконечно мал, а r - рациональное число, то $rx$ также бесконечно мало. В результате, учитывая общий элемент $c$ , три числа $c / 2$ , $c$ и $2 c$ либо все бесконечно малы, либо все не бесконечно малы.

В этом случае упорядоченное поле $K$ является архимедовым именно тогда, когда выполняется следующее утверждение, называемое аксиомой Архимеда :

«Пусть

x

- любой элемент из

K.

Тогда существует натуральное число

n

такое, что

n > x

».

В качестве альтернативы можно использовать следующую характеристику:

{\ displaystyle \ forall \, \ varepsilon \ in K {\ big (} \ varepsilon> 0 \ подразумевает \ существует \ n \ in N: 1 / n <\ varepsilon {\ big)}.}

Определение нормированных полей [ править ]

Классификатор «Архимедово» также формулируется в теории однозначных полей и нормированных пространств над однозначными полями следующим образом. Пусть $F$ будет полем, наделенным функцией абсолютного значения, т. Е. Функцией, которая связывает действительное число 0 с элементом поля 0 и связывает положительное действительное число с каждым ненулевым $x$ $\in$ $F$ и удовлетворяет и . Тогда $F$ называется архимедовым, если для любого ненулевого $x$ $\in$ $F$ существует натуральное число $n$ такое, что ${\ displaystyle | x |}$ ${\ Displaystyle | ху | = | х || у |}$ ${\ Displaystyle | х + у | \ Leq | х | + | у |}$

{\ displaystyle | \ underbrace {x + \ cdots + x} _ {n {\ text {terms}}} |> 1. \,}

Точно так же нормированное пространство является архимедовым, если сумма $n$ членов, каждое из которых равно ненулевому вектору $x$ , имеет норму больше единицы для достаточно большого $n$ . Поле с абсолютным значением или нормированное пространство либо архимедово, либо удовлетворяет более сильному условию, называемому ультраметрическим неравенством треугольника ,

{\ Displaystyle | х + Y | \ Leq \ макс (| х |, | у |)}

,

соответственно. Поле или нормированное пространство, удовлетворяющее ультраметрическому неравенству треугольника, называется неархимедовым .

Понятие неархимедова линейного нормированного пространства было введено А. Ф. Монной. ^[4]

Примеры и не примеры [ править ]

Архимедово свойство действительных чисел [ править ]

Поле рациональных чисел может быть назначено одной из ряда функций абсолютного значения, включая тривиальную функцию, когда $x$ $\neq 0$ , более обычную , и $p$ -адические функции абсолютного значения . По теореме Островского каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному модулю, либо некоторому $p$ ${\ Displaystyle | х | = 1,}$ $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ -адическая абсолютная величина. Поле рациональных значений не является полным относительно нетривиальных абсолютных значений; относительно тривиального модуля рациональное поле является дискретным топологическим пространством, поэтому полным. Завершение относительно обычного абсолютного значения (из порядка) - это поле действительных чисел. По этой конструкции поле действительных чисел архимедово и как упорядоченное, и как нормированное поле. ^[5] С другой стороны, дополнения по другим нетривиальным абсолютным значениям дают поля $p$ -адических чисел, где $p$ - простое целое число (см. Ниже); поскольку $p$ -адические абсолютные значения удовлетворяют ультраметрическому свойству, то $p$ -адические числовые поля не являются архимедовыми как нормированные поля (их нельзя преобразовать в упорядоченные поля).

В аксиоматической теории действительных чисел несуществование ненулевых бесконечно малых действительных чисел подразумевается следующим свойством наименьшей верхней границы . Обозначим $Z$ множество, состоящее из всех положительных бесконечно малых. Сверху это множество ограничено 1. Предположим от противного, что $Z$ непусто. Тогда у него есть точная верхняя граница $c$ , которая также положительна, поэтому $c / 2 < c <2 c$ . Так как $с$ приведено верхней границей из $Z$ и $2 гр$ строго больше $с$ , $2 c$ не является положительным бесконечно малым. То есть существует некоторое натуральное число $n,$ для которого $1 / n <2 c$ . С другой стороны, $c / 2$ является положительной бесконечно малой величиной, поскольку по определению наименьшей верхней границы между $c$ $/ 2$ и $c$ должно быть бесконечно малое $x$ , а если $1 /$ $k$ $<$ $c$ $/ 2 \leq$ $x,$ то $x$ не является бесконечно малым . Но $1 / (4$ $n$ $) <$ $c$ $/ 2$ , поэтому $c$ $/ 2$ не является бесконечно малым, и это противоречие. Это означает, что $Z$ все-таки пусто: нет положительных бесконечно малых действительных чисел.

Архимедово свойство действительных чисел сохраняется и в конструктивном анализе , даже если свойство наименьшей верхней границы может не работать в этом контексте.

Неархимедово упорядоченное поле [ править ]

В качестве примера упорядоченного поля , которое не является архимедовым, возьмем поле рациональных функций с действительными коэффициентами. (Рациональная функция - это любая функция, которая может быть выражена как один многочлен, деленный на другой многочлен; в дальнейшем мы будем предполагать, что это было сделано таким образом, что старший коэффициент знаменателя положителен.) Чтобы сделать это упорядоченным В поле необходимо задать порядок, совместимый с операциями сложения и умножения. Теперь $f > g$ тогда и только тогда, когда f - g> 0, поэтому нам нужно только сказать, какие рациональные функции считаются положительными. Назовите функцию положительной, если старший коэффициент числителя положителен. (Необходимо проверить, что этот порядок правильно определен и совместим со сложением и умножением.) Согласно этому определению рациональная функция 1 / x положительна, но меньше рациональной функции 1. Фактически, если $n$ - любое натуральное число, то n (1 / x ) = n / x положительно, но все же меньше 1, независимо от того, насколько велико $n$ . Следовательно, 1 / x бесконечно малая величина в этом поле.

Этот пример обобщается на другие коэффициенты. Принятие рациональных функций с рациональными вместо действительных коэффициентов дает счетное неархимедово упорядоченное поле. Если взять коэффициенты за рациональные функции в другой переменной, например $y$ , получается пример с другим типом порядка .

Поля с неархимедовыми значениями [ править ]

Поле рациональных чисел, наделенное p-адической метрикой, и поля p-адических чисел, которые являются дополнениями, не обладают свойством Архимеда как поля с абсолютными значениями. Все поля с архимедовыми значениями изометрически изоморфны подполю комплексных чисел со степенью обычного абсолютного значения. ^[6]

Эквивалентные определения Архимедова упорядоченного поля [ править ]

Каждое линейно упорядоченное поле $K$ содержит (изоморфную копию) рациональные числа как упорядоченное подполе, а именно подполе, порожденное мультипликативной единицей 1 поля $K$ , которое, в свою очередь, содержит целые числа как упорядоченную подгруппу, которая содержит натуральные числа как упорядоченный моноид . Вложение рациональных чисел затем дает способ говорить о рациональных чисел, целых и натуральных чисел в $K$ . Ниже приведены эквивалентные характеристики архимедовых полей в терминах этих подструктур. ^[7]

1. Натуральные числа конфинальны в $K$ . То есть каждый элемент $K$ меньше некоторого натурального числа. (Это не тот случай, когда существует бесконечное количество элементов.) Таким образом, архимедово поле - это поле, натуральные числа которого неограниченно растут.

2. Ноль - это точная нижняя грань в $K$ множества {1/2, 1/3, 1/4, ...}. (Если бы $K$ содержало положительную бесконечно малую величину, это было бы нижней границей для множества, откуда ноль не был бы точной нижней границей.)

3. Множество элементов $K$ между положительным и отрицательным рациональными числами не открыто. Это потому, что набор состоит из всех бесконечно малых, который является просто набором {0}, когда нет ненулевых бесконечно малых, и в противном случае является открытым, поскольку нет ни наименьшего, ни наибольшего ненулевых бесконечно малых. Заметим, что в обоих случаях множество бесконечно малых замкнуто. В последнем случае (i) каждая бесконечно малая меньше любого положительного рационального, (ii) не существует ни наибольшего бесконечно малого, ни наименее положительного рационального числа, и (iii) между ними нет ничего другого. Следовательно, любое неархимедово упорядоченное поле является неполным и несвязным.

4. Для любого $x$ из $K$ множество целых чисел больше $x$ имеет наименьший элемент. (Если бы $x$ было отрицательной бесконечной величиной, каждое целое число было бы больше его.)

5. Каждый непустой открытый интервал в $K$ содержит рациональное число. (Если $x$ - положительная бесконечно малая величина, открытый интервал $(x, 2 x)$ содержит бесконечно много бесконечно малых, но ни одного рационального числа.)

6. Рациональные числа плотны в $K$ как по sup, так и по inf. (То есть каждый элемент $K$ является sup некоторого набора рациональных чисел и inf некоторого другого набора рациональных чисел.) Таким образом, архимедово поле - это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел в смысле любого упорядоченного поля, которое плотно вмещает свои рациональные элементы.

См. Также [ править ]

0,999 ... - Альтернативное десятичное разложение числа 1
Архимедово упорядоченное векторное пространство
Построение действительных чисел - Аксиоматические определения действительных чисел

Заметки [ править ]

^ https://www.math.cuhk.edu.hk/course_builder/2021/math2050c/MATH%202050C%20Lecture%204%20(Jan%2021).pdf
^ Г. Фишер (1994) в П. Эрлихе (ред.), Действительные числа, обобщения вещественных чисел и теории континуумов, 107-145, Kluwer Academic
^ Кнопп, Конрад (1951). Теория и применение бесконечных рядов (2-е изд. На английском языке). Лондон и Глазго: Blackie & Son, Ltd. стр. 7 . ISBN 0-486-66165-2.
^ Мона, AF, над ееп Lineare P-adisches ruimte, INDAG. Матем., 46 (1943), 74–84.
↑ Нил Коблиц , «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции», Springer-Verlag, 1977.
^ Shell, Niel, Topological Fields and Near Valuations, Dekker, New York, 1990. ISBN 0-8247-8412-X.
^ Шехтер 1997 , §10.3

Ссылки [ править ]

Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса. ISBN 0-12-622760-8. Архивировано из оригинала на 2015-03-07 . Проверено 30 января 2009 .

[1] ttps://www.math.cuhk.edu.hk/course_builder/2021/math2050c/MATH%202050C%20Lecture%204%20(Jan%2021).pdf

[2] Г. Фишер (1994) в П. Эрлихе (ред.), Действительные числа, обобщения вещественных чисел и теории континуумов, 107-145, Kluwer Academic

[Knopp1951-3] Кнопп, Конрад (1951). Теория и применение бесконечных рядов (2-е изд. На английском языке). Лондон и Глазго: Blackie & Son, Ltd. стр. 7 . ISBN 0-486-66165-2.

[monna1-4] Мона, AF, над ееп Lineare P-adisches ruimte, INDAG. Матем., 46 (1943), 74–84.

[5] Нил Коблиц , «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции», Springer-Verlag, 1977.

[shell1-6] Shell, Niel, Topological Fields and Near Valuations, Dekker, New York, 1990. ISBN 0-8247-8412-X.

[Schechter-7] Шехтер 1997 , §10.3

[1]