В математике , в частности в абстрактной алгебре , линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа - это группа G, оснащенная общим порядком «≤», который инвариантен относительно трансляции . Это может иметь разные значения. Мы говорим, что ( G , ≤) - это:
- левоупорядоченная группа, если из a ≤ b следует c + a ≤ c + b для всех a , b , c в G ,
- правоупорядоченная группа, если из a ≤ b следует a + c ≤ b + c для всех a , b , c в G ,
- двунаправленная группа, если она упорядочена как слева, так и справа.
Обратите внимание, что G не обязательно должна быть абелевой , даже если мы используем аддитивную запись (+) для групповой операции.
Определения [ править ]
По аналогии с обычными числами, мы называем элемент c упорядоченной группы положительным, если 0 ≤ c и c ≠ 0, где «0» здесь обозначает единичный элемент группы (не обязательно знакомый ноль действительных чисел). Множество положительных элементов в группе часто обозначают G + . [а]
Элементы линейно упорядоченной группы удовлетворяют трихотомии : каждый элемент a линейно упорядоченной группы G либо положительный ( a ∈ G + ), либо отрицательный ( −a ∈ G + ), либо нулевой ( a = 0). Если линейно упорядоченная группа G не является тривиальным (т.е. 0 не является ее единственным элементом), то G + бесконечна, так как все кратные элемента ненулевым различны. [b] Следовательно, любая нетривиальная линейно упорядоченная группа бесконечна.
Если является элементом линейно упорядоченной группы G , то абсолютное значение из , обозначаемой | a | определяется как:
Если, кроме того, группа G является абелевой , то для любого а , б ∈ G неравенство треугольника выполнено: | а + б | ≤ | а | + | б |.
Примеры [ править ]
Любая вполне упорядоченная группа не имеет кручения . Наоборот, Ф. В. Леви показал, что абелева группа допускает линейный порядок тогда и только тогда, когда она не имеет кручения ( Levi 1942 ).
Гёльдер показал , что каждая архимедова группа (би-упорядоченной группа , удовлетворяющую архимедовость ) является изоморфна к подгруппе аддитивной группы действительных чисел , ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 61). Если записать Архимед ла группу мультипликативной, это может быть показано при рассмотрении дедекиндова завершения , о замыкании ли группу под го корней. Мы наделяем это пространство обычной топологией линейного порядка, а затем можно показать, что для каждого экспоненциального отображения четко определена топологическая группа, сохраняющая / обращающая порядок.изоморфизмы. Завершение группы lo может быть затруднено в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу: который связан с порядковым типом наибольшей последовательности выпуклых подгрупп.
Большой источник примеров левоупорядочиваемых групп - это группы, действующие на вещественной прямой посредством сохраняющих порядок гомеоморфизмов . На самом деле, для счетных групп это, как известно, характеристика левоупорядочиваемости , см., Например, ( Ghys 2001 ).
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Обратите внимание, что + пишется как нижний индекс, чтобы отличать от G +, который включает в себя элемент идентичности. См., Например, IsarMathLib , стр. 344.
- ^ Формально, учитывая любой ненулевой элемент c (который мы можем считать положительным, иначе взять −c ) и натуральное число k, мы имеем, поэтому по индукции, учитывая два натуральных числа k < l , мы имеем, так что существует впрыскивание из натуральных чисел в G .
Ссылки [ править ]
- Леви, FW (1942), "Упорядоченные группы", Proc. Индийский акад. Sci. , А16 (4): 256-263, DOI : 10.1007 / BF03174799
- Фукс, Ласло; Салсе, Луиджи (2001), Модули над нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, 84 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, Руководство по ремонту 1794715
- Ghys, Э. (2001), «Группы, действующие в круге», L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407.