В математике , А циклически упорядоченная группа представляет собой набор как с групповой структурой и циклическим порядком , таким образом, что левое и правое умножение и сохранение циклического порядка.
Циклически упорядоченные группы были впервые подробно изучены Ладиславом Ригером в 1947 году. [1] Они являются обобщением циклических групп : бесконечной циклической группы Z и конечных циклических групп Z / n . Поскольку линейный порядок индуцирует циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченных групп : рациональных чисел Q , действительных чисел R и т. Д. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: круговая группа T и ееподгруппы , такие как подгруппа рациональных точек .
Факторы линейных групп
Естественно , чтобы изобразить циклический упорядоченные группы , как дроби : один имеет Z п = Z / п Z и Т = R / Z . Даже когда-то линейную группу, подобную Z , можно представить себе как Z 2 / Z , если ее согнуть в круг . Ригер ( 1946 , 1947 , 1948 ) показал, что эта картина является общим явлением. Для любой упорядоченной группы L и любого центрального элемента z, который порождает конфинальную подгруппу Z группы L , фактор-группа L / Z является циклически упорядоченной группой. Более того, любая циклически упорядоченная группа может быть выражена как такая фактор-группа. [2]
Группа круга
Свержковский (1959a) развил результаты Ригера в другом направлении. Для циклически упорядоченной группы K и упорядоченной группы L произведение K × L является циклически упорядоченной группой. В частности, если T - круговая группа, а L - упорядоченная группа, то любая подгруппа в T × L является циклически упорядоченной группой. Кроме того, каждый циклический упорядоченная группа может быть выражена в качестве подгруппы такого продукта с Т . [3]
По аналогии с архимедовой линейно упорядоченной группой , можно определить архимедову циклически упорядоченную группу как группу, которая не содержит никакой пары элементов x , y таких, что [e, x n , y ] для любого положительного целого числа n . [3] Поскольку рассматриваются только положительные n , это более сильное условие, чем его линейный аналог. Например, Z больше не подходит, поскольку для каждого n имеется [0, n , −1] .
В качестве следствия доказательства Świerczkowski, в каждой архимедовой циклически упорядоченная группа является подгруппой Т самой. [3] Этот результат аналогичен Гёльдер 1901 теоремы о том , что каждая архимедова линейно упорядоченная группа является подгруппой R . [4]
Топология
Каждая компактная циклически упорядоченная группа является подгруппой Т .
Обобщения
Связанные структуры
Глушанкоф (1993) показал, что определенная подкатегория циклически упорядоченных групп, «проектируемые Ic-группы со слабой единицей», эквивалентна определенной подкатегории MV-алгебр , «проектируемым MV-алгебрам». [5]
Заметки
- ^ Pecinová-Козакова 2005 , стр. 194.
- ^ Wierczkowski 1959a , p. 162.
- ^ a b c wierczkowski 1959a , стр. 161–162.
- ↑ Hölder 1901 , цитируется по Hofmann & Lawson 1996 , стр. 19, 21, 37
- ^ Gluschankof 1993 , стр. 261.
Рекомендации
- Gluschankof, Daniel (1993), "Циклические упорядоченных групп и MV-алгебры" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (2): 249-263, DOI : 10,21136 / CMJ.1993.128391 , получен 30 апреля 2011
- Hofmann, Karl H .; Лоусон, Джимми Д. (1996), "Обзор полностью упорядоченных полугрупп", в Hofmann, Karl H .; Мислав, Майкл У. (ред.), Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 г., посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Серия лекций Лондонского математического общества, 231 , Cambridge University Press, стр. 15–39, ISBN 978-0-521-57669-7
- Печинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраическая работа», в Сафранкова, Яна (ред.), WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I , Prague: Matfyzpress , pp. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
- Świerczkowski, S. (1959а), "О циклически упорядоченных групп" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161-166, DOI : 10,4064 / фм-47-2-161-166 , получен 2 мая +2011
дальнейшее чтение
- Чернак, Штефан (1989a), «Завершение и канторовское расширение циклически упорядоченных групп», в Халковской, Катаржина; Ставски, Богуслав (ред.), Универсальная и прикладная алгебра (Турава, 1988) , World Scientific, стр. 13–22, ISBN 978-9971-5-0837-1, Руководство по ремонту 1084391
- Чернак, Штефан (1989b), «Канторовское расширение абелевой циклически упорядоченной группы» (PDF) , Mathematica Slovaca , 39 (1): 31–41, hdl : 10338.dmlcz / 128948 , дата обращения 21 мая 2011 г.
- Чернак, Штефан (1991), «О завершении циклически упорядоченных групп» (PDF) , Mathematica Slovaca , 41 (1): 41–49, hdl : 10338.dmlcz / 131783 , дата обращения 22 мая 2011 г.
- Чернак, Штефан (1995), «Лексикографические произведения циклически упорядоченных групп» (PDF) , Mathematica Slovaca , 45 (1): 29–38, hdl : 10338.dmlcz / 130473 , дата обращения 21 мая 2011 г.
- Чернак, Штефан (2001), «Канторовское расширение полу линейно циклически упорядоченной группы» (PDF) , Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications , 21 (1): 31–46, doi : 10.7151 / dmgaa.1025 , получено 22 мая. 2011 г.[ постоянная мертвая ссылка ]
- Чернак, Штефан (2002), «Завершение полу линейно циклически упорядоченной группы» (PDF) , Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications , 22 (1): 5–23, doi : 10.7151 / dmgaa.1043 , получено 22 мая 2011 г.[ постоянная мертвая ссылка ]
- Чернак, Штефан; Jakubik, Ян (1987), "Завершение циклически упорядоченной группы" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 37 (1): 157-174, DOI : 10,21136 / CMJ.1987.102144 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102144 , МР 0875137 , Zbl 0624.06021 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2011-08-15 , получено 25 апреля 2011 г.
- Фукс, Ласло (1963), «IV.6. Циклически упорядоченные группы», Частично упорядоченные алгебраические системы , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 28 , Pergamon Press, стр. 61–65, LCC QA171 .F82 1963
- Giraudet, M .; Kuhlmann, F.-V .; Leloup, G. (февраль 2005), "формальный степенной ряд с циклический упорядоченным экспонентом" (PDF) , Archiv дер Mathematik , 84 (2): 118-130, CiteSeerX 10.1.1.6.5601 , DOI : 10.1007 / s00013-004- 1145-5 , S2CID 16156556 , получено 30 апреля 2011 г.
- Харминц, Матуш (1988), «Последовательные сходимости на циклически упорядоченных группах» (PDF) , Mathematica Slovaca , 38 (3): 249–253, hdl : 10338.dmlcz / 128594 , получено 21 мая 2011 г.
- Гёльдер, О. (1901), «Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematische-Physicke Klasse , 53 : 1–64
- Якубик, Ян (1989), "Retracts абелевых циклически упорядоченных групп" (PDF) , Archivum Mathematicum , 25 (1): 13–18, hdl : 10338.dmlcz / 107334 , получено 21 мая 2011 г.
- Jakubik, Яну (1990), "Циклическая упорядоченные группы с уникальным добавлением" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 40 (3): 534-538, DOI : 10,21136 / CMJ.1990.102406 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102406 , в архиве с оригинал (PDF) от 15 августа 2011 г. , дата обращения 21 мая 2011 г.
- Jakubik, Ян (1991), "Пополнение и закрытие циклический упорядоченные группы" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 41 (1): 160-169, DOI : 10.21136 / CMJ.1991.102447 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102447 , MR 1087637 , проверено 21 мая 2011 г.
- Jakubik, Яну (1998), "Лексикографические разложения продукта циклически упорядоченных групп" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 48 (2): 229-241, DOI : 10,1023 / A: 1022881202595 , ЛВП : 10338.dmlcz / 127413 , S2CID 55134686 , проверено 21 мая 2011 г.
- Jakubik, Яну (2002), "С половиной циклически упорядоченных групп" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 52 (2): 275-294, DOI : 10,1023 / A: 1021718426347 , ЛВП : 10338.dmlcz / 127716 , S2CID 117967332 , получено 22 мая 2011 г.
- Jakubik, Ян (2008), "Последовательные схождения на циклический упорядоченных группы без аксиомы Урысона", Mathematica Slovaca , 58 (6): 739-754, DOI : 10,2478 / s12175-008-0105-0
- Якубик, Ян; Pringerová, Габриэла (1988), "Представления циклически упорядоченных групп" (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 113 (2): 184-196, DOI : 10,21136 / CPM.1988.118342 , ЛВП : 10338.dmlcz / 118342 , извлекаться 30 Апрель 2011 г.
- Якубик, Ян; Прингерова, Габриэла (1988), "Радикальные классы циклически упорядоченных групп" (PDF) , Mathematica Slovaca , 38 (3): 255–268, hdl : 10338.dmlcz / 129356 , получено 30 апреля 2011 г.
- Якубик, Ян; Pringerová, Габриэла (1994), "Прямые пределы циклически упорядоченных групп" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 44 (2): 231-250, DOI : 10,21136 / CMJ.1994.128465 , ЛВП : 10338.dmlcz / 128465 , извлекается 21 Май 2011 г.
- Лелуп, Жерар (2007), «Кольца с циклическими значениями и формальные степенные ряды» , Annales Mathématiques Blaise Pascal , 14 (1): 37–60, doi : 10.5802 / ambp.226 , получено 30 апреля 2011 г.
- Ленца, Hanfried (1967), "Zur Begründung дер Winkelmessung", Mathematische нахрихтен , 33 (5-6): 363-375, DOI : 10.1002 / mana.19670330510
- Люс, Р. Дункан (1971), «Периодические обширные измерения» , Compositio Mathematica , 23 (2): 189–198 , извлечено 22 мая 2011 г.
- Oltikar, Британская Колумбия (март 1980), "Правильные циклически упорядоченных групп" (PDF) , канадский математический вестник , 23 (1): 67-70, DOI : 10,4153 / CMB-1980-009-3 , MR 0573560 , получен 23 мая 2 011
- Пецинова, Элишка (2008), Ладислав Сванте Ригер (1916–1963) , Dějiny matematiky (на чешском языке), 36 , Прага: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz / 400757 , ISBN 978-80-7378-047-0, дата обращения 9 мая 2011
- Ригер, LS (1946), «О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách I (О упорядоченных и циклически упорядоченных группах I)», Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná ) (на чешском языке) (6): 1–31
- Ригер, LS (1947), «О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (О упорядоченных и циклически упорядоченных группах II)», Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná ) (на чешском языке) (1): 1–33
- Ригер, Л.С. (1948), «О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách III (Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах III)», Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná ) (на чешском языке) (1): 1–22
- Ролл, Дж. Блэр (1976), О группах манипольдов: обобщение концепции циклически упорядоченных групп , Государственный университет Боулинг Грин, OCLC 3193754
- Ролл, Дж. Блэр (1993), «Локально частично упорядоченные группы» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136 / CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz / 128411 , получено 30 Апрель 2011 г.
- Виноградов, А.А. (1970), «Упорядоченные алгебраические системы», Филиппов, Н.Д. (ред.), Десять статей по алгебре и функциональному анализу , Переводы Американского математического общества, Серия 2, 96 , Книжный магазин AMS, стр. 69–118, ISBN 978-0-8218-1796-4
- Уокер, Гарольд Аллен (1972), Циклически упорядоченные полугруппы (Диссертация) , Университет Теннесси, OCLC 54363006
- Забарина, Анна Ивановна (1982), "Теория циклически упорядоченных групп", Математические заметки , 31 (1): 3–8, doi : 10.1007 / BF01146259 , S2CID 121833530. Перевод Забарина (1982), К теории циклически упорядоченных групп, Математические заметки , 31 (1): 3–12 , дата обращения 22 мая 2011
- Забарина, Анна Ивановна (1985), "Линейные и циклические порядки в группе", Сибирский математический журнал , 26 (2): 204–207, 225, MR 0788349.
- Забарина Анна Ивановна; Пестов, Герман Гаврилович (1984), «Теорема Сверчковского», Сибирский математический журнал , 24 (4): 545–551, doi : 10.1007 / BF00968891 , S2CID 121613711. Перевод из Сибирского математического журнала , 46–53.
- Забарина Анна Ивановна; Пестов, Герман Гаврилович (1986), «О критерии циклической упорядочиваемости группы», Упорядоченные множительства и решения , 9 : 19–24, Zbl 0713.20034.
- Цассенхауз, Ханс (июнь-июль 1954), "Что такое угол?", Американский Математический Месячный , 61 (6): 369-378, DOI : 10,2307 / 2307896 , JSTOR 2307896
- Щелева, С.Д. (1976), "О циклически упорядоченных группах", Сибирский математический журнал , 17 : 1046–1051, MR 0422106 , Zbl 0362.06022.
- Щелева, С.Д. (1981), "Полугоднородные циклически упорядоченные группы", Годишник высш. Учебн. Завед. Приложна мат. , 17 (4): 123–126, MR 0705070 , Zbl 0511.06013.
- Щелева, С.Д. (1981), "Циклические и Т-подобные упорядоченные группы", Годишник высш. Учебн. Завед. Приложна мат. , 17 (4): 137–149, MR 0705071 , Zbl 0511.06014.
- Щелева С.Д. (1985), "Группа автоморфизмов циклически упорядоченного множества", Научные Тр., Пловдивский ун-т, Матем. (на болгарском языке), 23 (2): 25–31, Zbl 0636.06009
- Щелева С.Д. (1985), "Частичное правое упорядочение группы автоморфизмов циклически упорядоченного множества", Научные Тр., Пловдивский ун-т, Матем. (на болгарском языке), 23 (2): 47–56, Zbl 0636.06011
- Щелева, С.Д. (1997), "Представление правых циклически упорядоченных групп как групп автоморфизмов циклически упорядоченного множества", Mathematica Balkanica , New Series, 11 (3–4): 291–294, Zbl 1036.06501
- Щелева, С.Д. (1998), "Решеточные циклически упорядоченные группы", Mathematica Balkanica , New Series, 12 (1–2): 47–58, Zbl 1036.06502