MV-алгебра

В абстрактной алгебре , ветви чистой математики , MV-алгебра - это алгебраическая структура с бинарной операцией , унарной операцией и константой , удовлетворяющая определенным аксиомам. MV-алгебры являются алгебраической семантикой из Лукасевича логики ; буквы MV относятся к многозначной логике в Лукасевиче . MV-алгебры совпадают с классом ограниченных коммутативных BCK-алгебр . ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle \ neg}$ ${\ displaystyle 0}$

Определения [ править ]

MV-алгебра представляет собой алгебраическую структуру , состоящую из ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, \ lnot, 0 \ rangle,}$

непустое множество ${\ displaystyle A,}$
бинарная операция на ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle A,}$
унарная операция на и ${\ Displaystyle \ lnot}$ ${\ displaystyle A,}$
константа , обозначающая фиксированный элемент из ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle A,}$

которое удовлетворяет следующим тождествам :

${\ Displaystyle (х \ oplus y) \ oplus z = x \ oplus (y \ oplus z),}$
${\ Displaystyle х \ oplus 0 = х,}$
${\ displaystyle x \ oplus y = y \ oplus x,}$
${\ Displaystyle \ lnot \ lnot х = х,}$
${\ Displaystyle х \ oplus \ lnot 0 = \ lnot 0,}$ и
${\ Displaystyle \ lnot (\ lnot x \ oplus y) \ oplus y = \ lnot (\ lnot y \ oplus x) \ oplus x.}$

В силу первых трех аксиом, является коммутативным моноидом . Определяясь тождествами, MV-алгебры образуют множество алгебр. Многообразие MV-алгебр является подмногообразием многообразия BL -алгебр и содержит все булевы алгебры . ${\ displaystyle \ langle A, \ oplus, 0 \ rangle}$

MV-алгебру эквивалентно можно определить (Hájek, 1998) как предлинейную коммутативную ограниченную целочисленную решетку с аппроксимацией, удовлетворяющую дополнительному тождеству ${\ Displaystyle \ langle L, \ клин, \ vee, \ otimes, \ rightarrow, 0,1 \ rangle}$ ${\ displaystyle x \ vee y = (x \ rightarrow y) \ rightarrow y.}$

Примеры MV-алгебр [ править ]

Простой числовой пример - с операциями и. В математической нечеткой логике эта MV-алгебра называется стандартной MV-алгеброй , поскольку она формирует стандартную вещественную семантику логики Лукасевича . ${\ displaystyle A = [0,1],}$ ${\ Displaystyle х \ oplus у = \ мин (х + у, 1)}$ ${\ Displaystyle \ lnot х = 1-х.}$

Тривиальный MV-алгебра имеет единственный элемент 0 и все операции , описанные в возможно только способе, и ${\ displaystyle 0 \ oplus 0 = 0}$ ${\ displaystyle \ lnot 0 = 0.}$

Двухэлементная MV-алгебра фактически двухэлементная Булева алгебра с совпадающим с булевой дизъюнкцией и с булевым отрицанием. Фактически добавление аксиомы к аксиомам, определяющим MV-алгебру, приводит к аксиоматизации булевых алгебр. $\{0,1\},$ $\oplus$ $\lnot$ $x\oplus x=x$

Если вместо этого добавлена аксиома , то эти аксиомы определяют алгебру MV _3, соответствующую трехзначной логике Лукасевича № ₃^[^{необходимая цитата}^] . Другие конечные линейно упорядоченные MV-алгебры получаются путем ограничения вселенной и операций стандартного MV-алгебра к множеству равноудаленных действительных чисел между 0 и 1 (включительно), то есть набором , который замкнут относительно операций и из стандартная MV-алгебра; эти алгебры обычно обозначают MV _n . $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$ $n$ $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ $\oplus$ $\lnot$

Другой важный пример - MV-алгебра Чанга , состоящая только из бесконечно малых (с порядковым типом ω) и их ко-бесконечно малых.

Чанг также построил MV-алгебру из произвольной вполне упорядоченной абелевой группы G , зафиксировав положительный элемент u и определив отрезок [0, u ] как { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, которая становится MV-алгеброй с x ⊕ y = min ( u , x + y ) и ¬ x = u - x . Более того, Чанг показал, что любая линейно упорядоченная MV-алгебра изоморфна MV-алгебре, построенной таким образом из группы.

Д. Мундичи распространил приведенную выше конструкцию на абелевы решеточно-упорядоченные группы . Если G - такая группа с сильной (порядковой) единицей u , то «единичный интервал» { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } можно снабдить ¬ x = u - x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y) и x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y - u ). Эта конструкция устанавливает категорную эквивалентность между решеточно упорядоченными абелевыми группами с сильной единицей и MV-алгебрами.

Эффект алгебра , что решетка упорядоченная и имеет свойство разложения Рисса является MV-алгеброй. Наоборот, любая MV-алгебра является решеточно упорядоченной алгеброй эффектов со свойством разложения Рисса. ^[1]

Отношение к логике Лукасевича [ править ]

CC Чанг разработал MV-алгебру для изучения многозначных логик , введенных Яны Лукасевичем в 1920 г. В частности, MV-алгебры образуют алгебраические семантику из Лукасевича логики , как описано ниже.

Учитывая MV-алгебра , - оценка является гомоморфизмом из алгебры пропозициональных формул (на языке , состоящий из и 0) в А . Формулы , отображенные на 1 (то есть, 0) для всех А -valuations называется - тавтологии . Если используется стандартная MV-алгебра над [0,1], множество всех [0,1] -таутологий определяет так называемую бесконечнозначную логику Лукасевича . $\oplus ,\lnot ,$ $\lnot$

Теорема Чанга (1958, 1959) о полноте утверждает, что любое уравнение MV-алгебры, выполняемое в стандартной MV-алгебре на интервале [0,1], будет выполняться в любой MV-алгебре. Алгебраически это означает, что стандартная MV-алгебра порождает многообразие всех MV-алгебр. Эквивалентно теорема Чанга о полноте говорит, что MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича , определяемую как набор [0,1] -таутологий.

То, как [0,1] MV-алгебра характеризует все возможные MV-алгебры, аналогично хорошо известному факту, что тождества, выполняемые в двухэлементной булевой алгебре, выполняются во всех возможных булевых алгебрах. Более того, MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича аналогично тому, как булевы алгебры характеризуют классическую бивалентную логику (см. Алгебру Линденбаума – Тарского ).

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс ввели алгебру Вайсберга как альтернативную модель для бесконечнозначной логики Лукасевича. Алгебры Вайсберга и MV-алгебры термоэквивалентны. ^[2]

MV _n -алгебры [ править ]

Этот раздел необходимо дополнить дополнительными аксиомами. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Август 2014 г. )

В 1940-х годах Григоре Мойсил представил свои алгебры Лукасевича – Мойсила (LM _n -алгебры) в надежде дать алгебраическую семантику (конечно) n- значной логике Лукасевича . Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что при n ≥ 5 алгебра Лукасевича – Мойсила не моделирует n -значную логику Лукасевича . Хотя CC Chang опубликовал свою MV-алгебру в 1958 году, она является точной моделью только для ℵ ₀ -значной (бесконечно многозначной) логики Лукасевича – Тарского . Для аксиоматически более сложного (конечно) n-значные логики Лукасевича, подходящие алгебры были опубликованы в 1977 г. Ревазом Григолией и названы MV _n -алгебрами. ^[3] MV _n -алгебры являются подклассом LM _n -алгебр; включение строгое при n ≥ 5. ^[4]

MV _п -алгебры являются MV-алгеброй , которые удовлетворяют некоторые дополнительные аксиомы, так же , как п - значные логики Лукасевича имеют дополнительные аксиомы , добавленные в ℵ ₀ значной логику.

В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, добавленные к _n -алгебрам LM, которые дают правильные модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственными n-значными алгебрами Лукасевича . ^[5] LM _n -алгебры, которые также являются MV _n -алгебрами, в точности являются собственными n- значными алгебрами Лукасевича Чиньоли . ^[6]

Отношение к функциональному анализу [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Ноябрь 2012 г. )

Даниэле Мундичи связал MV-алгебры с приблизительно конечномерными C * -алгебрами путем установления биективного соответствия между всеми классами изоморфизма приблизительно конечномерных C * -алгебр с решеточно упорядоченной группой размерностей и всеми классами изоморфизма счетных алгебр MV. Некоторые примеры этой корреспонденции включают:

Счетная алгебра М.В.	приближенно конечномерная C * -алгебра
{0, 1}	ℂ
{0, 1 / n , ..., 1}	M _n (ℂ), т.е. комплексные матрицы размера n × n
конечный	конечномерный
логический	коммутативный

В программном обеспечении [ править ]

Существует несколько структур, реализующих нечеткую логику (тип II), и большинство из них реализуют так называемую многосопряженную логику . Это не более чем реализация MV-алгебры.

Ссылки [ править ]

^ Foulis, ди - джей (2000-10-01). "М.В. и алгебры эффекта Гейтинга". Основы физики . 30 (10): 1687–1706. DOI : 10,1023 / A: 1026454318245 . ISSN 1572-9516 . S2CID 116763476 .
^ "со ссылкой на JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens," Wajsberg Algebras ", Stochastica , VIII, 1, 5-31, 1984" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10 августа 2014 года . Проверено 21 августа 2014 .
^ Лавиния Корина Ciungu (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры . Springer. стр. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
^ Iorgulescu, А .: Связь между MV_н -алгебрами и п -значной Лукасевич-Мойсили алгебры-я. Дискретная математика. 181, 155-177 (1998) DOI : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
^ Р. Cignoli, Правильная п-Valued Лукасевич алгебракак S-алгебра Лукасевича п - значные пропозициональные исчисления, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, DOI : 10.1007 / BF00373490
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10 августа 2014 года . Проверено 21 августа 2014 . CS1 maint: archived copy as title (link)

Чанг, CC (1958) "Алгебраический анализ многозначных логик", Труды Американского математического общества 88 : 476–490.
------ (1959) «Новое доказательство полноты аксиом Лукасевича», Труды Американского математического общества 88 : 74–80.
Cignoli, RLO, D'Ottaviano, IML , Mundici, D. (2000) Алгебраические основы многозначного мышления . Kluwer.
Ди Нола А., Леттьери А. (1993) "Уравнительная характеризация всех разновидностей MV-алгебр", Журнал алгебры 221 : 463–474 doi : 10.1006 / jabr.1999.7900 .
Хаек, Петр (1998) Метаматематика нечеткой логики . Kluwer.
Mundici, D .: Интерпретация AF C * -алгебр в сентенциальном исчислении Лукасевича. J. Funct. Анальный. 65, 15-63 (1986) DOI : 10,1016 / 0022-1236 (86) 90015-7

Дальнейшее чтение [ править ]

Даниэле Мундичи, MV-АЛГЕБРЫ. Краткое руководство
Д. Мундичи (2011). Продвинутое исчисление Лукасевича и MV-алгебры . Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
Мундичи, Д. C * -алгебры трехзначной логики. Логический коллоквиум '88, Труды коллоквиума, проведенного в Падуе 61–77 (1989). DOI : 10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
Кабрер, Л. М. и Мундичи, Д. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для MV-алгебр и унитальных ℓ-групп. Журнал логики и вычислений (2014). DOI : 10,1093 / logcom / exu023
Оливия Карамелло, Анна Карла Руссо (2014) Морита-эквивалентность между MV-алгебрами и абелевыми ℓ-группами с сильной единицей

Внешние ссылки [ править ]

Стэнфордская энциклопедия философии : « Многозначная логика » - Зигфрид Готвальд .

[1] Foulis, ди - джей (2000-10-01). "М.В. и алгебры эффекта Гейтинга". Основы физики . 30 (10): 1687–1706. DOI : 10,1023 / A: 1026454318245 . ISSN 1572-9516 . S2CID 116763476 .

[2] "со ссылкой на JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens," Wajsberg Algebras ", Stochastica , VIII, 1, 5-31, 1984" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10 августа 2014 года . Проверено 21 августа 2014 .

[Ciungu2013-3] Лавиния Корина Ciungu (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры . Springer. стр. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.

[4] Iorgulescu, А .: Связь между MV_н -алгебрами и п -значной Лукасевич-Мойсили алгебры-я. Дискретная математика. 181, 155-177 (1998) DOI : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6

[5] Р. Cignoli, Правильная п-Valued Лукасевич алгебракак S-алгебра Лукасевича п - значные пропозициональные исчисления, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, DOI : 10.1007 / BF00373490

[6] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10 августа 2014 года . Проверено 21 августа 2014 . CS1 maint: archived copy as title (link)