Базовая нечеткая логика (или сокращенно BL ), логика непрерывных t-норм , является одной из нечетких логик t-нормы . Он принадлежит к более широкому классу субструктурных логик или логик решеток с делениями ; [1] он расширяет логику всех непрерывных слева t-норм MTL .
Синтаксис
Язык
Язык логики высказываний BL состоит из счетного числа пропозициональных переменных и следующих примитивных логических связок :
- Последствия ( двоичный )
- Сильное соединение (бинарный). Знак & является более традиционным обозначением сильной связи в литературе по нечеткой логике, в то время как обозначение следует традиции субструктурной логики.
- Нижний ( nullary - пропозициональная константа ); или же - общие альтернативные знаки, а ноль - общее альтернативное имя пропозициональной константы (поскольку константы bottom и zero субструктурных логик совпадают в MTL).
Ниже приведены наиболее часто определяемые логические связки:
- Слабое соединение (бинарный), также называемый решетчатым соединением (поскольку он всегда реализуется решеточной операцией meet в алгебраической семантике). В отличие от MTL и более слабых субструктурных логик, слабая конъюнкция определима в BL как
- Отрицание ( унарный ), определяемый как
- Эквивалентность (двоичный), определяемый как
- Как и в MTL, определение эквивалентно
- (Слабая) дизъюнкция (бинарный), также называемый решеточной дизъюнкцией (поскольку он всегда реализуется решеточной операцией соединения в алгебраической семантике), определяемый как
- Вершина (nullary), также называемый одним и обозначаемый или же (поскольку константы top и zero субструктурных логик совпадают в MTL), определяемый как
Правильно построенные формулы BL определяются как обычно в логике высказываний . Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:
- Унарные связки (связываются наиболее тесно)
- Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
- Импликация и эквивалентность (связывайте наиболее свободно)
Аксиомы
Система дедукции в стиле Гильберта для BL была введена Петром Гайеком (1998). Его единственное правило вывода - modus ponens :
- из а также выводить
Ниже приведены его схемы аксиом :
Аксиомы (BL2) и (BL3) исходной аксиоматической системы оказались избыточными (Chvalovský, 2012) и (Cintula, 2005). Все остальные аксиомы оказались независимыми (Chvalovský, 2012).
Семантика
Как и в других пропозициональных нечетких логиках с t-нормой , алгебраическая семантика преимущественно используется для BL с тремя основными классами алгебр, относительно которых логика является полной :
- Общая семантика , сформированная из всех BL-алгебр, то есть всех алгебр, для которых логика верна
- Линейная семантика , состоящая из всех линейных BL-алгебр, то есть всех BL-алгебр с линейным порядком решетки.
- Стандартная семантика , сформированная из всех стандартных BL-алгебр, то есть всех BL-алгебр, решеточная редукция которых является вещественным единичным интервалом [0, 1] с обычным порядком; они однозначно определяются функцией, интерпретирующей сильную конъюнкцию, которая может быть любой непрерывной t-нормой
Библиография
- Гайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клувер.
- Оно, Х., 2003, "Субструктурные логики и решетки с делениями - введение". В FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177–212.
- Синтула П., 2005, "Краткое примечание: Об избыточности аксиомы (A3) в BL и MTL". Мягкие вычисления 9 : 942.
- Хваловский К., 2012, « О независимости аксиом в BL и MTL ». Нечеткие множества и системы 197 : 123-129, DOI : 10.1016 / j.fss.2011.10.018 .
Рекомендации
- Перейти ↑ Ono (2003).