Группа (математика)
В математике группа — это множество, снабженное операцией , которая объединяет любые два элемента для образования третьего элемента таким образом, что операция является ассоциативной , существует единичный элемент и каждый элемент имеет обратный . Эти три условия, называемые групповыми аксиомами, справедливо для систем счисления и многих других математических структур. Например, целые числа вместе с операцией сложения образуют группу. Концепция группы и ее определение с помощью групповых аксиом были разработаны для унифицированной обработки основных структурных свойств объектов самой разной математической природы (таких как числа, геометрические фигуры и полиномиальные корни ). Из-за повсеместного распространения групп во многих областях (как внутри математики, так и за ее пределами) некоторые авторы считают их центральным организующим принципом современной математики. [1] [2]
Группы естественно возникают в геометрии для изучения симметрий и геометрических преобразований : симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа вообще образуют группу. Эти примеры легли в основу понятия группы (вместе с группами Галуа ). Группы Ли возникают как группы симметрии в геометрии, но появляются также и в Стандартной модели физики элементарных частиц . Группа Пуанкаре — это группа Ли, состоящая из симметрий пространства -времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .
Понятие группы возникло в результате изучения полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа ( группа , по-французски) для группы симметрии корней уравнения, теперь называемого группой Галуа . После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп — активная математическая дисциплина — изучает группы как таковые. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, чтобы разбить группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы., факторгруппы и простые группы . В дополнение к своим абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была разработана теория конечных групп , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп. .
Целые числа вместе с операцией образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему схожие структурные аспекты. Чтобы правильно понимать эти структуры как коллектив, разработано следующее определение .
Аксиомы для группы кратки и естественны... Тем не менее, за этими аксиомами каким-то образом скрывается чудовищная простая группа , огромный и необычный математический объект, который, кажется, существует благодаря многочисленным причудливым совпадениям. Аксиомы для групп не дают очевидного намека на существование чего-либо подобного.
