В математике , А ноль (также иногда называется корень ) из реального -, комплекс -, или вообще вектор-функция , является членом в области из такой, что исчезает в; то есть функция достигает значения 0 при , [1] или эквивалентным образом,является решением уравнения. [2] Таким образом, «ноль» функции - это входное значение, которое дает на выходе 0. [3]
Корень из полинома является нулем соответствующей полиномиальной функции . [2] Основная теорема алгебры показывает , что любой ненулевой многочлен имеет число корней самое большее равна его степени , а также о том , что число корней и степень равны , если учесть сложные корни (или в более общем плане , то корни в алгебраически замкнутом расширении ) с учетом их кратностей . [4] Например, многочлен степени два, определяемой
имеет два корня а также , поскольку
- .
Если функция отображает действительные числа в действительные числа, то ее нули являются -координаты точек пересечения его графика с осью x . Альтернативное название такой точки в этом контексте -перехват.
Решение уравнения
Каждое уравнение в неизвестном можно переписать как
перегруппировав все термины в левой части. Отсюда следует, что решениями такого уравнения являются в точности нули функции. Другими словами, «нуль функции» - это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», а изучение нулей функций в точности совпадает с изучением решений уравнений.
Полиномиальные корни
Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное число действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично действительный многочлен четной степени должен иметь четное число действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь по крайней мере один действительный корень (потому что наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип можно доказать, сославшись на теорему о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны , значение функции должно пересекать ноль в процессе изменения с отрицательного на положительное или наоборот (что всегда происходит для нечетных функций).
Основная теорема алгебры
Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени имеет комплексные корни, считая с их кратностью. Неверные корни многочленов с действительными коэффициентами входят в сопряженные пары. [3] Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.
Вычислительные корни
Вычисление корней функций, например полиномиальных функций , часто требует использования специализированных или приближенных методов (например, метода Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, в том числе все функции степени не выше 4, могут иметь все свои корни, алгебраически выраженные через их коэффициенты (подробнее см. Алгебраическое решение ).
Нулевой набор
В различных областях математики, то множество нулей из функции является множество всех ее нулей. Точнее, еслиявляется вещественной функцией (или, в более общем смысле, функцией, принимающей значения в некоторой аддитивной группе ), ее нулевое множество равно, То прообраз из в .
Термин « множество нулей» обычно используется, когда существует бесконечно много нулей, и они обладают некоторыми нетривиальными топологическими свойствами . Например, набор уровней функции нулевой набор . Конуль- набор изявляется дополнением к нулевому множеству (т. е. подмножество на котором отлична от нуля).
Приложения
В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия - через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество - это пересечение нулевых наборов нескольких многочленов в кольце многочленов над полем . В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом .
В анализе и геометрии , любое замкнутое подмножество из- нулевое множество гладкой функции, определенной на всех. Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности .
В дифференциальной геометрии наборы нулей часто используются для определения многообразий . Важным частным случаем является случай, когдаявляется гладкой функцией из к . Если нуль является регулярным значением из, то нулевой набор является гладким многообразием размерности по теореме о регулярном значении .
Например, блок - сфера в - нулевое множество действительной функции .
Смотрите также
- Теорема мардена
- Алгоритм поиска корней
- Гипотеза Сендова
- Исчезнуть в бесконечности
- Нулевой переход
- Нули и полюсы
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - исчезновение" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ а б «Алгебра - нули / корни многочленов» . tutorial.math.lamar.edu . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ а б Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, Издание для учителей (Классический ред.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall . п. 535 . ISBN 0-13-165711-9.
- ^ «Корни и нули (Алгебра 2, Полиномиальные функции)» . Mathplanet . Проверено 15 декабря 2019 .
дальнейшее чтение
- Вайсштейн, Эрик В. «Рут» . MathWorld .