В математике , формулы Виета являются формулы , связывающие коэффициенты матрицы А многочлена для сумм и продуктов его корней . Названные в честь Франсуа Виэта (чаще называемого латинизированной формой его имени, «Франциск Виета»), формулы используются специально в алгебре .
Основные формулы
Любой общий многочлен степени n
(с коэффициентами, являющимися действительными или комплексными числами и a n 0 ), согласно фундаментальной теореме алгебры, имеет n (не обязательно различных) комплексных корней r 1 , r 2 , ..., r n . Формулы Виета связывают коэффициенты полинома со знаковыми суммами произведений корней r 1 , r 2 , ..., r n следующим образом:
Формулы Виета могут быть записаны в виде
для k = 1, 2, ..., n (индексы i k сортируются в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждое произведение из k корней используется ровно один раз).
Левые части формул Виета - это элементарные симметричные функции корней.
Обобщение на кольца
Формулы Виета часто используются с полиномами с коэффициентами в любой области целостности R . Тогда частныепринадлежат к кольцу фракций из R (и , возможно , в R себя , еслиоказывается обратимым в R ) и корнивзяты в алгебраически замкнутом расширении . Обычно R - это кольцо целых чисел , поле дробей - это поле рациональных чисел, а алгебраически замкнутое поле - это поле комплексных чисел .
В этом случае полезны формулы Виета, поскольку они обеспечивают связь между корнями без необходимости их вычислять.
Для многочленов над коммутативным кольцом, которое не является областью целостности, формулы Виета верны только тогда, когда не является делителем нуля и факторы как . Например, в кольце целых чисел по модулю 8 многочлен имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виета неверны, если, скажем, а также , так как . Тем не мение, учитывается как и, как , и формулы Виета верны, если положить либо а также или же а также .
Пример
Формулы Виета применимы к квадратичным и кубическим многочленам:
Корни от квадратичного полинома удовлетворить
Первое из этих уравнений можно использовать для определения минимума (или максимума) P ; см. Квадратное уравнение § формулы Виета .
Корни из кубического многочлена удовлетворить
Доказательство
Формулы Виета можно доказать, разложив равенство
(что верно, поскольку являются корнями этого многочлена), умножая множители в правой части и определяя коэффициенты каждой степени
Формально, если расширить условия точно где либо 0, либо 1, соответственно, в зависимости от того, входит в продукт или нет, а k - количествокоторые исключены, поэтому общее количество факторов в продукте равно n (считаяс кратностью k ) - поскольку существует n двоичных вариантов (включаяили x ) естьтермины - геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группируя эти члены по степени, получаем элементарные симметричные многочлены от- для й К , различна K - кратных продуктов
В качестве примера рассмотрим квадратичную . Сравнение одинаковых мощностей, мы нашли , а также , с помощью которого мы можем, например, идентифицировать а также , которые являются формулой Виета для .
История
Как видно из названия, формулы были открыты французским математиком XVI века Франсуа Виетом для случая положительных корней.
По мнению британского математика 18-го века Чарльза Хаттона , цитируемого Фунхузером [1], общий принцип (не только для положительных вещественных корней) был впервые понят французским математиком 17-го века Альбертом Жираром :
... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ ( Funkhouser 1930 )
- "Теорема Виэта" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Funkhouser, H. Gray (1930), "Краткое изложение истории симметричных функций корней уравнений", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR 2299273
- Винберг, Е.Б. (2003), курс алгебры , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 0-8218-3413-4
- Джукич, Душан; и другие. (2006), Сборник IMO: сборник задач, предложенных для Международных математических олимпиад, 1959–2004 , Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 0-387-24299-6