Теорема Гаусса – Лукаса

Если P является (непостоянная) многочлен с комплексными коэффициентами, все нули из Р ' принадлежит выпуклой оболочке множества нулей  Р . ^[1]

Легко видеть , что если Р ( х ) = ах ² + BX + C является многочленом второй степени , нуль Р ' ( х ) = 2 ах + Ь является средним из корней P . В этом случае выпуклая оболочка - это отрезок прямой с двумя корнями в качестве концов, и ясно, что среднее значение корней является средней точкой отрезка.

Для комплексного многочлена P третьей степени ( кубическая функция ) с тремя различными нулями теорема Мардена утверждает, что нули P ′ являются фокусами эллипса Штейнера, который является единственным касательным эллипсом к серединам треугольника, образованного нулями P .

Для комплексного многочлена P четвертой степени ( функция четвертой степени ) с четырьмя различными нулями, образующими вогнутый четырехугольник , один из нулей P лежит внутри выпуклой оболочки трех других; все три нулей P ' лежат в двух из трех треугольников , образованных внутренний нуль Р и двух других нулей P . ^[2]

Кроме того, если многочлен степени п от действительных коэффициентов имеет п различных действительных нулей${\ Displaystyle x_ {1}$мы видим, используя теорему Ролля , что нули производного многочлена находятся в интервале${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ которая является выпуклой оболочкой множества корней.

Выпуклая оболочка корней многочлена

${\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}$

в частности, включает точку

${\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}.}$

Над комплексными числами P - произведение простых множителей

${\ Displaystyle Р (г) = \ альфа \ прод _ {я = 1} ^ {п} (г-а_ {я})}$

где комплексные числа ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$- необязательно различные - нули многочлена P , комплексное число${\ displaystyle \ alpha}$является ведущим коэффициентом Р и п есть степень Р . Пусть z - любое комплексное число, для которого${\ Displaystyle P (z) \ neq 0.}$Тогда для логарифмической производной

${\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i} }}.}$

В частности, если z является нулем${\ displaystyle P '}$ а также ${\ Displaystyle P (z) \ neq 0}$, тогда

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}$

или же

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {| z-a_ {i} | ^ {2 }}} = 0.}$

Это также можно записать как

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} \ right) {\ overline {z}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ right). }$

Взяв их конъюгаты, мы видим, что ${\ displaystyle z}$представляет собой взвешенную сумму с положительными коэффициентами, которые суммируются с одним или барицентром в аффинных координатах комплексных чисел${\ displaystyle a_ {i}}$ (с разной массой, присвоенной каждому корню, совокупный вес которого равен 1).

Если ${\ Displaystyle P (z) = P '(z) = 0,}$ тогда

${\ displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}$

для некоторого i , и по-прежнему является выпуклой комбинацией корней${\ displaystyle P}$.

• Лукас, Феликс (1874). "Propriétés géométriques des Fractionnes rationnelles". CR Acad. Sci. Париж . 77 : 431–433.
• Моррис Марден, Геометрия многочленов , AMS, 1966.

• «Теорема Гаусса-Лукаса» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Теорема Лукаса – Гаусса Брюса Торренса, Демонстрационный проект Вольфрама .