В математике, гипотеза Сендов в , иногда называемый также гипотеза Ilieff в , касается взаимосвязи между местоположениями корней и критических точек одного полиномиальной функции от более комплексного переменного . Он назван в честь Благовеста Сендова .
Гипотеза утверждает, что для многочлена
со всеми корнями r 1 , ..., r n внутри замкнутого единичного круга | z | ≤ 1, каждый из n корней находится на расстоянии не более 1 от хотя бы одной критической точки.
Теорема Гаусса – Лукаса гласит, что все критические точки лежат внутри выпуклой оболочки корней. Отсюда следует, что критические точки должны находиться в пределах единичного круга, так как корни находятся.
Гипотеза была доказана для n <9 Брауном-Сяном и для достаточно большого n Тао . [1] [2]
История
Гипотеза была впервые высказана Благовестом Сендовым в 1959 году; Он рассказал о своей догадке своему коллеге Николе Обрешкову . В 1967 году Вальтер Хейман ошибочно приписал [3] Любомиру Илиеву . [4] В 1969 году Меир и Шарма доказали гипотезу для многочленов с n <6. В 1991 году Браун доказал гипотезу для n <7. Борча расширил доказательство до n <8 в 1996 году. Браун и Сян [5] доказали гипотезу для n <9 в 1999 году. Теренс Тао доказал гипотезу для достаточно больших n в 2020 году.
Рекомендации
- ↑ Теренс Тао (2020). «Гипотеза Сендова для многочленов достаточно высокой степени». arXiv : 2012.04125 [ math.CV ].
- ^ Теренс Тао. «Гипотеза Сендова для многочленов достаточно высокой степени» . Что нового .
- ^ Марден, Моррис. Гипотезы о критических точках многочлена. Американский математический ежемесячник 90 (1983), нет. 4, 267-276.
- ^ Проблема 4.5, WK Hayman, Проблемы исследования в теории функций. Альтлон Пресс, Лондон, 1967.
- ^ Браун, Джонни Э .; Сян, Гуанпин Доказательство гипотезы Сендова для многочленов степени не выше восьми. Журнал математического анализа и приложений 232 (1999), вып. 2, 272–292.
- Г. Шмайссер, " Гипотезы Сендова и Смейла ", Теория приближений: Том, посвященный Благовесту Сендову (ред. Б. Боджоанов), София: ДАРБА, 2002, стр. 353–369.
Внешние ссылки
- Гипотеза Сендова Брюса Торренса при участии Пола Эбботта из The Wolfram Demonstrations Project