Теорема Гурвица (комплексный анализ)
В математике и, в частности, в области комплексного анализа , теорема Гурвица — это теорема , связывающая нули последовательности голоморфных компактных локально равномерно сходящихся функций с нулем их соответствующего предела. Теорема названа в честь Адольфа Гурвица .
Пусть { f k } -- последовательность голоморфных функций на связном открытом множестве G , сходящихся равномерно на компактных подмножествах G к голоморфной функции f , не равной постоянно нулю на G . Если f имеет нуль порядка m в точке z 0 , то для каждого достаточно малого ρ > 0 и достаточно большого k ∈ N (в зависимости от ρ ) f k имеет ровно m нулей в круге, определяемом формулой | г - г0 | < ρ , включая кратность . Кроме того, эти нули сходятся к z 0 при k → ∞. [1]
Теорема не гарантирует, что результат будет справедлив для произвольных дисков. В самом деле, если выбрать такой круг, что f имеет нули на границе , теорема неверна. Явным примером является рассмотрение единичного круга D и последовательности, определяемой формулой
которая сходится равномерно к f ( z ) = z − 1. Функция f ( z ) не содержит нулей в D ; однако у каждого f n есть ровно один нуль в круге, соответствующий действительному значению 1 − (1/ n ).
Теорема Гурвица используется в доказательстве теоремы Римана об отображении [ 2] и также имеет следующие два следствия как непосредственное следствие:
Пусть f — аналитическая функция на открытом подмножестве комплексной плоскости с нулем порядка m в точке z0 , и предположим, что { fn } — последовательность функций, равномерно сходящаяся на компактных подмножествах к f . Зафиксируем некоторое ρ > 0 такое, что f ( z ) ≠ 0 в 0 < | г - г 0 | ≤ р. Выберите δ так, чтобы | ж ( г ) | > δ для z на окружности | г - г 0 | = р . Так как f k( z ) сходится равномерно на выбранном круге, можно найти N такое, что | ж к ( г ) | ≥ δ /2 для каждого k ≥ N и каждого z на окружности, гарантируя, что частное fk ′( z )/ fk ( z ) корректно определено для всех z на окружности | г - г 0 | = р . По теореме Вейерштрасса имеем равномерную сходимость на круге, а значит, имеем другую равномерную сходимость:
