В математике , то теорема Рауса-Гурвица дает тест , чтобы определить , все ли корни данного многочлена лежат в левой полуплоскости. Полиномы с этим свойством называются устойчивыми по Гурвицу многочленами . Рауса-Гурвица теорема играет важную роль в динамических систем и теории управления , так как характеристический многочлен из дифференциальных уравнений в виде стабильной линейной системы имеет корни ограниченные в левой полуплоскости (отрицательные собственные значения). Таким образом, теорема обеспечивает тест для определения устойчивости линейной динамической системы без решения системы.Теорема Рауса – Гурвица была доказана в 1895 году и названа в честь Эдварда Джона Рауса и Адольфа Гурвица .
Обозначения
Пусть f ( z ) - многочлен (с комплексными коэффициентами ) степени n без корней на мнимой оси (то есть прямая Z = ic, где i - мнимая единица, а c - действительное число ). Определим(многочлен степени n ) и(ненулевой многочлен степени строго меньше n ) по формуле, Соответственно действительные и мнимые части из F на воображаемой линии.
Кроме того, обозначим через:
- p количество корней f в левой полуплоскости (с учетом кратностей);
- q количество корней f в правой полуплоскости (с учетом кратностей);
- изменение аргумента функции f ( iy ) при изменении y от −∞ до + ∞;
- w ( x ) - количество вариаций обобщенной цепи Штурма, полученной из а также применяя алгоритм Евклида ;
- является индекс Коши от рациональной функции г над вещественной прямой .
Заявление
С введенными выше обозначениями теорема Рауса – Гурвица утверждает, что:
Из первого равенства мы можем, например, заключить, что когда вариация аргумента f ( iy ) положительна, тогда f ( z ) будет иметь больше корней слева от мнимой оси, чем справа от нее. Равенство p - q = w (+ ∞) - w (−∞) можно рассматривать как комплексный аналог теоремы Штурма . Обратите внимание на различия: в теореме Штурма левый член - это p + q, а w из правого члена - это количество вариаций цепи Штурма (в то время как w относится к обобщенной цепи Штурма в настоящей теореме).
Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
Мы можем легко определить критерий устойчивости, используя эту теорему, поскольку тривиально, что f ( z ) устойчиво по Гурвицу тогда и только тогда, когда p - q = n . Таким образом, мы получаем условия на коэффициенты функции f ( z ), полагая w (+ ∞) = n и w (−∞) = 0.
Рекомендации
- Раус, EJ (1877). Трактат об устойчивости данного состояния движения, особенно устойчивого движения . Macmillan and co.
- Гурвиц, А. (1964). «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями». У Беллмана, Ричарда ; Калаба, Роберт Э. (ред.). Избранные статьи по математическим тенденциям в теории управления . Нью-Йорк: Дувр.
- Гантмахер, FR (2005) [1959]. Приложения теории матриц . Нью-Йорк: Дувр. С. 226–233. ISBN 0-486-44554-2.
- Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория многочленов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 26 . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006 .