Стабильный многочлен

В контексте характеристического полинома о наличии дифференциального уравнения или разностного уравнения , а полином , называется устойчивым , если либо:

• все его корни лежат в открытой левой полуплоскости , или
• все его корни лежат в открытом единичном диске .

Первое условие обеспечивает стабильность в течение непрерывного времени линейных систем, а второй случай относится к устойчивости с дискретным временем линейной системы. Многочлен с первым свойством иногда называется многочленом Гурвица, а со вторым свойством - многочленом Шура . Стабильные многочлены возникают в теории управления и математической теории дифференциальных и разностных уравнений. Линейная, инвариантная во времени система (см. Теорию систем LTI ) называется BIBO-устойчивой.если каждый ограниченный ввод производит ограниченный вывод. Линейная система является BIBO-устойчивой, если ее характеристический многочлен устойчив. Знаменатель должен быть устойчивым по Гурвицу, если система находится в непрерывном времени, и устойчивым по Шуру, если она находится в дискретном времени. На практике стабильность определяется путем применения любого из нескольких критериев устойчивости .

Свойства [ править ]

• Теорема Рауса – Гурвица предоставляет алгоритм для определения того, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу, который реализуется в тестах Рауса – Гурвица и Льенара – Шипарта .
• Чтобы проверить, является ли данный многочлен P ( степени d ) устойчивым по Шуру, достаточно применить эту теорему к преобразованному многочлену

${\ Displaystyle Q (z) = (z-1) ^ {d} P \ left ({{z + 1} \ over {z-1}} \ right)}$

полученное после преобразования Мёбиуса, которое отображает левую полуплоскость в открытый единичный круг: P устойчиво по Шуру тогда и только тогда, когда Q устойчиво по Гурвицу и . Для полиномов более высокой степени дополнительных вычислений, связанных с этим отображением, можно избежать, проверив стабильность Шура с помощью теста Шура-Кона, теста Жюри или теста Бистрица .${\ Displaystyle г \ mapsto {{г + 1} \ над {г-1}}}$${\ Displaystyle P (1) \ neq 0}$

• Необходимое условие: устойчивый многочлен Гурвица (с действительными коэффициентами ) имеет коэффициенты одного знака (все положительные или все отрицательные).
• Достаточное условие: многочлен с (действительными) коэффициентами такой, что${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$

${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$

является стабильным по Шуру.

• Правило произведения: два многочлена f и g стабильны (одного типа) тогда и только тогда, когда произведение fg стабильно.
• Произведение Адамара: произведение Адамара (по коэффициентам) двух стабильных по Гурвицу многочленов снова стабильно по Гурвицу. ^[1]

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$ устойчиво по Шуру, поскольку удовлетворяет достаточному условию;
• ${\displaystyle z^{10}}$ устойчиво по Шуру (поскольку все его корни равны 0), но не удовлетворяет достаточному условию;
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$ не является устойчивым по Гурвицу (его корни равны −1 и 2), поскольку нарушает необходимое условие;
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$ устойчиво по Гурвицу (его корни равны −1 и −2).
• Многочлен (с положительными коэффициентами) не является ни устойчивым по Гурвицу, ни по Шуру. Его корни - это четыре примитивных пятых корня единства.${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1}$

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\,.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$

Это «граничный случай» устойчивости Шура, потому что его корни лежат на единичной окружности. Пример также показывает, что указанных выше необходимых условий (положительности) для устойчивости по Гурвицу недостаточно.

См. Также [ править ]

• Критерий устойчивости
• Радиус устойчивости

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Страница Mathworld