Полином Шура

В математике , многочлены шура , названные в честь Исая Шур , некоторые симметричные полиномы в п переменных, индексированные по разделам , что обобщающие элементарные симметрические полиномы и полные однородные симметрические полиномы . В теории представлений они являются символами полиномиальных неприводимых представлений этих общих линейных групп . Многочлены Шура образуют линейный базисдля пространства всех симметрических многочленов. Любое произведение полиномов Шура может быть записано как линейная комбинация полиномов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов комбинаторно задаются правилом Литтлвуда – Ричардсона . В более общем смысле, косые многочлены Шура связаны с парами разбиений и имеют свойства, аналогичные свойствам многочленов Шура.

Определение (формула бальтернанта Якоби) [ править ]

Многочлены Шура индексируются целочисленными разбиениями . Для разбиения λ = ( λ ₁ , λ ₂ ,…, λ _n ) , где λ ₁ ≥ λ ₂ ≥… ≥ λ _n , и каждое λ _j является целым неотрицательным числом, функции

${\displaystyle a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]}$

являются знакопеременными многочленами по свойствам определителя . Многочлен является альтернированным, если он меняет знак при любой перестановке переменных.

Поскольку они чередуются, все они делятся на определитель Вандермонда ,

${\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}$

Многочлены Шура определяются как отношение

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.}$

которая известна как двойная формула Якоби. Это частный случай формулы характера Вейля .

Это симметричная функция, потому что числитель и знаменатель чередуются, и многочлен, поскольку все чередующиеся многочлены делятся на определитель Вандермонда.

Свойства [ править ]

Многочлены Шура степени d от n переменных являются линейным базисом для пространства однородных симметрических многочленов степени d от n переменных. Для разбиения λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) многочлен Шура является суммой одночленов,

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}$

где суммирование ведется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ . Показатели т ₁ , ..., т _п дают вес T , другими словами , каждый т _я подсчитывает вхождения числа я в Т . Можно показать, что это эквивалентно определению из первой формулы Джамбелли, используя лемму Линдстрема – Гесселя – Венно (как указано на этой странице).

Многочлены Шура могут быть выражены как линейные комбинации мономиальных симметричных функций m _μ с неотрицательными целыми коэффициентами K _λμ, называемых числами Костки ,

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\ }$

Числа Костки K _λμ задаются числом полустандартных таблиц Юнга формы λ и веса μ .

Тождества Якоби-Труди [ править ]

Первая формула Якоби-Труди выражает многочлен Шуры как детерминант в терминах полных однородных симметрических полиномов ,

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}$

где h _i  : = s _{( i )} . ^[1]

Вторая формула Якоби-Труди выражает многочлен Шуры как детерминант в терминах элементарных симметрических полиномов ,

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],}$

где e _i  : = s _{(1 ⁱ )} и λ ' - разбиение, сопряженное с λ . ^[2]

В обоих тождествах функции с отрицательными индексами определены равными нулю.

Личность Джамбелли [ править ]

Еще одно детерминантное тождество - это формула Джамбелли , которая выражает функцию Шура для произвольного разбиения через функции для разбиений крючков, содержащихся в диаграмме Юнга. В обозначениях Фробениуса разбиение обозначается

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}$

где для каждого диагонального элемента в положении II , _я обозначаю количество коробок справа в той же строке и б _я обозначает количество коробка под ним в той же самой колонке (в руку и ноге длину, соответственно).

Идентичность Giambelli выражает функцию Шура , соответствующий этому раздела в качестве определителя

${\displaystyle s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})}$

для перегородок крюка.

Личность Коши [ править ]

Тождество Коши для функций Шура (теперь с бесконечным числом переменных) и его двойственное состояние, что

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},}$

и

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),}$

где сумма берется по всем разбиениям λ , и , обозначают полные симметричные функции и элементарные симметрические функции соответственно. Если сумма берется по произведениям многочленов Шура от переменных , сумма включает только разбиения длины, поскольку в противном случае многочлены Шура обращаются в нуль.${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$${\displaystyle e_{\lambda }(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}$

Есть много обобщений этих тождеств на другие семейства симметричных функций. Например, многочлены Макдональда, многочлены Шуберта и многочлены Гротендика допускают тождества типа Коши.

Другие личности [ править ]

Многочлен Шура можно также вычислить с помощью специализации формулы для многочленов Холла – Литтлвуда ,

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)}$

где - подгруппа перестановок, такая что для всех i , а w действует на переменные путем перестановки индексов.${\displaystyle S_{n}^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda _{w(i)}=\lambda _{i}}$

Правило Мурнагана-Накаямы [ править ]

Правило Мернаган-Накаяма выражает произведение мощности суммы симметричной функции с многочленом Шура, в терминах многочленов Шура:

${\displaystyle p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }}$

где сумма ведется по всем разбиениям μ, таким что μ / λ - крюк размера r, а ht (μ / λ) - количество строк в диаграмме μ / λ .

Правило Литтлвуда – Ричардсона и формула Пьери [ править ]

Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона зависят от трех разбиений , скажем , из которых и описывают перемножаемые функции Шура, и дают функцию Шура, коэффициент которой является коэффициентом в линейной комбинации; другими словами, это такие коэффициенты , что${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

Правило Литтлвуда – Ричардсона гласит, что оно равно количеству таблиц Литтлвуда – Ричардсона с перекосом формы и веса .${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu }$

Формула Пиери является частным случаем правила Литтлвуда-Ричардсона, которое выражает произведение через полиномы Шура. Двойственная версия выражается через многочлены Шура.${\displaystyle h_{r}s_{\lambda }}$${\displaystyle e_{r}s_{\lambda }}$

Специализации [ править ]

Вычисление полинома Шура s _λ в (1,1, ..., 1) дает количество полустандартных таблиц Юнга формы λ с элементами 1, 2, ..., n . Можно показать, используя, например, формулу символа Вейля , что

${\displaystyle s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.}$

В этой формуле λ , кортеж, обозначающий ширину каждой строки диаграммы Юнга, неявно расширяется нулями до тех пор, пока не достигнет длины n . Сумма элементов λ _i равна d . См. Также формулу длины крюка, которая вычисляет ту же величину для фиксированного λ.

Пример [ править ]

Следующий расширенный пример должен помочь прояснить эти идеи. Рассмотрим случай n = 3, d = 4. Используя диаграммы Феррерса или какой-либо другой метод, мы обнаруживаем, что всего четыре разбиения из 4 на максимум три части. У нас есть

${\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}$

${\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}}$

и так далее, где находится определитель Вандермонда . Резюмируя:${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})}$

1. ${\displaystyle s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}}$
2. ${\displaystyle s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
3. ${\displaystyle s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
4. ${\displaystyle s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.}$

Каждый однородный симметричный многочлен степени четыре от трех переменных может быть выражен как уникальная линейная комбинация этих четырех многочленов Шура, и эта комбинация может быть снова найдена с использованием базиса Гребнера для соответствующего порядка исключения. Например,

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}$

является, очевидно, симметричным многочленом, однородным четвертой степени, и мы имеем

${\displaystyle \phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!}$

Отношение к теории представлений [ править ]

Многочлены Шура встречаются в теории представлений симметрических групп , общих линейных групп и унитарных групп . Формула характера Вейля подразумевает, что многочлены Шура являются характерами конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп, и помогает обобщить работу Шура на другие компактные и полупростые группы Ли .

Для этого соотношения возникает несколько выражений, одним из наиболее важных является разложение функций Шура s _λ по симметричным степенным функциям . Если написать χ${\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}}$^λ
_ρ для характера представления симметрической группы, индексированной разбиением λ, вычисленным в элементах типа цикла, индексированных разбиением ρ, то

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},}$

где ρ = (1 ^{r ₁} , 2 ^{r ₂} , 3 ^{r ₃} , ...) означает, что разбиение ρ имеет r _k частей длины k .

Доказательство этого можно найти в «Перечислительной комбинаторике» Р. Стэнли, том 2, следствие 7.17.5.

Целые числа χ^λ
_ρможно вычислить с помощью правила Мурнагана – Накаямы .

Шур позитивность [ править ]

Из-за связи с теорией представлений особый интерес представляют симметричная функция, которая положительно разлагается по функциям Шура. Например, косые функции Шура расширяются положительно в обычных функциях Шура, а коэффициенты являются коэффициентами Литтлвуда – Ричардсона.

Частным случаем этого является разложение полных однородных симметрических функций h _λ по функциям Шура. Это разложение отражает, как модуль перестановки разлагается на неприводимые представления.

Методы доказательства положительности Шура [ править ]

Есть несколько подходов , чтобы доказать Шуру положительность данной симметричной функции F . Если F описывается комбинаторным способом, прямой подход состоит в том, чтобы произвести биекцию с полустандартными таблицами Юнга. Соответствие Эдельмана – Грина и соответствие Робинсона – Шенстеда – Кнута являются примерами таких биекций.

Биекция с большей структурой - это доказательство с использованием так называемых кристаллов . Этот метод можно описать как определение определенной структуры графа, описываемой локальными правилами для базовых комбинаторных объектов.

Похожая идея - понятие двойственной эквивалентности. В этом подходе также используется структура графа, но на объектах, представляющих расширение в фундаментальном квазисимметричном базисе. Это тесно связано с RSK-перепиской.

Обобщения [ править ]

Косые функции Шура [ править ]

Косые функции Шура s _{λ / μ} зависят от двух разбиений λ и μ и могут быть определены свойством

${\displaystyle \langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .}$

Здесь скалярное произведение - это скалярное произведение Холла, для которого полиномы Шура образуют ортонормированный базис.

Подобно обычным многочленам Шура, существует множество способов их вычисления. Соответствующие тождества Якоби-Труди:

${\displaystyle s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

${\displaystyle s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

Существует также комбинаторная интерпретация косых многочленов Шура, а именно, это сумма по всем полустандартным таблицам Юнга (или строгим по столбцам таблицам) косой формы .${\displaystyle \lambda /\mu }$

Косые многочлены Шура положительно расширяются в многочлены Шура. Правило для коэффициентов дается правилом Литтлвуда-Ричардсона .

Двойные многочлены Шура [ править ]

Двойные многочлены Шура ^[3] можно рассматривать как обобщение сдвинутых многочленов Шура. Эти многочлены также тесно связаны с факториальными многочленами Шура. Для разбиения λ и последовательности a ₁ , a ₂ ,… можно определить двойной многочлен Шура s _λ ( x || a ) как

${\displaystyle s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})}$

где сумма берется по всем обратным полустандартным таблицам Юнга T формы λ и целым элементам в 1,…, n . Здесь T (α) обозначает значение в прямоугольнике α в T, а c (α) - это содержимое поля.

Комбинаторное правило для коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона (зависящее от последовательности a ) дано А. И. Молевым в ^[3]. В частности, это означает, что сдвинутые многочлены Шура имеют неотрицательные коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона.

Сдвинуты полиномы Шура , ы ^* _λ ( у ) , могут быть получены из двойных многочленов Шура, специализируясь на _I = - я и у _я = х _я + I .

Двойные многочлены Шура являются частными случаями двойных многочленов Шуберта .

Факториальные полиномы Шура [ править ]

Факториальные полиномы Шура можно определить следующим образом. Для разбиения λ и дважды бесконечной последовательности…, a ₋₁ , a ₀ , a ₁ ,… можно определить факториальный многочлен Шура s _λ ( x | a ) как

${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})}$

где сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ и целым элементам в 1,…, n . Здесь T (α) обозначает значение в прямоугольнике α в T, а c (α) - это содержимое поля.

Также есть определяющая формула,

${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}}$

где ( y | a ) ^k = ( y - a ₁ ) ... ( y - a _k ). Ясно, что если мы положим a _i = 0 для всех i , мы восстановим обычный многочлен Шура s _λ .

Двойные многочлены Шура и факториальные многочлены Шура от n переменных связаны тождеством s _λ ( x || a ) = s _λ ( x | u ), где a _{n-i + 1} = u _i .

Другие обобщения [ править ]

Существует множество обобщений полиномов Шура:

• Полиномы Холла – Литтлвуда
• Сдвинутые многочлены Шура
• Помеченные многочлены Шура
• Полиномы Шуберта
• Симметричные функции Стэнли (также известные как стабильные многочлены Шуберта)
• Ключевые полиномы (также известные как символы Демазура)
• Квазисимметричные полиномы Шура
• Строгое по строкам многочлены Шура
• Полиномы Джека
• Модульные многочлены Шура
• Циклические функции Шура
• Многочлены Макдональда
• Многочлены Шура для симплектической и ортогональной группы.
• k -функции Шура
• Многочлены Гротендика ( K -теоретический аналог многочленов Шура)
• Полиномы LLT

См. Также [ править ]

• Функтор Шура
• Правило Литтлвуда – Ричардсона , в котором находятся некоторые тождества, включающие многочлены Шура.

Ссылки [ править ]

• Макдональд, И.Г. (1995). Симметричные функции и многочлены Холла . Оксфордские математические монографии (2-е изд.). Кларендон Пресса, Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853489-1. Руководство по ремонту  1354144 . Архивировано из оригинала на 2012-12-11.
• Саган, Брюс Э. (2001) [1994], "Функции Шура в алгебраической комбинаторике" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Штурмфельс, Бернд (1993). Алгоритмы в теории инвариантов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-82445-1.