Молодая картина

В математике , А таблица Юнга ( / т æ б л oʊ , т æ б л oʊ / ; множественное число: Tableaux ) представляет собой комбинаторный объект , полезным в теории представлений и Шуберта исчислении . Это обеспечивает удобный способ для описания представлений групп из симметричных и общих линейных групп и изучить их свойство. Юнга были введены Альфред Янг , в математикев Кембриджском университете в 1900 году. ^{[1] [2]} Затем они были применены к изучению симметрической группы Георгом Фробениусом в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие многими математиками, в том числе Перси МакМахоном , У. В. Д. Ходжем , Г. де Б. Робинсон , Джан-Карло Рота , Ален Ласку , Марсель-Поль Шютценбергер и Ричард П. Стэнли .

Определения [ править ]

Примечание: в этой статье используется английское соглашение для отображения диаграмм и таблиц Юнга .

Диаграммы [ править ]

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), английские обозначения

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), французская нотация

Диаграмма Юнга (также называется диаграммой , Феррерс , в частности , когда представлена с использованием точек) представляет собой конечный набор коробка, или клетки, расположенный в левом выравнивании строк, с длинами строк в невозрастающем порядке. Перечисление количества ящиков в каждой строке дает раздел λ неотрицательного целого числа n , общее количество ящиков диаграммы. Диаграмма Юнга имеет форму λ и несет ту же информацию, что и это разбиение. Включение одной диаграммы Юнга в другую определяет частичный порядок на множестве всех разбиений, который на самом деле является решетчатой структурой, известной как решетка Юнга. Перечисление количества ящиков диаграммы Юнга в каждом столбце дает еще одно разделение, сопряженное или транспонированное разделение λ ; диаграмму Юнга этой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.

Практически все согласны с тем, что при маркировке блоков диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает блок внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: первая помещает каждую строку ниже предыдущей, вторая складывает каждую строку поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется англофонами, тогда как второе часто предпочитают франкофоны , принято называть эти соглашения соответственно английской и французской нотацией ; например, в своей книге о симметрических функциях , Макдональдсоветует читателям, предпочитающим французскую конвенцию, «читать эту книгу вверх ногами в зеркале» (Macdonald, 1979, p. 2). Эта номенклатура, вероятно, изначально была шутливой. Английская нотация соответствует той, которая повсеместно используется для матриц, тогда как французская нотация ближе к соглашению о декартовых координатах ; однако французская система обозначений отличается от этого соглашения тем, что сначала ставится вертикальная координата. На рисунке справа в английских обозначениях показана диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).

Длина руки и ноги [ править ]

Во многих приложениях, например при определении функций Джека , удобно определять длину плеча a _λ ( s ) ящика s как количество ящиков справа от s на диаграмме λ. Аналогично, длина участка l _λ ( s ) - это количество ящиков под s . Эта нотация предполагает использование английской нотации. Например, крюк значение коробка с по А затем просто _λ ( s ) + л _λ ( s ) + 1.

Tableaux [ править ]

Юнга получают путем заполнения в коробках диаграммы Юнга с символами , взятых из некоторого алфавита , которые, как правило , требуется , чтобы быть полностью упорядоченное множество . Первоначально этот алфавит был набором индексированных переменных x ₁ , x ₂ , x ₃ ..., но теперь для краткости обычно используется набор чисел. В их первоначальном приложении к представлениям симметрической группы таблицы Юнга имеют n различных элементов, произвольно назначенных блокам диаграммы. Таблицу называют стандартнойесли количество записей в каждой строке и каждом столбце увеличивается. Количество различных стандартных таблиц Юнга на n элементах определяется числами инволюции

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

В других приложениях вполне естественно, что одно и то же число может появляться в таблице более одного раза (или не появляться вовсе). Таблица называется полустандартной или строгой по столбцу , если записи слабо увеличиваются вдоль каждой строки и строго увеличиваются вниз по каждому столбцу. Запись того, сколько раз каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы. Таким образом, стандартные таблицы Юнга - это в точности полустандартные таблицы веса (1,1, ..., 1), которые требуют, чтобы каждое целое число до n встречалось ровно один раз.

Варианты [ править ]

Есть несколько вариантов этого определения: например, в таблице со строгим контролем строк записи строго увеличиваются по строкам и слабо увеличиваются по столбцам. Также, таблицы с убывающими элементами рассматривались, в частности, в теории плоских разбиений . Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько блоков могут быть сгруппированы вместе перед назначением им записей.

Искаженные изображения [ править ]

Перекос форма представляет собой пару перегородок ( Х , μ ) таким образом, что диаграмма Юнга Х содержит диаграммы Юнга ц ; он обозначается λ / μ . Если λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ...) и μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ...) , то включение диаграмм означает, что μ _i  ≤  λ _i для всех i . Перекос диаграмма , косой форма Х /μ - теоретико-множественная разность диаграмм Юнга λ и μ : множество квадратов, принадлежащих диаграмме λ, но недиаграмме μ . Перекос таблица формы λ / μ получается путем заполнения квадратов соответствующей косой диаграммы; такая таблица является полустандартной, если элементы слабо растут вдоль каждой строки и растут строго вниз по каждому столбцу, и стандартна, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов косой диаграммы встречаются ровно один раз. Хотя отображение разбиений на их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к отображению перекосов на перекосные диаграммы; ^[3]поэтому форму косой диаграммы не всегда можно определить только по набору закрашенных квадратов. Хотя многие свойства наклонных таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые операции, определенные для них, действительно требуют явного знания λ и μ , поэтому важно, чтобы наклонные таблицы действительно записывали эту информацию: две различные наклонные таблицы могут отличаться только своей формой, при этом они занимают один и тот же набор квадратов, каждый из которых заполнен одними и теми же записями. ^[4] Таблицы Юнга можно отождествить с косыми таблицами, в которых µ - пустое разбиение (0) (единственное разбиение 0).

Любая косая полустандартная таблица T формы λ / μ с положительными целыми элементами порождает последовательность разбиений (или диаграмм Юнга), начиная с μ и взяв за разбиение i, помещая далее в последовательность ту, диаграмма которой получается из что для μ , добавляя все коробки, которые содержат значение ≤  i в T ; это разбиение со временем становится равным  λ . Любая пара последовательных фигур в такой последовательности представляет собой скошенную форму, диаграмма которой содержит не более одного прямоугольника в каждом столбце; такие формы называются горизонтальными полосами . Эта последовательность перегородок полностью определяетT , и фактически возможно определить (перекосить) полустандартные таблицы как такие последовательности, как это сделал Макдональд (Macdonald, 1979, p. 4). Это определение включает разделы λ и μ в данных, составляющих наклонную таблицу.

Обзор приложений [ править ]

Таблицы Юнга имеют множество приложений в комбинаторике , теории представлений и алгебраической геометрии . Были исследованы различные способы подсчета таблиц Юнга, которые привели к определению и тождествам функций Шура . Известно множество комбинаторных алгоритмов на таблицах, включая jeu de taquin Шютценбергера и соответствие Робинсона – Шенстеда – Кнута . Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве всех полустандартных таблиц Юнга, придав ему структуру, названную пластическим моноидом (французское: le monoïde plaxique ).

В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера k описывают базисы в неприводимых представлениях симметрической группы на k буквах. Стандарт мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении от общей линейной группы GL _п параметризованные множества полустандартных Юнга фиксированной формы в алфавите {1, 2, ..., п }. Это имеет важные последствия для теории инвариантов , начиная с работы Ходж на однородное координатное кольцо из грассманиана и дальнейшее изучениюДжан-Карло Рота с сотрудниками, де Кончини и Прочези , и Эйзенбудом . Правило Литтлвуда-Ричардсон , описывающее (среди прочего) разложение тензорных произведений неприводимых представлений GL _п на неприводимые компоненты формулируются в терминах определенных перекоса полустандартных таблиц.

Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг исчисления Шуберта на грассманианах и многообразиях флагов . Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены полиномами Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.

Приложения в теории представлений [ править ]

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями о симметрической группы над комплексными числами . Они обеспечивают удобный способ задания симметризаторов Юнга, из которых строятся неприводимые представления . Многие факты о представлении можно вывести из соответствующей диаграммы. Ниже мы описываем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления можно определить, используя только его диаграмму.

Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общей линейной группы GL _n (когда они имеют не более n непустых строк) или неприводимые представления специальной линейной группы SL _n (когда они имеют не более n - 1 непустых строк), или неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы SU _n (опять же, когда они имеют не более n - 1 непустых строк). В этих случаях полустандартные таблицы с записями до nиграют центральную роль, а не стандартные картины; в частности, количество этих таблиц определяет размерность представления.

Размер представления [ править ]

Размерность неприводимого представления π _λ симметрической группы S _n, соответствующего разбиению λ числа n , равна количеству различных стандартных таблиц Юнга, которые могут быть получены из диаграммы представления. Это число можно рассчитать по формуле длины крючка .

Длина крюка крюк ( х ) из коробки х в диаграмме Юнга Y ( Х ) формы Х является количество коробок , которые находятся в той же строке, справа от него плюс этих коробок в том же столбце под ним, плюс один ( для самой коробки). По формуле длины крючка размерность неприводимого представления равна n ! деленное на произведение длин крючков всех ящиков на схеме изображения:

${\ displaystyle \ dim \ pi _ {\ lambda} = {\ frac {n!} {\ prod _ {x \ in Y (\ lambda)} \ operatorname {hook} (x)}}.}$

На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков на схеме перегородки 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

Аналогично, размерность неприводимого представления W ( λ ) группы GL _r, соответствующего разбиению λ числа n (не более чем с r частями), равна количеству полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержащих только элементы от 1 до r ), который определяется формулой длины крючка:

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+j-i}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

где индекс i обозначает строку, а j - столбец коробки. ^[5] Например, для разбиения (5,4,1) мы получаем как размерность соответствующего неприводимого представления GL ₇ (обход полей по строкам):

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

Запрещенные представления [ править ]

Представление симметрической группы на n элементах, S _n также является представлением симметрической группы на n - 1 элементах, S _{n −1} . Однако неприводимое представление S _n может не быть неприводимым для S _{n −1} . Вместо этого это может быть прямая сумма нескольких представлений, неприводимых для S _{n −1} . Эти представления называются факторами ограниченного представления (см. Также индуцированное представление ).

На вопрос об определении этого разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S _n , соответствующего разбиению λ числа n , ответят следующим образом. Один формирует набор всех диаграмм Юнга, которые могут быть получены из диаграммы формы λ , удаляя только один прямоугольник (который должен быть в конце как его строки, так и его столбца); ограниченное представление затем разлагается как прямая сумма неприводимых представлений S _{n − 1,} соответствующих этим диаграммам, каждое из которых встречается в сумме ровно один раз.

См. Также [ править ]

• Переписка Робинсона – Шенстеда
• Двойственность Шура – ​​Вейля

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уильям Фултон . Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6 . 
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 . Лекция 4
• Ховард Джорджи, Алгебры Ли в физике элементарных частиц, 2-е издание - Westview
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 стр. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598 
• Лоран Манивель. Симметричные функции, многочлены Шуберта и локусы вырождения . Американское математическое общество.
• Жан-Кристоф Новелли, Игорь Пак , Александр В. Стояновский, " Прямое биективное доказательство формулы длины крюка ", Дискретная математика и теоретическая информатика 1 (1997), стр. 53–67.
• Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Springer, 2001, ISBN 0-387-95067-2 
• Винберг, Е.Б. (2001) [1994], "Таблица Юнга" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Йонг, Александр (февраль 2007 г.). "Что такое ... молодая картина?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 54 (2): 240–241 . Проверено 16 января 2008 .
• Предраг Цвитанович , Теория групп: птичьи следы, ложь и исключительные группы . Издательство Принстонского университета, 2008.

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн. « Диаграмма Феррерса ». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Эрик В. Вайсштейн. " Юная таблица ". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Запись полустандартных таблиц в базе данных FindStat
• Запись стандартных таблиц в базе данных FindStat