Фердинанд Георг Фробениус

Фердинанд Георг Фробениус
Фердинанд Георг Фробениус
Родившийся	( 1849-10-26 )26 октября 1849 г. Шарлоттенбург , Берлин
Умер	3 августа 1917 г. (1917-08-03)(67 лет) Берлин
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Геттингенский университет Берлина
Известен	Дифференциальные уравнения Теория групп Теорема Кэли – Гамильтона Метод Фробениуса Матрица Фробениуса
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Берлинский университет ETH в Цюрихе
Докторант	Карл Вейерштрасс Эрнст Куммер
Докторанты	Ричард Фукс Эдмунд Ландау Иссай Шур Конрад Кнопп Вальтер Шнее

Фердинанд Георг Фробениус (26 октября 1849 - 3 августа 1917) был немецким математиком , наиболее известным своим вкладом в теорию эллиптических функций , дифференциальные уравнения , теорию чисел и теорию групп . Он известен знаменитыми детерминантными тождествами, известными как формулы Фробениуса – Штикельбергера, управляющими эллиптическими функциями, а также развитием теории биквадратичных форм. Он также был первым, кто ввел понятие рациональных приближений функций (ныне известных как аппроксимации Паде ) и дал первое полное доказательство теоремы Кэли – Гамильтона.. Он также дал свое имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам современной математической физики, известным как многообразия Фробениуса .

Биография [ править ]

Фердинанд Георг Фробениус родился 26 октября 1849 года в Шарлоттенбурге , пригороде Берлина ^[1] от родителей Кристиана Фердинанда Фробениуса, протестантского священника, и Кристины Елизаветы Фридрих. Он поступил в гимназию Иоахимсталя в 1860 году, когда ему было почти одиннадцать. ^[2] В 1867 году, после окончания университета, он поступил в Геттингенский университет, где начал свое обучение в университете, но проучился там всего один семестр, прежде чем вернуться в Берлин, где он посещал лекции Кронекера , Куммера и Карла Вейерштрасса . Он получил докторскую степень (награжден с отличием) в 1870 году под руководством Вейерштрасса.. Его диссертация была посвящена решению дифференциальных уравнений. В 1874 году, после обучения в средней школе сначала в гимназии Иоахимсталя, а затем в Софьенреальской школе, он был назначен в Берлинский университет экстраординарным профессором математики. ^[2] Фробениус был в Берлине всего за год до того, как поехал в Цюрих, чтобы устроиться на должность рядового профессора в Eidgenössische Polytechnikum.. Семнадцать лет, с 1875 по 1892 год, Фробениус работал в Цюрихе. Именно там он женился, вырастил свою семью и проделал важную работу в самых разных областях математики. В последние дни декабря 1891 года Кронекер умер, и поэтому его кресло в Берлине освободилось. Вейерштрасс, твердо убежденный, что Фробениус был тем человеком, который удерживал Берлин в авангарде математики, использовал свое значительное влияние, чтобы назначить Фробениуса. В 1893 году он вернулся в Берлин, где был избран членом Прусской академии наук .

Вклад в теорию групп [ править ]

Теория групп была одним из основных интересов Фробениуса во второй половине его карьеры. Одним из первых его достижений было доказательство теорем Силова для абстрактных групп. Ранее доказательства были для групп перестановок . Его доказательство первой теоремы Силова (о существовании силовских групп) - одно из часто используемых сегодня.

• Фробениус также доказал следующую фундаментальную теорему: если натуральное число n делит порядок | G | из конечной группы G , то число решений уравнения х ^п  = 1 в G равно кп для некоторых положительных целого числа  к . Он также поставил следующую проблему: если в приведенной выше теореме k  = 1, то решения уравнения x ⁿ  = 1 в G образуют подгруппу. Много лет назад эта проблема была решена для разрешимых групп . ^[3] Только в 1991 г., послеклассификации конечных простых групп , эта задача была решена в целом.

Более важным было создание им теории групповых характеров и групповых представлений , которые являются фундаментальными инструментами для изучения структуры групп. Эта работа привела к понятию взаимности Фробениуса и определению того, что сейчас называется группами Фробениуса . Группа G называется группой Фробениуса, если существует подгруппа H  <  G такая, что

${\ displaystyle H \ cap H ^ {x} = \ {1 \}}$для всех .${\ displaystyle x \ in GH}$

В этом случае набор

${\ Displaystyle N = G \, - \! \! \ bigcup _ {x \ in GH} \! \! H ^ {x}}$

вместе с единичным элементом группы G образует нильпотентную подгруппу, как показал Джон Г. Томпсон в 1959 году. ^[4] Все известные доказательства этой теоремы используют характеры. В своей первой статье о персонажах (1896 г.) Фробениус построил таблицу характеров группы порядка (1/2) ( p ³  - p) для всех нечетных простых чисел  p (эта группа проста при  p  > 3). Он также внес фундаментальный вклад в теорию представлений симметрических и знакопеременных групп .${\ displaystyle PSL (2, p)}$

Вклад в теорию чисел [ править ]

Фробениус ввел канонический способ превращения простых чисел в классы сопряженности в группах Галуа над Q . В частности, если K / Q - конечное расширение Галуа, то для каждого (положительного) простого числа p , не ветвящегося в K, и для каждого простого идеала P, лежащего над p в K, существует единственный элемент g из Gal ( K / Q ), удовлетворяющий условие g ( x ) =  x ^p  (mod  P ) для всех целых чиселх из K . Варьирование P по p превращает g в сопряженное (и каждое сопряжение g происходит таким образом), поэтому класс сопряженности g в группе Галуа канонически связан с p . Это называется классом сопряженности Фробениуса p, а любой элемент класса сопряженности называется элементом Фробениуса p . Если взять для K в м е кругового поля , чья группа Галуа над Q представляет единицу по модулю т (и , следовательно , абелево, так что классы сопряженных становятся элементами), то дляp, не делящий m, класс Фробениуса в группе Галуа равен p  mod  m . С этой точки зрения распределение классов сопряженности Фробениуса в группах Галуа над Q (или, в более общем смысле, группах Галуа над любым числовым полем) обобщает классический результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Изучение групп Галуа расширений бесконечной степени Q в значительной степени зависит от этой конструкции элементов Фробениуса, которая дает в некотором смысле плотное подмножество элементов, доступных для подробного изучения.

См. Также [ править ]

• Список вещей, названных в честь Фердинанда Георга Фробениуса

Публикации [ править ]

• Фробениус, Фердинанд Георг (1968), Серр, Ж.-П. (ред.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7, Руководство по ремонту  0235974
• De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (на латыни), Диссертация, 1870 г.
• Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rarationale Functionen einer Variablen sind (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
• Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)
• Über das Pfaffsche Problem (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
• Über die Regären Integrale der linearen Differentialgleichungen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
• Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (на французском языке), Comptes rendus de l'Académie des Sciences Paris 85, 131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)
• Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
• Über homogen Totale Differentialgleichungen (на немецком языке), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)
• Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (на немецком языке), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456–477 (1912)

Ссылки [ править ]

• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2677-5, Руководство по ремонту  1715145 Рассмотрение

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Фердинанда Георга Фробениуса .

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Фердинанд Георг Фробениус" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Г. Фробениус, "Теория гиперкомплексных величин" (английский перевод)