Решетка Юнга

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Диаграмма Хассе решетки Юнга

В математике , решетка Юнга является частично упорядоченное множество и решетка , которая формируется всеми разбиений . Он назван в честь Альфреда Янга , который в серии статей « О количественном анализе замещения» разработал теорию представлений симметрической группы . В теории Юнга объекты, которые теперь называются диаграммами Юнга, и частичный порядок на них играли ключевую, даже решающую роль. Решетка Юнга занимает видное место в алгебраической комбинаторике , образуя простейший пример дифференциального уп в смысле Стэнли (1988).. Она также тесно связана с кристаллическими основаниями для аффинных алгебр Ли .

Определение [ править ]

Решетка Юнга - это частично упорядоченное множество Y, образованное всеми целочисленными разбиениями, упорядоченными включением их диаграмм Юнга (или диаграмм Феррерса ).

Значение [ править ]

Традиционное применение решетки Юнга - описание неприводимых представлений симметрических групп S _n для всех n вместе с их свойствами ветвления в нулевой характеристике. Классы эквивалентности неприводимых представлений могут быть параметризованы разбиениями или диаграммами Юнга, ограничение с S _{n + 1} на S _{n не} имеет кратностей, а представление S _n с разбиением p содержится в представлении S _{n + 1} с разбиение q тогда и только тогда, когда q покрывает pв решетке Юнга. Повторяя эту процедуру, мы приходим к полуканоническому базису Юнга в неприводимом представлении S _n с разбиением p , которое индексируется стандартными таблицами Юнга формы p .

Свойства [ править ]

Посет Y является сортовой : минимальный элемент ∅, единственный раздел нуля, и разбиения п имеют ранг п . Это означает, что для двух разделов, которые сопоставимы в решетке, их ранги упорядочены в том же смысле, что и разделы, и существует по крайней мере одно промежуточное разделение каждого промежуточного ранга.
ЧУМ Y представляет собой решетку. Встреча и соединение двух разбиений задаются пересечением и объединением соответствующих диаграмм Юнга. Поскольку это решетка, в которой операции пересечения и соединения представлены пересечениями и объединениями, она является дистрибутивной решеткой .
Если разбиение p покрывает k элементов решетки Юнга для некоторого k, то оно покрывается k + 1 элементом. Все разбиения, охватываемые p, можно найти, удалив один из «углов» его диаграммы Юнга (прямоугольники в конце как их строки, так и их столбца). Все разбиения, покрывающие p, можно найти, добавив один из «двойных углов» к его диаграмме Юнга (прямоугольники за пределами диаграммы, которые являются первыми такими прямоугольниками как в своей строке, так и в своем столбце). Всегда есть двойной угол в первом ряду, а для каждого другого двойного угла есть угол в предыдущем ряду, откуда происходит указанное свойство.
Если разные разбиения p и q покрывают k элементов Y, то k равно 0 или 1, а p и q покрываются k элементами. Проще говоря: два раздела могут иметь не более одного (третьего) раздела, покрытого обоими (их соответствующие диаграммы, тогда каждый имеет один блок, не принадлежащий другому), и в этом случае существует также один (четвертый) раздел, покрывающий их оба (чьи диаграмма - это объединение их диаграмм).
Насыщенные цепи между и p находятся в естественной биекции со стандартными таблицами Юнга формы p : диаграммы в цепочке добавляют блоки диаграммы стандартной таблицы Юнга в порядке их нумерации. В более общем смысле, насыщенные цепи между q и p находятся в естественной биекции с наклонными стандартными таблицами скошенной формы p / q .
Функция Мёбиуса решетки Юнга принимает значения 0, ± 1. Он задается формулой

{\ displaystyle \ mu (q, p) = {\ begin {cases} (- 1) ^ {| p | - | q |} & {\ text {если наклонная диаграмма}} p / q {\ text { несвязное объединение квадратов}} \\ & {\ text {(без общих краев);}} \\ [10pt] 0 & {\ text {else}}. \ end {cases}}}

Двугранная симметрия [ править ]

Часть решетки Юнга, лежащая ниже 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 и 4

Диаграмма, показывающая двугранную симметрию

Обычно решетку Юнга изображают на диаграмме Хассе, где все элементы одного ранга показаны на одинаковой высоте над основанием.Сутер (2002) показал, что другой способ изображения некоторых подмножеств решетки Юнга показывает некоторые неожиданные симметрии.

Раздел

{\ Displaystyle п + \ cdots + 3 + 2 + 1}

из п - го треугольного числа имеет диаграмму Ферре , который выглядит как лестница. Самые большие элементы, диаграммы Феррера которых имеют прямоугольную форму и лежат под лестницей, это:

{\begin{array}{c}\underbrace {1+\cdots \cdots \cdots +1} _{n{\text{ terms}}}\\\underbrace {2+\cdots \cdots +2} _{n-1{\text{ terms}}}\\\underbrace {3+\cdots +3} _{n-2{\text{ terms}}}\\\vdots \\\underbrace {{}\quad n\quad {}} _{1{\text{ term}}}\end{array}}

Перегородки этой формы - единственные, у которых есть только один элемент непосредственно под ними в решетке Юнга. Сутер показал, что множество всех элементов, меньших или равных этим частным разбиениям, обладает не только двусторонней симметрией, которую можно ожидать от решетки Юнга, но также и вращательной симметрией: группа вращений порядка n + 1 действует на этот элемент. Поскольку это множество имеет как двустороннюю, так и вращательную симметрию, оно должно иметь диэдральную симметрию: ( n + 1) -я группа диэдра точно действует на этом множестве. Размер этого набора - 2 ^п .

Например, когда n = 4, то максимальный элемент под «лестницей» с прямоугольными диаграммами Феррерса равен

1 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

3 + 3

4

Подмножество решетки Юнга, лежащее ниже этих перегородок, имеет как двустороннюю симметрию, так и 5-кратную вращательную симметрию. Следовательно, группа диэдра D ₅ точно действует на этом подмножестве решетки Юнга.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Misra, Kailash C .; Мива, Тетсудзи (1990). «Хрустальная основа для основного изображения ». Сообщения по математической физике . 134 (1): 79–88. Bibcode : 1990CMaPh.134 ... 79M . DOI : 10.1007 / BF02102090 . S2CID 120298905 . $U_{q}({\widehat {\mathfrak {sl}}}(n))$
Саган, Брюс (2000). Симметричная группа . Берлин: Springer. ISBN 0-387-95067-2.
Стэнли, Ричард П. (1988). "Дифференциальные посец" . Журнал Американского математического общества . 1 (4): 919–961. DOI : 10.2307 / 1990995 . JSTOR 1990995 .
Сутер, Руеди (2002). «Решетка Юнга и двугранные симметрии». Европейский журнал комбинаторики . 23 (2): 233–238. DOI : 10.1006 / eujc.2001.0541 .