Дифференциальный позет

В математике , А дифференциальный ч.у.м. является частично упорядоченное множество (или ч.у.м. для краткости) , удовлетворяющих определенным локальные свойства. (Формальное определение приводится ниже.) Это семейство множеств было введено Стэнли (1988) как обобщение решетки Юнга (множества целочисленных разбиений, упорядоченных по включению), многие из комбинаторных свойств которой разделяются всеми дифференциальными множествами. Помимо решетки Юнга, другим наиболее значительным примером дифференциального ч.у.м. является решетка Юнга – Фибоначчи .

Определения [ править ]

Ч.у.м. P называется дифференциальным ч.у.м. и, в частности, r -дифференциальным (где r - натуральное число), если оно удовлетворяет следующим условиям:

Р является градуированным и локально конечным с единственным минимальным элементом;
для каждых двух различных элементов x , y из P количество элементов, покрывающих как x, так и y, такое же, как количество элементов, покрываемых как x, так и y ; и
для каждого элемента x из P количество элементов, покрывающих x , ровно на r больше, чем количество элементов, покрываемых x .

Эти основные свойства можно переформулировать по-разному. Например, Стэнли показывает, что количество элементов, покрывающих два различных элемента x и y дифференциального poset, всегда равно 0 или 1, поэтому второе определяющее свойство может быть изменено соответствующим образом.

Определяющие свойства также могут быть переформулированы в следующей линейной алгебраической постановке: принимая элементы ч.у.м. P как формальные базисные векторы (бесконечномерного) векторного пространства , пусть D и U будут операторами, определенными так, что D x равно сумма элементов, покрываемых x , а U x равна сумме элементов, покрывающих x . (Операторы D и U называются операторами вниз и вверх, по понятным причинам.) Тогда второе и третье условия можно заменить утверждением, что DU - UD = rI (где I - тождество).

Эта последняя переформулировка превращает дифференциальное ЧУМ в комбинаторную реализацию алгебры Вейля и, в частности, объясняет название дифференциала : операторы « d / dx » и «умножение на x » в векторном пространстве многочленов подчиняются тому же коммутационному соотношению, что и U и Д / р .

Примеры [ править ]

Граф Юнга – Фибоначчи, диаграмма Хассе решетки Юнга – Фибоначчи.

Каноническими примерами дифференциальных множеств являются решетка Юнга, множество целочисленных разбиений, упорядоченных по включению, и решетка Юнга – Фибоначчи. В первоначальной статье Стэнли было установлено, что решетка Юнга является единственной 1-дифференциальной дистрибутивной решеткой , в то время как Бирнс (2012) показал, что это единственные 1-дифференциальные решетки .

Существует каноническая конструкция (называемая «отражением») дифференциального ч.у. по заданному конечному ч.у., которое подчиняется всем определяющим аксиомам ниже своего верхнего ранга. (Решетка Юнга – Фибоначчи - это ч.у., которая возникает при применении этой конструкции, начиная с одной точки.) Это можно использовать, чтобы показать, что существует бесконечно много дифференциальных множеств. Стэнли (1988) включает замечание, что «[Дэвид] Вагнер описал очень общий метод построения дифференциальных множеств, который делает маловероятным [их можно классифицировать]». Это уточняется в Lewis (2007) , где показано, что существует несчетное количество 1-дифференциальных множеств. С другой стороны, явные примеры дифференциальных множеств редки; Льюис (2007) дает запутанное описание дифференциального ч.у., отличного от решеток Юнга и Юнга – Фибоначчи.

Решетка Юнга-Фибоначчи имеет естественный r -дифференциальный аналог для любого натурального числа r . Эти элементы представляют собой решетки и могут быть построены путем изменения конструкции отражения. Кроме того, произведение r -дифференциального и s -дифференциального ч.у.м. всегда является ( r + s ) -дифференциальным ч.у.м. Эта конструкция также сохраняет решеточное свойство. При любом r > 1 неизвестно, существуют ли какие-либо r -дифференциальные решетки, кроме тех, которые возникают при произведении решеток Юнга – Фибоначчи и решетки Юнга.

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли какие-либо дифференциальные решетки, не являющиеся произведением решетки Юнга и решеток Юнга – Фибоначчи?

(больше нерешенных задач по математике)

Рост ранга [ править ]

Помимо вопроса о том, существуют ли другие дифференциальные решетки, существует несколько давних открытых проблем, связанных с ростом ранга дифференциальных множеств. В Стэнли (1988) была высказана гипотеза, что если P - дифференциальное ч.у.м. с $r n$ вершинами ранга n , то

{\ Displaystyle р (п) \ leq r_ {п} \ leq F_ {п},}

где p ( n ) - количество целых разделов n, а $F n$ - n- е число Фибоначчи . Другими словами, гипотеза утверждает, что на каждом ранге у каждого дифференциального ч.у.м. есть число вершин, лежащих между числами для решетки Юнга и решетки Юнга-Фибоначчи. Верхняя оценка была доказана в Бирнсе (2012) . Нижняя оценка остается открытой. Стэнли и Занелло (2012) доказали асимптотическую версию нижней оценки, показав, что

{\ displaystyle r_ {n} \ gg n ^ {a} \ exp (2 {\ sqrt {n}})}

для каждого дифференциального ч.у. и некоторой константы a . Для сравнения, статистическая сумма имеет асимптотику

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right).

Все известные оценки ранговых размеров дифференциальных множеств являются быстрорастущими функциями. В оригинальной статье Стэнли было показано (с использованием собственных значений оператора DU ), что размеры рангов слабо увеличиваются. Однако прошло 25 лет, прежде чем Миллер (2013) показал, что размер ранга r- дифференциального ч.у. строго увеличивается (за исключением тривиального случая между рангами 0 и 1, когда r = 1).

Свойства [ править ]

Диаграмма Хассе решетки Юнга

Каждый дифференциальный ч.у. P разделяет большое количество комбинаторных свойств. Некоторые из них включают:

Количество путей длины 2 n на диаграмме Хассе P, начинающееся и заканчивающееся минимальным элементом, равно $(2 n - 1) !!$ (здесь восклицательные знаки обозначают двойной факториал ). В r -дифференциальном множестве таких путей $(2 n - 1) !! r n$ . ^[1]
Количество путей длиной 2 n в диаграмме Хассе P, начиная с минимального элемента, так что первые n шагов покрывают отношения от меньшего к большему элементу P, а последние n шагов покрывают отношения от большего к a меньший элемент P равен n !. В r -дифференциальном множестве число равно $n! r n$ . ^[2]
Количество восходящих путей длины n в диаграмме Хассе P, начинающихся с минимального элемента, равно количеству инволюций в симметрической группе из n букв. В г -дифференциального посета, последовательность этих чисел имеет экспоненциальную производящую функцию $е гх + х 2 /2$ . ^[3]

Обобщения [ править ]

В дифференциальном посете, то же множество ребер используются для вычисления вверх и вниз операторы U и D . Если разрешить разные наборы верхних и нижних ребер (совместно использующих одни и те же наборы вершин и удовлетворяющих одному и тому же соотношению), результирующая концепция - это дуальный градуированный граф , первоначально определенный Фоминым (1994) . Один восстанавливает дифференциальные положения как случай, когда два набора ребер совпадают.

Большой интерес к дифференциальным позам вызван их связью с теорией представлений . Элементами решетки Юнга являются целочисленные разбиения, которые кодируют представления симметрических групп и связаны с кольцом симметрических функций ; Окада (1994) определил алгебры , представление которых кодируется вместо этого решеткой Юнга – Фибоначчи, и допускает аналогичные конструкции, такие как версия симметрических функций Фибоначчи. Неизвестно, существуют ли подобные алгебры для любого дифференциального ч.у. ^{[ необходима цитата ]} В другом направлении, Лам и Симозоно (2009)определены дуальные градуированные графы, соответствующие любой алгебре Каца – Муди .

Возможны другие варианты; Стэнли (1990) определил версии, в которых число r в определении изменяется от ранга к рангу, в то время как Лам (2008) определил знаковый аналог дифференциальных множеств, в которых отношениям покрытия может быть присвоен «вес» -1.

Ссылки [ править ]

^ Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [1] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.7, стр. 384.
^ Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [2] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.8, стр. 385.
^ Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [3] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.10, стр. 386.

Бирнс, Патрик (2012), Структурные аспекты дифференциальных множеств , ISBN 9781267855169( Кандидатская диссертация УМН )
Фомин, Сергей (1994), "Двойственность градуированных графов", журнал алгебраическая комбинаторика , 3 (4): 357-404, DOI : 10,1023 / A: 1022412010826
Лам, Томас (2008), «Знаковые дифференциальные положения и знаковый дисбаланс», Журнал комбинаторной теории, серия A , 115 (3): 466–484, arXiv : math / 0611296 , doi : 10.1016 / j.jcta.2007.07. 003 , S2CID 10802016
Лам, Томас Ф .; Шимозоно, Марк (2007), «Двойные градуированные графы для алгебр Каца-Муди», Алгебра и теория чисел , 1 (4): 451–488, arXiv : math / 0702090 , doi : 10.2140 / ant.2007.1.451 , S2CID 18253442
Льюис, Джоэл Брюстер (2007), О дифференциальных позициях (PDF)( Дипломная работа Гарвардского колледжа )
Миллер, Александр (2013), «Дифференциальные множества имеют строгий рост ранга: гипотеза Стэнли», Order , 30 (2): 657–662, arXiv : 1202.3006 , doi : 10.1007 / s11083-012-9268-y , S2CID 38737147 arXiv: 1202.3006 [math.CO]
Окада, Soichi (1994), "Алгебры , связанные с Янгом-Фибоначчи решетки", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 346 (2): 549-568, DOI : 10,2307 / 2154860 , JSTOR 2154860
Стэнли, Ричард П. (1988), "Дифференциальный Posets", журнал Американского математического общества , Американское математическое общество, 1 (4): 919-961, DOI : 10,2307 / 1990995 , JSTOR 1990995
Стэнли, Ричард П. (1990), Вариации дифференциальных положений , IMA Vol. Математика. Appl., 19 , Springer, стр. 145–165.
Стэнли, Ричард П .; Занелло, Фабрицио (2012), «О функции ранга дифференциального множества» , Электронный журнал комбинаторики , 19 (2): P13, doi : 10.37236 / 2258 , S2CID 7405057

[1] Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [1] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.7, стр. 384.

[2] Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [2] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.8, стр. 385.

[3] Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том 1 (второе издание). Cambridge University Press, 2011. [3] , версия от 15 июля 2011 г. Теорема 3.21.10, стр. 386.

[1]