Число Фибоначчи

Мозаика с квадратами, длины сторон которых являются последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21.

В математике числа Фибоначчи , обычно обозначаемые $F n$ , образуют последовательность , называемую последовательностью Фибоначчи , так что каждое число является суммой двух предыдущих, начиная с 0 и 1. То есть ^[1]

F_{0}=0,\quad F_{1}=1,

и

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}

для

n > 1

.

Таким образом, начало последовательности: ^[2]

0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots

В некоторых старых книгах значение опускается, так что последовательность начинается с, а повторение действительно для $n$ $> 2$ . ^[3]^[4] $F_{0}=0$ $F_{1}=F_{2}=1,$ $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Спираль Фибоначчи: аппроксимация золотой спирали, созданной путем рисования дуг окружности, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи; (см. предыдущее изображение)

Числа Фибоначчи сильно связаны с золотым сечением : формула Бине выражает $n-$ е число Фибоначчи через $n$ и золотое сечение и подразумевает, что соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению при увеличении $n$ .

Числа Фибоначчи названы в честь итальянского математика Леонардо Пизанского, позже известного как Фибоначчи . В 1202 книге Liber Abaci Фибоначчи представил последовательность в западноевропейских математике, ^[5] , хотя последовательность была описана ранее в индийской математике , ^[6]^[7]^[8] еще в 200 г. до н.э. в работе Пингалу на Enumerating возможные образцы санскритской поэзии, образованные из слогов двух длин.

Числа Фибоначчи неожиданно часто появляются в математике, настолько, что их исследованию посвящен целый журнал - Fibonacci Quarterly . Применения чисел Фибоначчи включают компьютерные алгоритмы, такие как метод поиска Фибоначчи и структура данных кучи Фибоначчи , а также графы, называемые кубами Фибоначчи, используемые для соединения параллельных и распределенных систем.

Они также проявляются в биологических условиях , таких как ветвление деревьев, расположение листьев на стебле , ростки плодов ананаса , цветение артишока , раскручивающийся папоротник и расположение прицветников сосновой шишки .

Числа Фибоначчи также тесно связаны с числами Лукаса , поскольку числа Фибоначчи и Лукаса образуют дополнительную пару последовательностей Люка : и . $L_{n}$ $U_{n}(1,-1)=F_{n}$ $V_{n}(1,-1)=L_{n}$

История [ править ]

Тринадцать ( F ₇ ) способов расположения длинных (показаны красными плитками) и коротких слогов (показаны серыми квадратами) в каденции длиной шесть. Пять ( F ₅ ) заканчиваются длинным слогом, а восьмерка ( F ₆ ) - коротким слогом.

Последовательность Фибоначчи появляется в индийской математике в связи с санскритской просодией , как указал Пармананд Сингх в 1986 году. ^[7]^[9]^[10] В поэтической традиции санскрита был интерес к перечислению всех образов длинных (L) слогов. длительностью 2 единицы, к которым добавляются короткие (S) слоги длительностью 1 единица. Подсчет различных паттернов последовательных L и S с заданной общей длительностью приводит к числам Фибоначчи: количество паттернов длительностью $m$ единиц равно $F m + 1$ . ^[8]

Знания о последовательности Фибоначчи были выражены еще в Пингале ( около 450 г. до н.э. - 200 г. до н.э.). Сингх цитирует загадочную формулу Пингалы misrau cha («двое смешаны») и ученых, которые интерпретируют ее в контексте, как утверждая, что количество паттернов для $m$ ударов ( $F m +1$ ) получается добавлением единицы [S] к $F m$ случаев и один [L] к $F m -1$ случаям. ^[11] Бхарата Муни также выражает знание последовательности в Натья Шастре (ок. 100 г. до н. Э. - ок. 350 г. н. Э.). ^[12]^[6]Однако наиболее ясное изложение последовательности возникает в работе Вираханка (ок. 700 г. н.э.), чья собственная работа утеряна, но доступна в цитате Гопалы (ок. 1135 г.): ^[10]

Вариации двух более ранних метров [это вариация] ... Например, для [метра длины] четыре, вариации двух [и] трех метров, смешанных, происходит пять. [работает с примерами 8, 13, 21] ... Таким образом, процесс должен соблюдаться во всех матра-вриттах [просодических комбинациях]. ^[а]

Хемачандре (ок. 1150 г.) также приписывают знание последовательности, ^{[6] он} пишет, что «сумма последнего и одного перед последним является числом ... следующей матра-вритты». ^[14]^[15]

Страница из Фибоначчи «s Liber Abaci от Biblioteca Nazionale ди Фиренце показывает (в поле справа) последовательность Фибоначчи с положением в последовательности меченого на латинском и римские цифры и значение в индо-арабскими цифрами.

Количество пар кроликов образует последовательность Фибоначчи

За пределами Индии последовательность Фибоначчи впервые появляется в книге Liber Abaci (1202) Фибоначчи ^[5]^[16], где она используется для расчета роста популяций кроликов. ^[17]^[18] Фибоначчи рассматривает рост идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов , предполагая, что: новорожденная племенная пара кроликов помещается в поле; каждая размножающаяся пара спаривается в возрасте одного месяца, и в конце второго месяца они всегда производят еще одну пару кроликов; а кролики никогда не умирают, но продолжают размножаться вечно. Фибоначчи поставил загадку: сколько пар будет через год?

В конце первого месяца они спариваются, но остается только 1 пара.
В конце второго месяца они производят новую пару, так что на поле осталось 2 пары.
В конце третьего месяца исходная пара производит вторую пару, но вторая пара только спаривается без размножения, так что всего получается 3 пары.
В конце четвертого месяца исходная пара произвела еще одну новую пару, а пара, родившаяся два месяца назад, также произвела свою первую пару, получив 5 пар.

В конце $n-$ го месяца количество пар кроликов равно количеству половозрелых пар (то есть количеству пар в месяц $n - 2$ ) плюс количество пар, живущих в прошлом месяце (месяц $n - 1).$ ). Число в $n-$ м месяце - это $n-$ е число Фибоначчи. ^[19]

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком чисел XIX века Эдуардом Лукасом . ^[20]

Свойства последовательности [ править ]

Первые 21 число Фибоначчи $F n$ : ^[2]

F ₀	F ₁	F ₂	П ₃	П ₄	П ₅	П ₆	П ₇	П ₈	П ₉	П ₁₀	П ₁₁	П ₁₂	П ₁₃	П ₁₄	П ₁₅	П ₁₆	П ₁₇	П ₁₈	П ₁₉	П ₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21 год	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Последовательность также может быть расширена до отрицательного индекса $n$ с помощью перестроенного рекуррентного отношения

F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},

что дает последовательность чисел «негафибоначчи» ^[21], удовлетворяющих

F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.

Таким образом, двунаправленная последовательность

F ₋₈

F ₋₇

F ₋₆

F ₋₅

F ₋₄

F ₋₃

F ₋₂

F ₋₁

F ₀

F ₁

F ₂

П ₃

П ₄

П ₅

П ₆

П ₇

П ₈

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

2

3

5

8

13

21 год

Отношение к золотому сечению [ править ]

Выражение в закрытой форме [ править ]

Как и любая последовательность, определяемая линейным повторением с постоянными коэффициентами , числа Фибоначчи имеют выражение в замкнутой форме . Она стала известна как формула Бине , названная в честь французского математика Жака Филиппа Мари Бине , хотя она уже была известна Абрахаму де Муавру и Даниэлю Бернулли : ^[22]

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},

куда

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots

- золотое сечение ( OEIS : A001622 ) и ^[23]

\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\ldots .

Так как эту формулу также можно записать как $\psi =-\varphi ^{-1}$

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.

Чтобы убедиться в этом, отметим в ^[24], что оба

φ

и

ψ

являются решениями уравнений

x^{2}=x+1\quad {\text{and}}\quad x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},

поэтому степени

φ

и

ψ

удовлетворяют рекурсии Фибоначчи. Другими словами,

\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}

и

\psi ^{n}=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.

Отсюда следует, что для любых значений $a$ и $b$ последовательность, определяемая

U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}

удовлетворяет такое же повторение

U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}.

Если $a$ и $b$ выбраны так, что $U 0 = 0$ и $U 1 = 1,$ то результирующая последовательность $U n$ должна быть последовательностью Фибоначчи. Это то же самое, что требовать, чтобы $a$ и $b$ удовлетворяли системе уравнений:

\left\{{\begin{array}{l}a+b=0\\\varphi a+\psi b=1\end{array}}\right.

который имеет решение

a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,

производство необходимой формулы.

Принимая начальные значения $U 0$ и $U 1$ за произвольные константы, более общее решение:

U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}

куда

a={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}}

b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.

Вычисление округлением [ править ]

С

\left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}

для всех $n \geq 0$ число $F n$ является ближайшим к . Следовательно, его можно найти округлением с использованием ближайшей целочисленной функции: ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0.

Фактически, ошибка округления очень мала, менее 0,1 для $n \geq 4$ и менее 0,01 для $n \geq 8$ .

Число Фибоначчи также может быть вычислено путем усечения в терминах функции пола :

F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.

Поскольку минимальная функция является монотонной , последняя формула может быть инвертирована для нахождения индекса $n (F)$ наибольшего числа Фибоначчи, которое не превышает действительное число $F > 1$ :

n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right)\right\rfloor ,

куда

\log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi ).

Предел последовательных частных [ править ]

Иоганн Кеплер заметил, что соотношение последовательных чисел Фибоначчи сходится. Он написал, что «как 5 равно 8, так и 8 к 13 практически, а как 8 равно 13, так и 13 к 21 почти», и пришел к выводу, что эти отношения приближаются к золотому сечению ^[25]^[26] $\varphi \colon$

\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .

Эта сходимость сохраняется независимо от начальных значений, исключая 0 и 0, или любой пары в сопряженном золотом сечении ^[^{требуется пояснение}^]. Это можно проверить с помощью формулы Бине . Например, начальные значения 3 и 2 создают последовательность 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... Соотношение последовательных членов в этой последовательности показывает такое же сближение с золотым сечением. $-1/\varphi .$

Последовательные мозаики плоскости и график приближений к золотому сечению, вычисляемому путем деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее.

Разложение властей [ править ]

Поскольку золотое сечение удовлетворяет уравнению

\varphi ^{2}=\varphi +1,

это выражение можно использовать для разложения более высоких степеней как линейной функции от более низких степеней, которая, в свою очередь, может быть полностью разложена до линейной комбинации и 1. Полученные рекуррентные соотношения дают числа Фибоначчи как линейные коэффициенты: $\varphi ^{n}$ $\varphi$

\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.

Это уравнение можно доказать индукцией по n .

Это выражение справедливо и для п <1 , если последовательность Фибоначчи F _п будет продлен до отрицательных целых чисел , используя правило Фибоначчи $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}.$

Матричная форма [ править ]

Двумерная система линейных разностных уравнений , описывающая последовательность Фибоначчи, имеет вид

{F_{k+2} \choose F_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}

альтернативно обозначается

{\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},

который дает . В собственных значениях матрицы $А$ имеют и соответствующие соответствующие собственные векторы ${\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}$ $\varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$ $-\varphi ^{-1}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})$

{\vec {\mu }}={\varphi \choose 1}

и

{\vec {\nu }}={-\varphi ^{-1} \choose 1}.

Поскольку начальное значение равно

{\vec {F}}_{0}={1 \choose 0}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},

отсюда следует, что

n-

й член равен

{\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}~\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{\varphi \choose 1}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{-\varphi ^{-1} \choose 1},\end{aligned}}

Отсюда

n-

й элемент ряда Фибоначчи может быть прочитан непосредственно как выражение в замкнутой форме :

F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.

Эквивалентно, то же вычисление может выполняться с помощью диагонализации из $А$ за счет использования ее eigendecomposition :

{\begin{aligned}A&=S\Lambda S^{-1},\\A^{n}&=S\Lambda ^{n}S^{-1},\end{aligned}}

где и Таким образом, выражение в замкнутой форме для

n-

го элемента ряда Фибоначчи имеет вид

\Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\end{pmatrix}}

S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.

{\begin{aligned}{F_{n+1} \choose F_{n}}&=A^{n}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{1 \choose 0},\end{aligned}}

что снова дает

F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Матрица $A$ имеет определитель −1, и, таким образом, это унимодулярная матрица 2 × 2 .

Это свойство можно понять в терминах представления непрерывной дроби для золотого сечения:

\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.

Числа Фибоначчи возникают как отношение последовательных подходящих дробей непрерывной дроби для $φ$ , а матрица, сформированная из последовательных подходящих дробей любой непрерывной дроби, имеет определитель +1 или -1. Матричное представление дает следующее выражение в закрытой форме для чисел Фибоначчи:

{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.

Взяв определитель обеих частей этого уравнения, получаем тождество Кассини ,

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Более того, поскольку $A$ $n$ $A$ $m$ $=$ $A$ $n$ $+$ $m$ для любой квадратной матрицы $A$ , можно вывести следующие тождества (они получаются из двух разных коэффициентов матричного произведения, и можно легко вывести второй из первого с помощью заменяя $n$ на $n$ $+ 1$ ),

{\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}

В частности, при $т = п$ ,

{\begin{aligned}F_{2n-1}&=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}\\F_{2n}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}.\end{aligned}}

Эти последние два тождества обеспечивают способ рекурсивного вычисления чисел Фибоначчи за $O (log (n))$ арифметических операций и за время $O (M (n) log (n))$ , где $M (n)$ - время умножения двух числа из $n$ цифр. Это совпадает со временем вычисления $n-$ го числа Фибоначчи по формуле замкнутой матрицы, но с меньшим количеством избыточных шагов, если избегать пересчета уже вычисленного числа Фибоначчи (рекурсия с запоминанием ). ^[27]

Идентификация [ править ]

Может возникнуть вопрос, является ли целое положительное число x числом Фибоначчи. Это верно тогда и только тогда, когда хотя бы один из или является точным квадратом . ^[28] Это потому, что формулу Бине, приведенную выше, можно переформулировать так, чтобы $5x^{2}+4$ $5x^{2}-4$

n=\log _{\varphi }\left({\frac {F_{n}{\sqrt {5}}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}\right),

что позволяет найти позицию в последовательности данного числа Фибоначчи.

Эта формула должна возвращать целое число для всех n , поэтому радикальное выражение должно быть целым числом (иначе логарифм не вернет даже рациональное число).

Комбинаторные тождества [ править ]

Большинство тождеств, включающих числа Фибоначчи, можно доказать с помощью комбинаторных аргументов, используя тот факт, что F _n можно интерпретировать как количество последовательностей единиц и двоек, которые в сумме дают n - 1. Это можно принять как определение F _n с условием. что F ₀ = 0, что означает, что никакая сумма не дает -1, и что F ₁ = 1, что означает, что пустая сумма «складывается» до 0. Здесь порядок слагаемого имеет значение. Например, 1 + 2 и 2 + 1 считаются двумя разными суммами.

Например, рекуррентное соотношение

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},

или, говоря словами, n- е число Фибоначчи является суммой двух предыдущих чисел Фибоначчи, может быть показано, разделив F _n сумм единиц и двоек, которые складываются с n - 1, на две неперекрывающиеся группы. Одна группа содержит те суммы, первое слагаемое которых равно 1, а другая - те суммы, у которых первое слагаемое равно 2. В первой группе оставшиеся члены прибавляют к n - 2, так что она имеет F _{n -1} сумм, а во второй группе оставшиеся слагаемые складываются с n - 3, поэтому получается F _{n −2} сумм. Итак, всего F _{n −1} + F _{n −2}сумм, показывая, что это равно F _n .

Точно так же можно показать, что сумма первых чисел Фибоначчи до n- го равна ( n + 2) -м числу Фибоначчи минус 1. ^[29] В символах:

\sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1

Это делается путем деления сумм на n + 1 другим способом, на этот раз на расположение первых 2. В частности, первая группа состоит из тех сумм, которые начинаются с 2, а вторая группа - из тех, которые начинаются с 1 + 2. , третья 1 + 1 + 2 и так далее до последней группы, которая состоит из единственной суммы, в которой используются только единицы. Количество сумм в первой группе равно F ( n ), F ( n - 1) во второй группе и так далее, с 1 суммой в последней группе. Таким образом, общее количество сумм равно F ( n ) + F ( n - 1) + ... + F (1) + 1 и, следовательно, это количество равно F (п + 2).

Аналогичный аргумент, группирующий суммы по положению первой 1, а не первых 2, дает еще два тождества:

\sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}

и

\sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.

Другими словами, сумма первых чисел Фибоначчи с нечетным индексом до F _{2 n −1} является (2 n ) -м числом Фибоначчи, а сумма первых чисел Фибоначчи с четным индексом до F _{2 n} равна (2 n + 1) -е число Фибоначчи минус 1. ^[30]

Можно использовать другой прием, чтобы доказать

\sum _{i=1}^{n}{F_{i}}^{2}=F_{n}F_{n+1},

или, говоря словами, сумма квадратов первых чисел Фибоначчи до F _n является произведением n- го и ( n + 1) -го чисел Фибоначчи. В этом случае прямоугольник Фибоначчи размера F _n на F ( n + 1) можно разложить на квадраты размера F _n , F _{n −1} и так далее до F ₁ = 1, из которого следует идентичность путем сравнения площадей.

Символический метод [ править ]

Последовательность также рассматривается с помощью символического метода . ^[31] Точнее, эта последовательность соответствует определяемому комбинаторному классу . Спецификация этой последовательности . В самом деле, как указано выше, -е число Фибоначчи равно количеству комбинаторных композиций (упорядоченных разбиений ) с использованием членов 1 и 2. $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $\operatorname {Seq} ({\mathcal {Z+Z^{2}}})$ $n$ $n-1$

Отсюда следует, что обычная производящая функция последовательности Фибоначчи, т. Е. Является комплексной функцией . $\sum _{i=0}^{\infty }F_{i}z^{i}$ ${\frac {z}{1-z-z^{2}}}$

Другие личности [ править ]

Многие другие идентичности могут быть получены с использованием различных методов. Некоторые из наиболее примечательных: ^[32]

Личности Кассини и Каталонии [ править ]

Личность Кассини утверждает, что

F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}

Каталонская идентичность - это обобщение:

F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}

личность д'Окань [ править ]

F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}

F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}

где L _n - n- е число Лукаса . Последний - это тождество для удвоения n ; другие идентичности этого типа

F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}

личность Кассини.

F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}

F_{3n+2}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}

F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)

Их можно найти экспериментально, используя сокращение решетки , и они полезны при настройке сита специального числового поля для факторизации числа Фибоначчи.

В более общем плане ^[32]

F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.

или альтернативно

F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{k-i}.

Положив $k = 2$ в эту формулу, мы снова получим формулы из конца вышеприведенного раздела Матричная форма .

Силовой ряд [ править ]

Производящая функция последовательности Фибоначчи является степенным рядом

s(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}.

Этот ряд сходится при, и его сумма имеет простой замкнутый вид: ^[33] $|x|<{\frac {1}{\varphi }},$

s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}

Это можно доказать, используя повторение Фибоначчи для разложения каждого коэффициента в бесконечную сумму:

{\begin{aligned}s(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}\\&=F_{0}+F_{1}x+\sum _{k=2}^{\infty }\left(F_{k-1}+F_{k-2}\right)x^{k}\\&=x+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-1}x^{k}+\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}x^{k}\\&=x+x\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}+x^{2}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}\\&=x+xs(x)+x^{2}s(x).\end{aligned}}

Решение уравнения

s(x)=x+xs(x)+x^{2}s(x)

для s ( x ) приводит к приведенной выше закрытой форме.

Положив $x = 1 / k$ , замкнутая форма ряда принимает вид

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {F_{n}}{k^{n}}}={\frac {k}{k^{2}-k-1}}.

В частности, если $k$ - целое число больше 1, то этот ряд сходится. Дальнейшая установка $k = 10 м$ дает

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{10^{m(n+1)}}}={\frac {1}{10^{2m}-10^{m}-1}}

для всех натуральных чисел

m

.

Некоторые сборники математических головоломок представляют как любопытное конкретное значение, получаемое от $m = 1$ , которое ^[34]. Аналогично, $m$ $= 2$ дает ${\frac {s(1/10)}{10}}={\frac {1}{89}}=.011235\ldots$

{\frac {s(1/100)}{100}}={\frac {1}{9899}}=.0001010203050813213455\ldots

Взаимные суммы [ править ]

Бесконечные суммы по обратным числам Фибоначчи иногда можно оценить с помощью тета-функций . Например, мы можем записать сумму каждого нечетного обратного числа Фибоначчи как

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k+1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\vartheta _{2}^{2}\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right),

и сумма квадратов обратных чисел Фибоначчи как

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}^{2}}}={\frac {5}{24}}\left(\vartheta _{2}^{4}\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)-\vartheta _{4}^{4}\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right).

Если мы добавим 1 к каждому числу Фибоначчи в первой сумме, получится также закрытая форма

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+F_{2k+1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}},

и есть вложенная сумма квадратов чисел Фибоначчи, дающих обратную величину золотому сечению ,

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{\sum _{j=1}^{k}{F_{j}}^{2}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.

Нет закрытой формулы для обратной постоянной Фибоначчи

\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=3.359885666243\dots

это известно, но число было доказано иррациональным путем Ричард Андре-Jeannin . ^[35]

Серии Millin дает тождество ^[36]

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{n}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}},

которое следует из замкнутой формы его частичных сумм при стремлении N к бесконечности:

\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{F_{2^{n}}}}=3-{\frac {F_{2^{N}-1}}{F_{2^{N}}}}.

Простые числа и делимость [ править ]

Свойства делимости [ править ]

Каждое третье число последовательности четное и, в более общем смысле, каждое k- е число последовательности кратно F _k . Таким образом, последовательность Фибоначчи является примером последовательности делимости . Фактически, последовательность Фибоначчи удовлетворяет более сильному свойству делимости ^[37]^[38]

\gcd(F_{m},F_{n})=F_{\gcd(m,n)}.

Любые три последовательных чисел Фибоначчи попарно взаимно просты , а это означает , что для любого п ,

gcd ( F _n , F _{n +1} ) = gcd ( F _n , F _{n +2} ) = gcd ( F _{n +1} , F _{n +2} ) = 1.

Каждое простое число p делит число Фибоначчи, которое может быть определено значением p по модулю 5. Если p сравнимо с 1 или 4 (по модулю 5), то p делит F _{p - 1} , и если p сравнимо с 2 или 3 (mod 5), тогда p делит F _{p + 1} . В оставшемся случае p = 5, и в этом случае p делит F _p .

{\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}

Эти случаи можно объединить в единую, не кусочную формулу, используя символ Лежандра : ^[39]

p\mid F_{p-\left({\frac {5}{p}}\right)}.

Проверка на первичность [ править ]

Вышеупомянутая формула может использоваться в качестве теста на простоту в том смысле, что если

n\mid F_{n-\left({\frac {5}{n}}\right)},

где символ Лежандра был заменен символом Якоби , это свидетельствует о том, что n является простым числом, а если оно не выполняется, то n определенно не является простым числом. Если n составное и удовлетворяет формуле, то n является псевдопервичным числом Фибоначчи . Когда m велико - скажем, 500-битное число - мы можем эффективно вычислить F _m (mod n ), используя матричную форму. Таким образом

{\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.

Здесь мощность матрицы A ^m вычисляется с использованием модульного возведения в степень , которое можно адаптировать к матрицам . ^[40]

Простые числа Фибоначчи [ править ]

Фибоначчи премьер является числом Фибоначчи то есть простое . Первые несколько:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ... OEIS : A005478 .

Были найдены простые числа Фибоначчи с тысячами цифр, но неизвестно, бесконечно ли их много. ^[41]

F _kn делится на F _n , поэтому, кроме F ₄ = 3, любое простое число Фибоначчи должно иметь простой индекс. Поскольку существуют произвольно длинные серии составных чисел , следовательно, существуют также произвольно длинные серии составных чисел Фибоначчи.

Никакое число Фибоначчи, большее, чем F ₆ = 8, не на единицу больше или меньше простого числа. ^[42]

Единственное нетривиальное квадратное число Фибоначчи - 144. ^[43] Аттила Пето доказал в 2001 году, что существует только конечное число чисел Фибоначчи полной мощности. ^[44] В 2006 г. Ю. Бюжо, М. Миньотт и С. Сиксек доказали, что 8 и 144 являются единственными такими нетривиальными совершенными степенями. ^[45]

1, 3, 21, 55 - единственные треугольные числа Фибоначчи, которые были выдвинуты Верном Хоггаттом и доказаны Ло Мином. ^[46]

Никакое число Фибоначчи не может быть идеальным числом . ^[47] В более общем смысле , не число Фибоначчи , отличное от 1 не может быть многократно совершенным , ^[48] , а не отношение двух чисел Фибоначчи не может быть совершенным. ^[49]

Простые делители [ править ]

За исключением 1, 8 и 144 ( F ₁ = F ₂ , F ₆ и F ₁₂ ) каждое число Фибоначчи имеет простой множитель, который не является множителем какого-либо меньшего числа Фибоначчи ( теорема Кармайкла ). ^[50] В результате 8 и 144 ( F ₆ и F ₁₂ ) являются единственными числами Фибоначчи, которые являются произведением других чисел Фибоначчи OEIS : A235383 .

Делимость чисел Фибоначчи на простое число p связана с символом Лежандра, который оценивается следующим образом: $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}p=5\\1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}

Если p - простое число, то

F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}\quad {\text{and}}\quad F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}.

^[51]^[52]

Например,

{\begin{aligned}({\tfrac {2}{5}})&=-1,&F_{3}&=2,&F_{2}&=1,\\({\tfrac {3}{5}})&=-1,&F_{4}&=3,&F_{3}&=2,\\({\tfrac {5}{5}})&=0,&F_{5}&=5,\\({\tfrac {7}{5}})&=-1,&F_{8}&=21,&F_{7}&=13,\\({\tfrac {11}{5}})&=+1,&F_{10}&=55,&F_{11}&=89.\end{aligned}}

Неизвестно, существует ли простое число p такое, что

F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.

Такие простые числа (если они есть) называются простыми числами Стены – Солнца – Солнца .

Кроме того, если p ≠ 5 - нечетное простое число, то: ^[53]

5F_{\frac {p\pm 1}{2}}^{2}\equiv {\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\left(5\left({\frac {p}{5}}\right)\pm 5\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\{\tfrac {1}{2}}\left(5\left({\frac {p}{5}}\right)\mp 3\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}

Пример 1. p = 7, в этом случае p ≡ 3 (mod 4) и имеем:

({\tfrac {7}{5}})=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {7}{5}})+3\right)=-1,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {7}{5}})-3\right)=-4.

F_{3}=2{\text{ and }}F_{4}=3.

5F_{3}^{2}=20\equiv -1{\pmod {7}}\;\;{\text{ and }}\;\;5F_{4}^{2}=45\equiv -4{\pmod {7}}

Пример 2. p = 11, в этом случае p ≡ 3 (mod 4) и имеем:

({\tfrac {11}{5}})=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {11}{5}})+3\right)=4,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {11}{5}})-3\right)=1.

F_{5}=5{\text{ and }}F_{6}=8.

5F_{5}^{2}=125\equiv 4{\pmod {11}}\;\;{\text{ and }}\;\;5F_{6}^{2}=320\equiv 1{\pmod {11}}

Пример 3. p = 13, в этом случае p ≡ 1 (mod 4) и имеем:

({\tfrac {13}{5}})=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {13}{5}})-5\right)=-5,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {13}{5}})+5\right)=0.

F_{6}=8{\text{ and }}F_{7}=13.

5F_{6}^{2}=320\equiv -5{\pmod {13}}\;\;{\text{ and }}\;\;5F_{7}^{2}=845\equiv 0{\pmod {13}}

Пример 4. p = 29, в этом случае p ≡ 1 (mod 4) и имеем:

({\tfrac {29}{5}})=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {29}{5}})-5\right)=0,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5({\tfrac {29}{5}})+5\right)=5.

F_{14}=377{\text{ and }}F_{15}=610.

5F_{14}^{2}=710645\equiv 0{\pmod {29}}\;\;{\text{ and }}\;\;5F_{15}^{2}=1860500\equiv 5{\pmod {29}}

Для нечетных n все нечетные простые делители F _n сравнимы с 1 по модулю 4, из чего следует, что все нечетные делители F _n (как произведения нечетных простых делителей) сравнимы с 1 по модулю 4. ^[54]

Например,

F_{1}=1,F_{3}=2,F_{5}=5,F_{7}=13,F_{9}=34=2\cdot 17,F_{11}=89,F_{13}=233,F_{15}=610=2\cdot 5\cdot 61.

Все известные множители чисел Фибоначчи F ( i ) для всех i <50000 собираются в соответствующих репозиториях. ^[55]^[56]

Периодичность по модулю n [ править ]

Если члены последовательности Фибоначчи взяты по модулю n , результирующая последовательность будет периодической с периодом не более 6n . ^[57]Длительности периодов для различных n образуют так называемые периоды Пизано OEIS : A001175 . Определение общей формулы для периодов PISANO является открытой проблемой, которая включает в себя в качестве подзадачи специального экземпляра задачи о нахождении мультипликативного порядка в виде модульного целого числа или элемента в конечном поле . Однако для любого конкретного n период Пизано может быть найден как примеробнаружение цикла .

Величина [ править ]

Так как Р _п является асимптотической , чтобы число цифр в F _п является асимптотической . Как следствие, для каждого целого числа d > 1 существует 4 или 5 чисел Фибоначчи с d десятичными знаками. $\varphi ^{n}/{\sqrt {5}}$ $n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n$

В более общем смысле, в представлении с основанием b количество цифр в F _n асимптотически равно $n\log _{b}\varphi .$

Обобщения [ править ]

Последовательность Фибоначчи - одна из простейших и самых ранних известных последовательностей, определяемых рекуррентным соотношением , в частности линейным разностным уравнением . Все эти последовательности можно рассматривать как обобщения последовательности Фибоначчи. В частности, формула Бине может быть обобщена на любую последовательность, которая является решением однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами.

Некоторые конкретные примеры, которые в некотором смысле близки к последовательности Фибоначчи, включают:

Обобщение индекса до отрицательных целых чисел для получения чисел Негафибоначчи .
Обобщение индекса на действительные числа с помощью модификации формулы Бине. ^[32]
Начиная с других целых чисел. Числа Люка имеют L ₁ = 1, L ₂ = 3 и L _n = L _{n −1} + L _{n −2} . Последовательности без простых чисел используют рекурсию Фибоначчи с другими начальными точками для создания последовательностей, в которых все числа являются составными .
Допустим, что число является линейной функцией (кроме суммы) двух предыдущих чисел. В числе Pell есть P _п = 2 Р _{п - 1} + Р _{п - 2} . Если коэффициенту предыдущего значения присвоено значение переменной x , результатом является последовательность полиномов Фибоначчи .
Без добавления непосредственно предшествующих чисел. Последовательность Падована и числа Перрина имеют P ( n ) = P ( n - 2) + P ( n - 3).
Создание следующего числа путем добавления 3 чисел (числа трибоначчи), 4 чисел (числа тетраначчи) или более. Результирующие последовательности известны как числа Фибоначчи с n-шагами . ^[58]

Приложения [ править ]

Числа Фибоначчи - это суммы «неглубоких» диагоналей (показанных красным) треугольника Паскаля .

Числа Фибоначчи встречаются в суммах «мелких» диагоналей в треугольнике Паскаля (см. Биномиальный коэффициент ): ^[59]

Математика [ править ]

F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}.

Использование последовательности Фибоначчи для подсчета {1, 2} -ограниченных композиций

Эти числа также дают решение некоторых задач перечисления ^[60], наиболее распространенной из которых является подсчет количества способов записать данное число $n$ в виде упорядоченной суммы единиц и двоек (называемых композициями ); для этого есть $F n +1$ способов. Например, есть $F 5 + 1 = F 6 = 8$ способов подняться по лестнице из 5 ступеней, делая одну или две ступеньки за раз:

$5$	$= 1 + 1 + 1 + 1 + 1$	$= 2 + 1 + 1 + 1$	$= 1 + 2 + 1 + 1$	$= 1 + 1 + 2 + 1$	$= 2 + 2 + 1$
	$= 1 + 1 + 1 + 2$	$= 2 + 1 + 2$	$= 1 + 2 + 2$

На рисунке показано, что 8 можно разложить на 5 (количество способов подъема, 4 ступени, за которыми следует одноступенчатый) плюс 3 (количество способов подъема на 3 ступени, за которыми следует двойной шаг). То же самое рассуждение применяется рекурсивно до единственной ступеньки, из которой есть только один способ подняться.

Числа Фибоначчи можно найти разными способами среди набора двоичных строк или, что эквивалентно, среди подмножеств данного набора.

Количество двоичных строк длины $n$ без последовательных $1$ с - это число Фибоначчи $F n +2$ . Например, из 16 двоичных строк длиной 4 $F 6 = 8$ без последовательных $1$ с - это 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 и 1010. Эквивалентно $F n +2$ равно количество подмножеств $S$ из ${1, ..., n}$ без последовательных целых чисел, то есть тех $S,$ для которых ${i, i + 1} ⊈ S$ для каждого $i$ .
Количество двоичных строк длины $n$ без нечетного количества последовательных $1$ s - это число Фибоначчи $F n + 1$ . Например, из 16 двоичных строк длиной 4 $F 5 = 5$ без нечетного количества последовательных $1$ с - это 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. Эквивалентно количество подмножеств $S$ из ${1 , ..., n}$ без нечетного числа последовательных целых чисел - это $F n +1$ .
Количество двоичных строк длины $n$ без четного числа последовательных $0$ или $1$ с - это $2 F n$ . Например, из 16 двоичных строк длиной 4 есть $2 F 4 = 6$ без четного числа последовательных $0$ или $1$ с - это 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Существует эквивалент заявление о подмножествах.
Юрий Матиясевич смог показать, что числа Фибоначчи могут быть определены диофантовым уравнением , что привело к его решению десятой проблемы Гильберта . ^[61]
Числа Фибоначчи также являются примером полной последовательности . Это означает, что каждое положительное целое число можно записать как сумму чисел Фибоначчи, где любое одно число используется не более одного раза.
Более того, каждое положительное целое число может быть уникальным образом записано как сумма одного или нескольких различных чисел Фибоначчи таким образом, чтобы сумма не включала любые два последовательных числа Фибоначчи. Это известно как теорема Цекендорфа , а сумма чисел Фибоначчи, удовлетворяющая этим условиям, называется представлением Цекендорфа. Представление числа Цекендорфа можно использовать для получения его кодировки Фибоначчи .
Начиная с 5, каждое второе число Фибоначчи - это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми сторонами, или, другими словами, наибольшее число в тройке Пифагора , полученное по формуле $(F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.$ Последовательность треугольников Пифагора, полученная по этой формуле, имеет стороны длин (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ... Сторона каждого из этих треугольников равна сумме трех сторон предыдущего треугольника. ^[62]
Куба Фибоначчи представляет собой неориентированный граф с числом Фибоначчи узлов , который был предложен в качестве сетевой топологии для параллельных вычислений .
Числа Фибоначчи появляются в лемме о кольце , используемой для доказательства связи между теоремой об упаковке кругов и конформными отображениями . ^[63]

Информатика [ править ]

Дерево Фибоначчи высоты 6. Коэффициенты баланса зеленый; высот красный.
Ключи в левом корешке - числа Фибоначчи.

Числа Фибоначчи важны в вычислительном анализе во время выполнения алгоритма Евклида для определения наибольшего общего делителя двух целых чисел: наихудший случай входных данных для этого алгоритма - это пара последовательных чисел Фибоначчи. ^[64]
Числа Фибоначчи используются в многофазной версии алгоритма сортировки слиянием , в которой несортированный список делится на два списка, длина которых соответствует последовательным числам Фибоначчи, - путем деления списка таким образом, чтобы две части имели длину в приблизительной пропорции φ . Реализация многофазной сортировки слиянием на магнитной ленте была описана в The Art of Computer Programming .
Дерево Фибоначчи - это двоичное дерево, чьи дочерние деревья (рекурсивно) отличаются по высоте ровно на 1. Таким образом, это дерево AVL , а дерево с наименьшим количеством узлов для данной высоты - «самое тонкое» дерево AVL. Эти деревья имеют количество вершин, равное числу Фибоначчи минус один, что является важным фактом при анализе деревьев AVL. ^[65]
Числа Фибоначчи используются некоторыми генераторами псевдослучайных чисел .
Числа Фибоначчи возникают при анализе структуры данных кучи Фибоначчи .
Метод одномерной оптимизации, называемый методом поиска Фибоначчи , использует числа Фибоначчи. ^[66]
Ряд чисел Фибоначчи используется для дополнительного сжатия с потерями в формате аудиофайлов IFF 8SVX , используемом на компьютерах Amiga . Числовой ряд дополняет исходную звуковую волну аналогично логарифмическим методам, таким как μ-закон . ^[67]^[68]
Они также используются при планировании покера , который является этапом оценки в проектах разработки программного обеспечения, использующих методологию Scrum .

Природа [ править ]

Желтая головка ромашки, показывающая расположение в 21 (синий) и 13 (голубой) спирали. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются в самых разных растениях.

Последовательности Фибоначчи появляются в биологических параметрах, ^[69] , такие как ветвление в деревьях, расположение листьев на стебле , то плодики из в ананаса , ^[70] расцвет артишока , в uncurling папоротник и компоновку шишка , ^{[71 ]} и генеалогическое древо пчел. ^[72]^[73] Кеплер указал на присутствие последовательности Фибоначчи в природе, используя ее для объяснения ( связанной с золотым сечением ) пятиугольной формы некоторых цветов. ^[74] Полевые ромашки чаще всего имеют лепестки в счетах чисел Фибоначчи. ^[75]В 1754 году Шарль Бонне обнаружил, что спиральный филлотаксис растений часто выражается в числовых рядах Фибоначчи. ^[76]

Пшемыслав Прусинкевич выдвинул идею, что реальные экземпляры могут частично пониматься как выражение определенных алгебраических ограничений на свободные группы , в частности, как определенные грамматики Линденмайера . ^[77]

Иллюстрация модели Фогеля для

n = 1 ... 500

Модель рисунка цветочков на головке подсолнечника была предложена Гельмутом Фогелем [ де ] в 1979 году ^[78]. Она имеет вид

\theta ={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}n,\ r=c{\sqrt {n}}

где $n$ - порядковый номер цветочка, а $c$ - постоянный коэффициент масштабирования; таким образом, цветочки лежат на спирали Ферма . Угол расхождения, приблизительно 137,51 °, - это золотой угол , делящий круг в золотом сечении. Поскольку это соотношение иррационально, ни один цветочек не имеет соседей под точно таким же углом от центра, поэтому соцветия собираются эффективно. Поскольку рациональные приближения к золотому сечению имеют форму $F (j): F (j + 1)$ , ближайшие соседи цветочка с номером $n$ - это те, кто находится в $n \pm F (j)$ для некоторого индекса $j$ , который зависит от $r$ - расстояния от центра. Подсолнухи и подобные цветы чаще всего имеют спирали цветков по часовой стрелке и против часовой стрелки в количестве смежных чисел Фибоначчи ^[79], обычно рассчитываемых по крайнему диапазону радиусов. ^[80]

Числа Фибоначчи также появляются в родословных идеализированных пчел согласно следующим правилам:

Если яйцо откладывает несвязанная самка, из него вылупляется самец или трутень .
Если же яйцеклетка оплодотворена самцом, из нее вылупляется самка.

Таким образом, у пчелы-самца всегда один родитель, а у самки - два. Если проследить родословную любого самца пчелы (1 пчела), у него будет 1 родитель (1 пчела), 2 бабушки и дедушки, 3 прабабушки и дедушки, 5 прапрадедушек и т. Д. Эта последовательность чисел родителей и есть последовательность Фибоначчи. Количество предков на каждом уровне $F n$ - это количество предков-женщин, равное $F n -1$ , плюс количество предков-мужчин, равное $F n -2$ . ^[81] Это сделано при нереалистичном предположении, что предки на каждом уровне иначе не связаны.

Число возможных предков по линии наследования Х-хромосомы в данном предковом поколении следует последовательности Фибоначчи. (После Хатчисона, Л. «Выращивание семейного древа: сила ДНК в восстановлении семейных отношений». ^[82] )

Было замечено, что количество возможных предков по линии наследования Х-хромосомы человека в данном предковом поколении также следует последовательности Фибоначчи. ^[82] У мужчины есть Х-хромосома, которую он получил от своей матери, и Y-хромосома , которую он получил от своего отца. Мужчина считается «источником» его собственной X-хромосомы ( ), а в поколении его родителей его X-хромосома произошла от одного родителя ( ). Мать мужчины получила одну Х-хромосому от своей матери (бабушки по материнской линии сына) и одну от ее отца (дедушки по материнской линии), поэтому двое бабушек и дедушек внесли свой вклад в Х-хромосому потомка мужского пола ( $F_{1}=1$ $F_{2}=1$ $F_{3}=2$ ). Дед по материнской линии получил свою Х-хромосому от своей матери, а бабушка по материнской линии получила Х-хромосомы от обоих своих родителей, поэтому три прабабушки и дедушки внесли свой вклад в Х-хромосому мужского потомка ( ). Пять прапрапрадедов внесли свой вклад в Х-хромосому мужского потомка ( ) и т. Д. (Это предполагает, что все предки данного потомка независимы, но если какая-либо генеалогия прослеживается достаточно далеко во времени, предки начинают появляться в нескольких строках генеалогии, пока в конце концов основатель населения не появится на всех линиях генеалогии.) $F_{4}=3$ $F_{5}=5$

Пути тубулинов на внутриклеточных микротрубочках расположены в виде паттернов 3, 5, 8 и 13. ^[83]

Другое [ править ]

В оптике , когда луч света проходит под углом через две уложенные друг на друга прозрачные пластины из разных материалов с разными показателями преломления , он может отражаться от трех поверхностей: верхней, средней и нижней поверхностей двух пластин. Количество различных путей луча, которые имеют $k$ отражений, для $k > 1$ , является -м числом Фибоначчи. (Однако, когда $k$ $= 1$ , есть три пути отражения, а не два, по одному для каждой из трех поверхностей.) ^[84] $k$
Уровни коррекции Фибоначчи широко используются в техническом анализе для торговли на финансовых рынках.
Поскольку коэффициент преобразования 1,609344 для миль в километры близок к золотому сечению, разложение расстояния в милях на сумму чисел Фибоначчи становится почти суммой в километрах, когда числа Фибоначчи заменяются их последователями. Этот метод сводится к Radix чисел 2 регистра в золотой пропорции основании ф сдвигаются. Чтобы преобразовать километры в мили, вместо этого сдвиньте регистр вниз по последовательности Фибоначчи. ^[85]
Brasch et al. 2012 показывает, как обобщенная последовательность Фибоначчи также может быть связана с областью экономики. ^[86] В частности, показано, как обобщенная последовательность Фибоначчи входит в управляющую функцию задач динамической оптимизации с конечным горизонтом с одним состоянием и одной управляющей переменной. Процедура проиллюстрирована на примере, который часто называют моделью экономического роста Брока – Мирмана.
Марио Мерц включил последовательность Фибоначчи в некоторые из своих работ, начиная с 1970 года. ^[87]
Джозеф Шиллингер (1895–1943) разработал систему композиции, которая использует интервалы Фибоначчи в некоторых своих мелодиях; он рассматривал их как музыкальный аналог сложной гармонии, очевидной в природе. ^[88] См. Также Золотое сечение § Музыка .

См. Также [ править ]

Волновой принцип Эллиотта
Постоянная Эмбри – Трефетена
Ассоциация Фибоначчи
Числа Фибоначчи в популярной культуре
Слово Фибоначчи
Сильный закон малых чисел
Вернер Эмиль Хоггатт-младший
Массив Wythoff
Восстановление Фибоначчи

Ссылки [ править ]

Сноски

^ "Для четырех вариаций метров двух [и] трех, смешанных, происходит пять. Для пяти, вариаций двух более ранних - трех [и] четырех, смешанных, получается восемь. Таким образом, для шести, [вариации ] из четырех [и] пяти, смешанных, происходит тринадцать. И так, когда смешиваются вариации двух более ранних метров, семь мора [ равны ] двадцать одному. Таким образом, процесс должен соблюдаться во всех матра-вриттах »^[13]

Цитаты

Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 3.
^ а б Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000045» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Beck & Geoghegan 2010 .
^ Bona 2011 , стр. 180.
^ а б Пизано 2002 , стр. 404–05.
^ a b c Goonatilake, Susantha (1998), к глобальной науке , Indiana University Press, стр. 126, ISBN 978-0-253-33388-9
^ Б Singh, Пармананд (1985), "Так называемые числа Фибоначчи в древней и средневековой Индии", Historia Mathematica , 12 (3): 229-44, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (85) 90021-7
^ a b Кнут, Дональд (2006), Искусство компьютерного программирования , 4. Генерация всех деревьев - история комбинаторной генерации, Аддисон – Уэсли, с. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, Это было естественно рассматривать множество всех последовательностей [L] и [S] , которые имеют ровно м ударов. ... их ровно Fm + 1. Например, 21 последовательность при m = 7: [дает список]. Таким образом, индийские просодисты пришли к открытию последовательности Фибоначчи, как мы наблюдали в Разделе 1.2.8 (из v.1).
^ Кнут, Дональд (1968), Искусство компьютерного программирования , 1 , Аддисон Уэсли, стр. 100, ISBN 978-81-7758-754-8, До того , как Фибоначчи написал свою работу, последовательность Fn уже обсуждалась индийскими учеными, которые давно интересовались ритмическими паттернами ... и Гопала (до 1135 г. н.э.), и Хемачандра (ок. 1150 г.) упоминали числа 1,2, 3,5,8,13,21 явно [см. P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44] "стр. 100 (3-е изд.) ...
^ a b Ливио 2003 , стр. 197.
^ Агравала, В. С. (1969),Паниникалина Бхаратаварша ( Хан .). Варанаси-I: TheChowkhamba Vidyabhawan , SadgurushiShya пишет, что Пингала был младшим братом Панини [Agrawala 1969, lb]. Существует альтернативное мнение, что он приходился Панини дядей по материнской линии [Vinayasagar 1965, Preface, 121]. ... Агравала [1969, 463–76] после тщательного исследования, в ходе которого он рассмотрел взгляды более ранних ученых, пришел к выводу, что Панини жил между 480 и 410 годами до нашей эры.
^ Сингх, Пармананд (1985). «Так называемые числа Фибоначчи в древней и средневековой Индии» (PDF) . Historia Mathematica . Академическая пресса . 12 (3): 232. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (85) 90021-7 .
^ Velankar, HD (1962),«Vṛttajātisamuccaya» Кави Вираханка , Джодхпур: Институт восточных исследований Раджастана, стр. 101
^ Ливио 2003 , стр. 197–98.
^ Шах, Джаянт (1991). "История комбинаторики Пингала" (PDF) . Северо-Восточный университет : 41 . Проверено 4 января 2019 года .
^ "Liber Abaci Фибоначчи (Книга расчетов)" . Университет Юты . 13 декабря 2009 . Проверено 28 ноября 2018 .
^ Hemenway, Прия (2005). Божественная пропорция: Phi в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. С. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7.
↑ Knott, доктор Рон (25 сентября 2016 г.). «Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе - 1» . Университет Суррея . Проверено 27 ноября 2018 года .
^ Knott, Рон. «Кролики Фибоначчи» . Факультет инженерии и физических наук Университета Суррея .
Перейти ↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, Как это ни парадоксально , что Леонардо, который внес ценный вклад в математику, помнят сегодня в основном потому , что французский теоретик номер 19-го века, Эдуар Лукас ... прикрепили имя Фибоначчи к последовательности чисел , который появляется в тривиальной проблемы в Liber Abaci
^ Кнут, Дональд (2008-12-11), «Числа Негафибоначчи и гиперболическая плоскость», Ежегодное собрание , The Fairmont Hotel, Сан-Хосе, Калифорния: Математическая ассоциация Америки
^ Вайсштейн, Эрик В. "Формула числа Фибоначчи Бине" . MathWorld .
Перейти ↑ Ball 2003 , p. 156.
^ Бал 2003 , стр. 155-6.
Перейти ↑ Kepler, Johannes (1966), A New Year Gift: On Hexagonal Snow , Oxford University Press, p. 92, ISBN 978-0-19-858120-8
^ Strena Сеу де Nive Sexangula , 1611
^ Дейкстра, Эдсгер В. (1978), В честь Фибоначчи (PDF)
^ Gessel, Ира (октябрь 1972), "Фибоначчи Квадрат" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 10 (4): 417-19 , извлекаться апрель 11, +2012
Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 4.
↑ Воробьев, Николай Николаевич; Мартин, Мирча (2002), «Глава 1», Числа Фибоначчи , Birkhäuser, стр. 5–6, ISBN 978-3-7643-6135-8
^ Flajolet, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. п. 42. ISBN 978-0521898065.
^ a b c Вайсштейн, Эрик В. «Число Фибоначчи» . MathWorld .
^ Глаистер, Р (1995), "Фибоначчи степенной ряд", Математическая газета , 79 (486): 521-25, DOI : 10,2307 / 3618079 , JSTOR 3618079
↑ Köhler, Günter (февраль 1985 г.), «Производящие функции последовательностей, подобных Фибоначчи, и десятичные разложения некоторых дробей» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 23 (1): 29–35 , получено 31 декабря 2011 г.
↑ Андре-Жаннин, Ричард (1989), "Irrationalité de la somme des Inses de definedes suites récurrentes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 308 (19): 539–41, MR 0999451
Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Millin Series . MathWorld .
^ Рибенбойм, Пауло (2000), Мои числа, Мои друзья , Springer-Verlag
^ Су, Фрэнсис Э (2000), «НОД Фибоначчи, пожалуйста», Mudd Math Fun Facts и др., HMC, заархивировано из оригинала 14 декабря 2009 г. , извлечено 23 февраля 2007 г.
^ Williams, HC (1982), "Замечание о факторе Фибоначчи ", канадский математический вестник , 25 (3): 366-70, DOI : 10,4153 / CMB-1982-053-0 , ЛВП : 10338.dmlcz / 137492 , Руководство по ремонту 0668957 $F_{p-\varepsilon }/p$ . Уильямс называет это свойство «хорошо известным».
^ Prime Numbers , Ричард Крэндалл, Карл Померанс, Спрингер, второе издание, 2005 г., стр. 142.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Прайм Фибоначчи" . MathWorld .
^ Honsberger, Росс (1985), "Математическое Gems III", AMS Dolciani Математическая Экспозиция (9): 133, ISBN 978-0-88385-318-4
^ Кон, JHE (1964). «О квадратных числах Фибоначчи». Журнал Лондонского математического общества . 39 : 537–540. DOI : 10,1112 / jlms / s1-39.1.537 . Руководство по ремонту 0163867 .
^ Pethő, Аттила (2001), "Диофантовы свойства линейных рекурсивных последовательностей II", Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis , 17 : 81-96
^ Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S (2006), "Классический и модульный подходы к экспоненциальным диофантовым уравнениям. I. Совершенные степени Фибоначчи и Лукаса", Ann. Математика. , 2 (163): 969–1018, arXiv : math / 0403046 , Bibcode : 2004math ...... 3046B , doi : 10.4007 / annals.2006.163.969 , S2CID 10266596
↑ Ming, Luo (1989), «О треугольных числах Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quart. , 27 (2): 98–108
^ Лука, Флориан (2000). «Совершенные числа Фибоначчи и Лукаса». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 49 (2): 313–18. DOI : 10.1007 / BF02904236 . ISSN 1973-4409 . Руководство по ремонту 1765401 . S2CID 121789033 .
^ Broughan, Kevin A .; Гонсалес, Маркос Дж .; Льюис, Райан Х .; Лука, Флориан; Мехиа Хугет, В. Яницо; Тогбе, Ален (2011). «Не существует идеальных чисел Фибоначчи с умножением» . Целые числа . 11а : А7. Руководство по ремонту 2988067 .
^ Лука, Флориан; Мехиа Хуге, В. Яницо (2010). «О совершенных числах, которые являются отношениями двух чисел Фибоначчи» . Annales Mathematicae в Informaticae . 37 : 107–24. ISSN 1787-6117 . Руководство по ремонту 2753031 .
^ Knott, Рон, Числа Фибоначчи , Великобритания: Суррей
^ Ribenboim Пауло (1996), Новая книга Prime Количество записей , Нью - Йорк: Springer, стр. 64, ISBN 978-0-387-94457-9
^ Lemmermeyer 2000 , стр. 73-74, отл. 2.25–28.
^ Lemmermeyer 2000 , стр. 73-74, отл. 2.28.
^ Lemmermeyer 2000 , стр. 73, пр. 2.27.
^ Факторизации Фибоначчи и Лукаса , Мерсеннуссобирает все известные факторы F ( i ) с i <10000.
^ Факторы чисел Фибоначчи и Лукаса , Red golpeсобирает все известные факторы F ( i ) с 10000 < i <50000.
^ Фрейд, Питер; Браун, Кевин С. (1993), "Проблемы и решения: Решения: E3410", Американский Математический Месячный , 99 (3): 278-79, DOI : 10,2307 / 2325076 , JSTOR 2325076
^ Weisstein, Eric W. "Фибоначчи п -Step Число" . MathWorld .
Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 7.
^ Стэнли, Ричард (2011). Перечислительная комбинаторика I (2-е изд.) . Cambridge Univ. Нажмите. п. 121, Пр. 1.35. ISBN 978-1-107-60262-5.
^ Harizanov Валентина (1995), "Обзор Ю. В. Матиясевич, Десятая Hibert это проблема " , Современная логика , 5 (3): 345-55.
^ Pagni, Дэвид (сентябрь 2001), "Фибоначчи Соответствует Пифагора", Математика в школе , 30 (4): 39-40, JSTOR 30215477
Перейти ↑ Stephenson, Kenneth (2005), Introduction to Circle Packing: Theory of Discrete Analytic Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2, MR 2131318; особенно см. лемму 8.2 (лемма о кольце), стр. 73–74 , и приложение B, «Лемма о кольце», стр. 318–321.
^ Кнут, Дональд Э (1997), Искусство программирования , 1: Фундаментальные алгоритмы (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 343, ISBN 978-0-201-89683-1
^ Адельсон-Вельский, Георгий; Ландис, Евгений (1962). «Алгоритм организации информации». Известия Академии наук СССР . 146 : 263–266. Английский перевод Майрона Дж. Риччи по советской математике - Доклады , 3: 1259–1263, 1962.
^ Авриэль, М; Уайльд, DJ (1966), "Оптимальность метода симметричного поиска Фибоначчи", Fibonacci Quarterly (3): 265–69
^ Справочное руководство Amiga ROM Kernel , Addison-Wesley, 1991
^ "IFF", Мультимедийная вики
^ Дуади, S; Couder, Y (1996), "Филлотаксис как динамический самоорганизующийся процесс" (PDF) , Journal of Theatore Biology , 178 (3): 255–74, doi : 10.1006 / jtbi.1996.0026 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2006-05-26
^ Джонс, Джуди; Уилсон, Уильям (2006), «Наука», незаконченное образование , Ballantine Books, стр. 544, ISBN 978-0-7394-7582-9
^ Бруссо, A (1969), "Фибоначчи статистика в Хвойные", Fibonacci Quarterly (7): 525-32
^ «Знаки для кода да Винчи: B–» . Математика . Компьютерные науки для развлечения: CS4FN.
^ Скотт, TC; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Ливио 2003 , стр. 110.
^ Ливио 2003 , стр. 112-13.
^ «Секрет последовательности Фибоначчи в деревьях» . Американский музей естественной истории . 2011. Архивировано 4 мая 2013 года . Дата обращения 4 февраля 2019 .
^ Прусинкевич, Пшемыслав; Ханан, Джеймс (1989), Системы Линденмайера, фракталы и растения (конспекты лекций по биоматематике) , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97092-9
^ Vogel, Helmut (1979), "Лучший способ построить подсолнечника голову", Математическая Biosciences , 44 (3-4): 179-89, DOI : 10,1016 / 0025-5564 (79) 90080-4
^ Ливио 2003 , стр. 112.
^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990), «4» , Алгоритмическая красота растений , Springer-Verlag, стр. 101–107 , ISBN 978-0-387-97297-8
^ «Последовательность Фибоначчи, как она проявляется в природе» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 1 (1): 53–56, 1963
^ a b Хатчисон, Люк (сентябрь 2004 г.). «Выращивание семейного древа: сила ДНК в восстановлении семейных отношений» (PDF) . Материалы Первого симпозиума по биоинформатике и биотехнологии (БИОТ-04) . Проверено 3 сентября 2016 .
^ Хамерофф, Стюарт; Пенроуз, Роджер (март 2014). «Сознание во Вселенной: обзор теории« Орхидейное OR »» . Обзоры физики жизни . Эльзевир. 11 (1): 39–78. Bibcode : 2014PhLRv..11 ... 39H . DOI : 10.1016 / j.plrev.2013.08.002 . PMID 24070914 .
Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 98–99.
^ "Представление Zeckendorf", Энциклопедия математики
^ Браш, Т. фон; Byström, J .; Lystad, LP (2012), "Оптимальное управление и последовательность Фибоначчи", Журнал теории и приложений оптимизации , 154 (3): 857-78, DOI : 10.1007 / s10957-012-0061-2 , ЛВП : 11250/180781 , S2CID 8550726
^ Ливио 2003 , стр. 176.
^ Ливио 2003 , стр. 193.

Цитированные работы [ править ]

Болл, Кейт М. (2003), «8: Возвращение кроликов Фибоначчи», Странные кривые, подсчет кроликов и другие математические исследования , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0.
Бек, Матиас; Геогеган, Росс (2010), Искусство доказательства: базовая подготовка для более глубокой математики , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
Бона, Миклош (2011), Прогулка по комбинаторике (3-е изд.), Нью-Джерси: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.
- Бона, Миклош (2016), Прогулка по комбинаторике (4-е пересмотренное издание), Нью-Джерси: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0.
Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.
Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . ISBN 0-7679-0816-3.
Лукас, Эдуар (1891 г.), Теория номеров (на французском языке), 1 , Париж: Готье-Виллар, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ.
Пизано, Леонардо (2002), Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский книги расчетов , источников и исследований по истории математики и физических наук, Сиглер, Лоуренс Э., транс, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: числом Фибоначчи.

В Викиучебнике есть книга на тему: Числовая программа Фибоначчи.

Периоды последовательностей Фибоначчи Mod m на MathPages
Ученые нашли ключи к образованию спиралей Фибоначчи в природе
Последовательность Фибоначчи в наше время на BBC
"Числа Фибоначчи" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Последовательность OEIS A000045 (числа Фибоначчи)

[14] "Для четырех вариаций метров двух [и] трех, смешанных, происходит пять. Для пяти, вариаций двух более ранних - трех [и] четырех, смешанных, получается восемь. Таким образом, для шести, [вариации ] из четырех [и] пяти, смешанных, происходит тринадцать. И так, когда смешиваются вариации двух более ранних метров, семь мора [ равны ] двадцать одному. Таким образом, процесс должен соблюдаться во всех матра-вриттах »^[13]

[FOOTNOTELucas18913-1] Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 3.

[oeis-2] а б Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000045» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[FOOTNOTEBeckGeoghegan2010-3] Beck & Geoghegan 2010 .

[FOOTNOTEBóna2011180-4] Bona 2011 , стр. 180.

[FOOTNOTEPisano2002404–05-5] а б Пизано 2002 , стр. 404–05.

[GlobalScience-6] Goonatilake, Susantha (1998), к глобальной науке , Indiana University Press, стр. 126, ISBN 978-0-253-33388-9

[HistoriaMathematica-7] Б Singh, Пармананд (1985), "Так называемые числа Фибоначчи в древней и средневековой Индии", Historia Mathematica , 12 (3): 229-44, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (85) 90021-7

[Donald_Knuth_2006_50-8] Кнут, Дональд (2006), Искусство компьютерного программирования , 4. Генерация всех деревьев - история комбинаторной генерации, Аддисон – Уэсли, с. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, Это было естественно рассматривать множество всех последовательностей [L] и [S] , которые имеют ровно м ударов. ... их ровно Fm + 1. Например, 21 последовательность при m = 7: [дает список]. Таким образом, индийские просодисты пришли к открытию последовательности Фибоначчи, как мы наблюдали в Разделе 1.2.8 (из v.1).

[knuth-v1-9] Кнут, Дональд (1968), Искусство компьютерного программирования , 1 , Аддисон Уэсли, стр. 100, ISBN 978-81-7758-754-8, До того , как Фибоначчи написал свою работу, последовательность Fn уже обсуждалась индийскими учеными, которые давно интересовались ритмическими паттернами ... и Гопала (до 1135 г. н.э.), и Хемачандра (ок. 1150 г.) упоминали числа 1,2, 3,5,8,13,21 явно [см. P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44] "стр. 100 (3-е изд.) ...

[FOOTNOTELivio2003197-10] Ливио 2003 , стр. 197.

[11] Агравала, В. С. (1969),Паниникалина Бхаратаварша ( Хан .). Варанаси-I: TheChowkhamba Vidyabhawan , SadgurushiShya пишет, что Пингала был младшим братом Панини [Agrawala 1969, lb]. Существует альтернативное мнение, что он приходился Панини дядей по материнской линии [Vinayasagar 1965, Preface, 121]. ... Агравала [1969, 463–76] после тщательного исследования, в ходе которого он рассмотрел взгляды более ранних ученых, пришел к выводу, что Панини жил между 480 и 410 годами до нашей эры.

[12] Сингх, Пармананд (1985). «Так называемые числа Фибоначчи в древней и средневековой Индии» (PDF) . Historia Mathematica . Академическая пресса . 12 (3): 232. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (85) 90021-7 .

[13] Velankar, HD (1962),«Vṛttajātisamuccaya» Кави Вираханка , Джодхпур: Институт восточных исследований Раджастана, стр. 101

[FOOTNOTELivio2003197–98-15] Ливио 2003 , стр. 197–98.

[16] Шах, Джаянт (1991). "История комбинаторики Пингала" (PDF) . Северо-Восточный университет : 41 . Проверено 4 января 2019 года .

[17] "Liber Abaci Фибоначчи (Книга расчетов)" . Университет Юты . 13 декабря 2009 . Проверено 28 ноября 2018 .

[18] Hemenway, Прия (2005). Божественная пропорция: Phi в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. С. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7.

[19] Knott, доктор Рон (25 сентября 2016 г.). «Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе - 1» . Университет Суррея . Проверено 27 ноября 2018 года .

[20] Knott, Рон. «Кролики Фибоначчи» . Факультет инженерии и физических наук Университета Суррея .

[21] Перейти ↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, Как это ни парадоксально , что Леонардо, который внес ценный вклад в математику, помнят сегодня в основном потому , что французский теоретик номер 19-го века, Эдуар Лукас ... прикрепили имя Фибоначчи к последовательности чисел , который появляется в тривиальной проблемы в Liber Abaci

[22] Кнут, Дональд (2008-12-11), «Числа Негафибоначчи и гиперболическая плоскость», Ежегодное собрание , The Fairmont Hotel, Сан-Хосе, Калифорния: Математическая ассоциация Америки

[23] Вайсштейн, Эрик В. "Формула числа Фибоначчи Бине" . MathWorld .

[FOOTNOTEBall2003156-24] Перейти ↑ Ball 2003 , p. 156.

[FOOTNOTEBall2003155–6-25] Бал 2003 , стр. 155-6.

[26] Перейти ↑ Kepler, Johannes (1966), A New Year Gift: On Hexagonal Snow , Oxford University Press, p. 92, ISBN 978-0-19-858120-8

[27] Strena Сеу де Nive Sexangula , 1611

[28] Дейкстра, Эдсгер В. (1978), В честь Фибоначчи (PDF)

[29] Gessel, Ира (октябрь 1972), "Фибоначчи Квадрат" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 10 (4): 417-19 , извлекаться апрель 11, +2012

[FOOTNOTELucas18914-30] Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 4.

[31] Воробьев, Николай Николаевич; Мартин, Мирча (2002), «Глава 1», Числа Фибоначчи , Birkhäuser, стр. 5–6, ISBN 978-3-7643-6135-8

[32] Flajolet, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. п. 42. ISBN 978-0521898065.

[MathWorld-33] Вайсштейн, Эрик В. «Число Фибоначчи» . MathWorld .

[34] Глаистер, Р (1995), "Фибоначчи степенной ряд", Математическая газета , 79 (486): 521-25, DOI : 10,2307 / 3618079 , JSTOR 3618079

[35] Köhler, Günter (февраль 1985 г.), «Производящие функции последовательностей, подобных Фибоначчи, и десятичные разложения некоторых дробей» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 23 (1): 29–35 , получено 31 декабря 2011 г.

[36] Андре-Жаннин, Ричард (1989), "Irrationalité de la somme des Inses de definedes suites récurrentes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 308 (19): 539–41, MR 0999451

[37] Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Millin Series . MathWorld .

[38] Рибенбойм, Пауло (2000), Мои числа, Мои друзья , Springer-Verlag

[39] Су, Фрэнсис Э (2000), «НОД Фибоначчи, пожалуйста», Mudd Math Fun Facts и др., HMC, заархивировано из оригинала 14 декабря 2009 г. , извлечено 23 февраля 2007 г.

[40] Williams, HC (1982), "Замечание о факторе Фибоначчи ", канадский математический вестник , 25 (3): 366-70, DOI : 10,4153 / CMB-1982-053-0 , ЛВП : 10338.dmlcz / 137492 , Руководство по ремонту 0668957 $F_{p-\varepsilon }/p$ . Уильямс называет это свойство «хорошо известным».

[41] Prime Numbers , Ричард Крэндалл, Карл Померанс, Спрингер, второе издание, 2005 г., стр. 142.

[42] Вайсштейн, Эрик В. "Прайм Фибоначчи" . MathWorld .

[43] Honsberger, Росс (1985), "Математическое Gems III", AMS Dolciani Математическая Экспозиция (9): 133, ISBN 978-0-88385-318-4

[44] Кон, JHE (1964). «О квадратных числах Фибоначчи». Журнал Лондонского математического общества . 39 : 537–540. DOI : 10,1112 / jlms / s1-39.1.537 . Руководство по ремонту 0163867 .

[45] Pethő, Аттила (2001), "Диофантовы свойства линейных рекурсивных последовательностей II", Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis , 17 : 81-96

[46] Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S (2006), "Классический и модульный подходы к экспоненциальным диофантовым уравнениям. I. Совершенные степени Фибоначчи и Лукаса", Ann. Математика. , 2 (163): 969–1018, arXiv : math / 0403046 , Bibcode : 2004math ...... 3046B , doi : 10.4007 / annals.2006.163.969 , S2CID 10266596

[47] Ming, Luo (1989), «О треугольных числах Фибоначчи» (PDF) , Fibonacci Quart. , 27 (2): 98–108

[Luca2000-48] Лука, Флориан (2000). «Совершенные числа Фибоначчи и Лукаса». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 49 (2): 313–18. DOI : 10.1007 / BF02904236 . ISSN 1973-4409 . Руководство по ремонту 1765401 . S2CID 121789033 .

[BGLLHT2011-49] Broughan, Kevin A .; Гонсалес, Маркос Дж .; Льюис, Райан Х .; Лука, Флориан; Мехиа Хугет, В. Яницо; Тогбе, Ален (2011). «Не существует идеальных чисел Фибоначчи с умножением» . Целые числа . 11а : А7. Руководство по ремонту 2988067 .

[LucaMH2010-50] Лука, Флориан; Мехиа Хуге, В. Яницо (2010). «О совершенных числах, которые являются отношениями двух чисел Фибоначчи» . Annales Mathematicae в Informaticae . 37 : 107–24. ISSN 1787-6117 . Руководство по ремонту 2753031 .

[51] Knott, Рон, Числа Фибоначчи , Великобритания: Суррей

[52] Ribenboim Пауло (1996), Новая книга Prime Количество записей , Нью - Йорк: Springer, стр. 64, ISBN 978-0-387-94457-9

[FOOTNOTELemmermeyer200073–74ex._2.25–28-53] Lemmermeyer 2000 , стр. 73-74, отл. 2.25–28.

[FOOTNOTELemmermeyer200073–74ex._2.28-54] Lemmermeyer 2000 , стр. 73-74, отл. 2.28.

[FOOTNOTELemmermeyer200073ex._2.27-55] Lemmermeyer 2000 , стр. 73, пр. 2.27.

[56] Факторизации Фибоначчи и Лукаса , Мерсеннуссобирает все известные факторы F ( i ) с i <10000.

[57] Факторы чисел Фибоначчи и Лукаса , Red golpeсобирает все известные факторы F ( i ) с 10000 < i <50000.

[58] Фрейд, Питер; Браун, Кевин С. (1993), "Проблемы и решения: Решения: E3410", Американский Математический Месячный , 99 (3): 278-79, DOI : 10,2307 / 2325076 , JSTOR 2325076

[59] Weisstein, Eric W. "Фибоначчи п -Step Число" . MathWorld .

[FOOTNOTELucas18917-60] Перейти ↑ Lucas 1891 , p. 7.

[61] Стэнли, Ричард (2011). Перечислительная комбинаторика I (2-е изд.) . Cambridge Univ. Нажмите. п. 121, Пр. 1.35. ISBN 978-1-107-60262-5.

[62] Harizanov Валентина (1995), "Обзор Ю. В. Матиясевич, Десятая Hibert это проблема " , Современная логика , 5 (3): 345-55.

[63] Pagni, Дэвид (сентябрь 2001), "Фибоначчи Соответствует Пифагора", Математика в школе , 30 (4): 39-40, JSTOR 30215477

[64] Перейти ↑ Stephenson, Kenneth (2005), Introduction to Circle Packing: Theory of Discrete Analytic Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2, MR 2131318; особенно см. лемму 8.2 (лемма о кольце), стр. 73–74 , и приложение B, «Лемма о кольце», стр. 318–321.

[65] Кнут, Дональд Э (1997), Искусство программирования , 1: Фундаментальные алгоритмы (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 343, ISBN 978-0-201-89683-1

[66] Адельсон-Вельский, Георгий; Ландис, Евгений (1962). «Алгоритм организации информации». Известия Академии наук СССР . 146 : 263–266. Английский перевод Майрона Дж. Риччи по советской математике - Доклады , 3: 1259–1263, 1962.

[67] Авриэль, М; Уайльд, DJ (1966), "Оптимальность метода симметричного поиска Фибоначчи", Fibonacci Quarterly (3): 265–69

[68] Справочное руководство Amiga ROM Kernel , Addison-Wesley, 1991

[69] "IFF", Мультимедийная вики

[70] Дуади, S; Couder, Y (1996), "Филлотаксис как динамический самоорганизующийся процесс" (PDF) , Journal of Theatore Biology , 178 (3): 255–74, doi : 10.1006 / jtbi.1996.0026 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2006-05-26

[71] Джонс, Джуди; Уилсон, Уильям (2006), «Наука», незаконченное образование , Ballantine Books, стр. 544, ISBN 978-0-7394-7582-9

[72] Бруссо, A (1969), "Фибоначчи статистика в Хвойные", Fibonacci Quarterly (7): 525-32

[73] «Знаки для кода да Винчи: B–» . Математика . Компьютерные науки для развлечения: CS4FN.

[74] Скотт, TC; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[FOOTNOTELivio2003110-75] Ливио 2003 , стр. 110.

[FOOTNOTELivio2003112–13-76] Ливио 2003 , стр. 112-13.

[77] «Секрет последовательности Фибоначчи в деревьях» . Американский музей естественной истории . 2011. Архивировано 4 мая 2013 года . Дата обращения 4 февраля 2019 .

[78] Прусинкевич, Пшемыслав; Ханан, Джеймс (1989), Системы Линденмайера, фракталы и растения (конспекты лекций по биоматематике) , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97092-9

[79] Vogel, Helmut (1979), "Лучший способ построить подсолнечника голову", Математическая Biosciences , 44 (3-4): 179-89, DOI : 10,1016 / 0025-5564 (79) 90080-4

[FOOTNOTELivio2003112-80] Ливио 2003 , стр. 112.

[81] Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990), «4» , Алгоритмическая красота растений , Springer-Verlag, стр. 101–107 , ISBN 978-0-387-97297-8

[82] «Последовательность Фибоначчи, как она проявляется в природе» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 1 (1): 53–56, 1963

[xcs-83] Хатчисон, Люк (сентябрь 2004 г.). «Выращивание семейного древа: сила ДНК в восстановлении семейных отношений» (PDF) . Материалы Первого симпозиума по биоинформатике и биотехнологии (БИОТ-04) . Проверено 3 сентября 2016 .

[84] Хамерофф, Стюарт; Пенроуз, Роджер (март 2014). «Сознание во Вселенной: обзор теории« Орхидейное OR »» . Обзоры физики жизни . Эльзевир. 11 (1): 39–78. Bibcode : 2014PhLRv..11 ... 39H . DOI : 10.1016 / j.plrev.2013.08.002 . PMID 24070914 .

[FOOTNOTELivio200398–99-85] Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 98–99.

[86] "Представление Zeckendorf", Энциклопедия математики

[Brasch_et_al._2012-87] Браш, Т. фон; Byström, J .; Lystad, LP (2012), "Оптимальное управление и последовательность Фибоначчи", Журнал теории и приложений оптимизации , 154 (3): 857-78, DOI : 10.1007 / s10957-012-0061-2 , ЛВП : 11250/180781 , S2CID 8550726

[FOOTNOTELivio2003176-88] Ливио 2003 , стр. 176.

[FOOTNOTELivio2003193-89] Ливио 2003 , стр. 193.

[1]

vтеФибоначчи
Книги	Liber Abaci (1202) Книга квадратов (1225)
Теории	Число Фибоначчи Жадный алгоритм для египетских дробей
Связанный	Числа Фибоначчи в популярной культуре Список вещей, названных в честь Фибоначчи Обобщения чисел Фибоначчи Ассоциация Фибоначчи Ежеквартальный отчет Фибоначчи