Число Лукаса

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Спираль Лукаса, состоящая из четверти дуги, является хорошим приближением золотой спирали, когда ее члены большие. Однако, когда его члены становятся очень маленькими, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.

В числе Лукаса или серия Lucas являются целочисленная последовательность имени математика Франсуа Эдуар Анатоль Лукаса (1842-91), который изучал как эту последовательность и тесно связанные с ними числа Фибоначчей . Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные экземпляры последовательностей Люка .

Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения, что и последовательность Фибоначчи , где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. ^[1] В результате получается последовательность, в которой отношения следующих друг за другом членов приближаются к золотому сечению , и фактически сами члены являются округлением целых степеней золотого сечения. ^[2] Последовательность также имеет множество отношений с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на два члена в последовательности Фибоначчи дает промежуточное число Люка. ^[3]

Первые несколько чисел Лукаса

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....

Определение [ править ]

Подобно числам Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух его непосредственных предыдущих членов, тем самым образуя целочисленную последовательность Фибоначчи . Первые два числа Люка - это L ₀ = 2 и L ₁ = 1, в отличие от первых двух чисел Фибоначчи F ₀ = 0 и F ₁ = 1. ^{[4] [ необходим лучший источник ]} Хотя Лукас и Фибоначчи тесно связаны по определению числа обладают различными свойствами.

Таким образом, числа Лукаса можно определить следующим образом:

${\ displaystyle L_ {n}: = {\ begin {case} 2 & {\ text {if}} n = 0; \\ 1 & {\ text {if}} n = 1; \\ L_ {n-1} + L_ {n-2} & {\ text {if}} n> 1. \ end {cases}}}$

(где n принадлежит натуральным числам)

Последовательность первых двенадцати чисел Лукаса такова:

${\ Displaystyle 2, \; 1, \; 3, \; 4, \; 7, \; 11, \; 18, \; 29, \; 47, \; 76, \; 123, \; 199, \ ; \ ldots \;}$(последовательность A000032 в OEIS ).

Все целочисленные последовательности, подобные Фибоначчи, появляются в сдвинутой форме как строка массива Wythoff ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка - второй строкой. Также, как и все последовательности целых чисел, подобные Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению .

Расширение до отрицательных целых чисел [ править ]

Используя L _{n −2} = L _n  -  L _{n −1} , можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить дважды бесконечную последовательность:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( показаны члены для ).${\ displaystyle L_ {n}}$${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Связь с числами Фибоначчи [ править ]

Первая идентичность, выраженная визуально

Числа Лукаса связаны с числами Фибоначчи многими тождествами. Среди них следующие:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, и, таким образом, по мере приближения к + ∞ отношение приближается к${\displaystyle n\,}$${\displaystyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$; особенно,${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

Их закрытая формула имеет вид:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

где это золотое сечение . В качестве альтернативы, поскольку величина члена меньше 1/2, это ближайшее целое число или, что то же самое, целая часть , также записываемая как .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

Комбинируя вышеизложенное с формулой Бине ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

формула для :${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Отношения конгруэнтности [ править ]

Если F _n ≥ 5 - число Фибоначчи, то никакое число Люка не делится на F _n .

L _n конгруэнтно 1 mod  n, если n простое, но некоторые составные значения n также обладают этим свойством. Это псевдопричины Фибоначчи .

L _n - L _n-4 конгруэнтно 0 по модулю 5 .

Простые числа Лукаса [ править ]

Лукас премьер является числом Лукаса , который является премьером . Первые несколько простых чисел Лукаса

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел (например, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ).

Если L _n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2. ^[5] L _{2 ^m} простое число для m  = 1, 2, 3 и 4 и никаких других известных значений  m .

Создание серии [ править ]

Позволять

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

- производящий ряд чисел Лукаса. Прямым вычислением

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

который можно переформатировать как

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$

Разложение частичной фракции задается

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\varphi x}}+{\frac {1}{1-\phi x}}}$

где - золотое сечение, а - его сопряжение.${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \phi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Полиномы Лукаса [ править ]

Точно так же, как многочлены Фибоначчи выводятся из чисел Фибоначчи , многочлены Люка L _n ( x ) представляют собой полиномиальную последовательность, полученную из чисел Люка.

Приложения [ править ]

Согласно анализу 657 подсолнухов в 2016 году, числа Люка являются вторым по распространенности паттерном в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки .

См. Также [ править ]

• Обобщения чисел Фибоначчи

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Многочлены Лукаса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса» . MathWorld .
• " Числа Лукаса ", доктор Рон Нотт
• Числа Лукаса и золотое сечение
• Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
• Последовательность OEIS A000032 (числа Лукаса, начинающиеся с 2)