Золотая спираль

Золотые спирали самоподобны . Форма бесконечно повторяется при увеличении.

В геометрии , А золотая спираль является логарифмическая спираль , рост которой фактор φ , то золотое сечение . ^[1] То есть, золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз на каждую четверть оборота.

Аппроксимации золотой спирали [ править ]

Приблизительные и истинные золотые спирали: зеленая спираль состоит из четверти окружностей, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль - это золотая спираль, особый тип логарифмической спирали . Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом . Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении . Для квадрата с длиной стороны 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1 / φ . Следующая ширина - 1 / φ² , затем 1 / φ³ и так далее.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приблизительно равны золотой спирали, но не равны ей. ^[2]

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, для которого соотношение между его длиной и шириной является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный прямоугольник, а затем таким же образом можно разделить этот новейший прямоугольник. После продолжения этого процесса для произвольного количества шагов результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертью окружностей. Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью, очень похож на золотую спираль. ^[2]

Другое приближение - спираль Фибоначчи , построенная несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом шаге к прямоугольнику добавляется квадрат, равный длине самой длинной стороны прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению, когда числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на рисунке.

Спирали в природе [ править ]

Приблизительные логарифмические спирали могут встречаться в природе, например, рукава спиральных галактик ^[3] - золотые спирали являются частным случаем этих логарифмических спиралей, хотя нет никаких доказательств того, что существует какая-либо общая тенденция к появлению этого случая. Филлотаксис связан с золотым сечением, потому что он включает в себя следующие друг за другом листья или лепестки, разделенные золотым углом ; это также приводит к появлению спиралей, хотя опять же ни одна из них (обязательно) не является золотой спиралью. Иногда утверждают, что спиральные галактики и оболочки наутилуса становятся шире в форме золотой спирали и, следовательно, связаны как с φ, так и с рядами Фибоначчи.^[4] По правде говоря, спиральные галактики и оболочки наутилусов (и многиераковины моллюсков ) демонстрируют рост по логарифмической спирали, но под разными углами, обычно заметно отличающимися от угла золотой спирали. ^{[5] [6] [7]} Этот паттерн позволяет организму расти, не меняя формы. ^{[ необходима цитата ]}

Математика [ править ]

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с использованием дуг четверти круга, вписанных в квадраты, полученные из последовательности Фибоначчи .

Золотая спираль с начальным радиусом 1 - геометрическое место точек полярных координат, удовлетворяющих${\ Displaystyle (г, \ тета)}$

${\ Displaystyle г = \ varphi ^ {\ theta {\ frac {2} {\ pi}}} \,}$

Полярное уравнение для золотой спирали такой же , как и для других логарифмических спиралей , но с особым значением фактора роста Ь : ^[8]

${\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta} \,}$

или же

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}$

где e - основание натурального логарифма , a - начальный радиус спирали, а b - такой, что когда θ является прямым углом (четверть оборота в любом направлении):

${\ Displaystyle е ^ {б \ тета _ {\ mathrm {right}}} \, = \ varphi}$

Следовательно, b определяется выражением

${\ displaystyle b = {\ ln {\ varphi} \ over \ theta _ {\ mathrm {right}}}.}$

Лукас спиральный приближается золотой спирали , когда ее члены являются большими , но не тогда , когда они маленькие. Включены 10 терминов, от 2 до 76.

Числовое значение b зависит от того, измеряется ли прямой угол как 90 градусов или как радианы; и поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения (то есть b также может быть отрицательным для этого значения):${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ более 90} \ doteq 0,0053468 \,}$для θ в градусах;

${\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2} \ doteq 0.3063489 \,}$для θ в радианах. OEIS :  A212225

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали: ^[9]

${\ Displaystyle г = ак ^ {\ тета} \,}$

где постоянная c определяется выражением:

${\ Displaystyle с = е ^ {Ь} \,}$

что для золотой спирали дает значения c :

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$

если θ измеряется в градусах, и

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}$ OEIS :  A212224

если θ измеряется в радианах.

Что касается логарифмических спиралей золотой спирали имеет отличительное свойство , что в течение четырех коллинеарных спиральных точек А, В, С, D , принадлежащий к аргументам thetas ; , θ + π , θ + 2π , θ + 3π точка С является гармонической четвёркой из B по отношению к A, D, т.е. поперечное отношение (A, D; B, C) имеет сингулярное значение -1. Золотая спираль - это единственная логарифмическая спираль, в которой (A, D; B, C) = (A, D; C, B).

Полярный склон [ править ]

В полярном уравнении для логарифмической спирали :

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

параметр b связан с полярным углом наклона  :${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \tan \alpha =b}$.

В золотой спирали, будучи постоянным и равным (для θ в радианах, как определено выше), угол наклона равен:${\displaystyle b}$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right)}$, следовательно:

${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$ если измеряется в градусах, или

${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$если измерять в радианах. OEIS :  A335605

Его дополняют друг друга угол

${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$ (в радианах) или

${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$ (в градусах)

- угол между золотыми спиральными рукавами и линией из центра спирали.

См. Также [ править ]

• Число Фибоначчи
• Золотой угол
• Золотое сечение
• Золотой прямоугольник
• Список спиралей
• Логарифмическая спираль

Ссылки [ править ]