Золотой угол

Золотой угол - это угол, образуемый меньшей (красной) дугой, когда две дуги, составляющие круг, находятся в золотом сечении.

В геометрии , то золотой угол является меньшим из двух углов , созданных секционирования окружности круга в соответствии с золотым сечением ; то есть на две дуги , так что отношение длины меньшей дуги к длине большей дуги такое же, как отношение длины большей дуги к полной длине окружности.

Алгебраически, пусть a + b будет окружностью окружности , разделенной на более длинную дугу длиной a и меньшую дугу длины b так , что

${\ displaystyle {\ frac {a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}}}$

Золотой угол - это угол, образуемый меньшей дугой длиной b . Он измеряет приблизительно 137,5077640500378546463487 ... ° OEIS :  A096627 или в радианах 2,39996322972865332 ... OEIS :  A131988 .

Название происходит от связи золотого угла с золотым сечением φ ; точное значение золотого угла

${\ displaystyle 360 ​​\ left (1 - {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) = 360 (2- \ varphi) = {\ frac {360} {\ varphi ^ {2}}} = 180 ( 3 - {\ sqrt {5}}) {\ text {градусы}}}$

или же

${\ displaystyle 2 \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {\ varphi}} \ right) = 2 \ pi (2- \ varphi) = {\ frac {2 \ pi} {\ varphi ^ {2 }}} = \ pi (3 - {\ sqrt {5}}) {\ text {радианы}},}$

где эквивалентности следуют из хорошо известных алгебраических свойств золотого сечения.

Вывод [ править ]

Золотое сечение равно φ  =  a / b с учетом вышеуказанных условий.

Пусть ƒ будет частью окружности, образуемой золотым углом, или, что эквивалентно, золотым углом, деленным на угловое измерение круга.

${\ displaystyle f = {\ frac {b} {a + b}} = {\ frac {1} {1+ \ varphi}}.}.$

Но с тех пор

${\ displaystyle {1+ \ varphi} = \ varphi ^ {2},}$

следует, что

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {\ varphi ^ {2}}}}$

Это равносильно утверждению, что золотые углы φ  ² могут поместиться в круг.

Следовательно, доля круга, занимаемого золотым углом, равна

${\ displaystyle f \ приблизительно 0,381966. \,}$

Таким образом, золотой угол g может быть численно аппроксимирован в градусах как:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

или в радианах как:

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

Золотой угол в природе [ править ]

Угол между следующими друг за другом цветочками у некоторых цветов - золотой угол.

Золотой угол играет важную роль в теории филлотаксиса ; например, золотой угол представляет собой угол разделения соцветия на подсолнечник . ^[1] Анализ модели показывает, что она очень чувствительна к углу, разделяющему отдельные зачатки , при этом угол Фибоначчи дает парастихию с оптимальной плотностью упаковки. ^[2]

Математическое моделирование вероятного физического механизма развития цветков показало закономерность, спонтанно возникающую при решении нелинейного уравнения в частных производных на плоскости. ^{[3] [4]}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Золотой угол" .

• Золотой угол в MathWorld