Целочисленная последовательность

Начало последовательности Фибоначчи на здании в Гетеборге

В математике , целое число последовательности является последовательностью (т.е. упорядоченного списка) целых чисел .

Целочисленная последовательность может быть указана явно, указав формулу для ее n- го члена, или неявно, указав связь между ее членами. Например, последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ( последовательность Фибоначчи ) формируется, начиная с 0 и 1, а затем добавляя любые два последовательных члена, чтобы получить следующий: неявное описание. Последовательность 0, 3, 8, 15, ... формируется по формуле n ² - 1 для n- го члена: явное определение.

В качестве альтернативы целочисленная последовательность может быть определена свойством, которым обладают члены последовательности, а другие целые числа не обладают. Например, мы можем определить, является ли данное целое число идеальным числом , даже если у нас нет формулы для n- го совершенного числа.

Примеры [ править ]

Целочисленные последовательности, имеющие собственное имя, включают:

Обильные числа
Последовательность Баума – Сладкого
Номера звонков
Биномиальные коэффициенты
Числа Кармайкла
Каталонские числа
Составные числа
Недостаточные числа
Числа Эйлера
Четные и нечетные числа
Факториальные числа
Числа Фибоначчи
Слово Фибоначчи
Фигурные числа
Последовательность Голомба
Счастливые числа
Сильно составные числа
Очень точные числа
Домашние простые
Сверхсовершенные числа
Последовательность жонглера
Последовательность Колакоски
Счастливые числа
Числа Лукаса
Числа Моцкина
Натуральные числа
Падованские числа
Номера разделов
Совершенные числа
простые числа
Псевдопростые числа
Последовательность Рекамана
Обычная последовательность складывания бумаги
Последовательность Рудина – Шапиро
Полусовершенные числа
Полупростые числа
Суперсовершенные числа
Последовательность Туэ – Морса
Номера улама
Странные числа
Число Вольстенхольма

Вычислимые и определяемые последовательности [ править ]

Целое последовательность представляет собой вычислимая последовательность , если существует алгоритм, который п , вычисляет на _п , для всех п > 0. Множество вычислимых целочисленных последовательностей является счетным . Множество всех целочисленных последовательностей неисчислимо (с мощностью, равной мощности континуума ), и поэтому не все целочисленные последовательности вычислимы.

Хотя у некоторых целочисленных последовательностей есть определения, не существует систематического способа определения того, что означает определение целочисленной последовательности во вселенной или в любом абсолютном (независимом от модели) смысле.

Пусть множество М является транзитивной моделью из теории множеств ZFC . Транзитивность M означает, что целые числа и последовательности целых чисел внутри M на самом деле являются целыми числами и последовательностями целых чисел. Целочисленная последовательность - это определяемая последовательность относительно M, если существует некоторая формула P ( x ) на языке теории множеств с одной свободной переменной и без параметров, которая истинна в M для этой целочисленной последовательности и ложна в M для всех остальных. целочисленные последовательности. В каждом таком M есть определяемые целочисленные последовательности, которые невозможно вычислить, например, последовательности, которые кодируют скачки Тьюринга. вычислимых множеств.

Для некоторых транзитивных моделей M ZFC каждая последовательность целых чисел в M определима относительно M ; для других - только некоторые целочисленные последовательности (Hamkins et al. 2013). Там нет систематического способа определить в M самого набора последовательностей определяемые по отношению к М и что набор не может даже существовать в каком - то таком М . Точно так же отображение набора формул, определяющих целочисленные последовательности в M, в целочисленные последовательности, которые они определяют, не определимо в M и может не существовать в M. Однако в любой модели, которая имеет такую карту определимости, некоторые целочисленные последовательности в модели не могут быть определены относительно модели (Hamkins et al. 2013).

Если М содержит все целые последовательности, то множество целочисленных последовательностей определимы в M будет существовать в М и быть счетно и счетно в М .

Полные последовательности [ править ]

Последовательность положительных целых чисел называется полной последовательностью, если каждое положительное целое число может быть выражено как сумма значений в последовательности, используя каждое значение не более одного раза.

См. Также [ править ]

Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
- Список последовательностей OEIS

Ссылки [ править ]

Хэмкинс, Джоэл Дэвид; Линецкий, Давид; Рейц, Йонас (2013), «Точечно определяемые модели теории множеств», Журнал символической логики , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178 / jsl.7801090.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с целочисленными последовательностями .

Журнал целочисленных последовательностей . Статьи находятся в свободном доступе в Интернете.