Числа Эйлера

В математике , эти числа Эйлера представляют собой последовательность Е _п из целых чисел (последовательность A122045 в OEIS ) определяется ряд Тейлора расширения

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ cosh t}} = {\ frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {E_ {n}} {n!}} \ cdot t ^ {n}}

,

где $ch t$ - гиперболический косинус . Числа Эйлера связаны с особым значением полиномов Эйлера , а именно:

{\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({\ tfrac {1} {2}}).}

Числа Эйлера появляются в ряд Тейлора разложений секущих и гиперболических секущих функций. Последняя функция в определении. Они также встречаются в комбинаторике , в частности, при подсчете числа чередующихся перестановок набора с четным числом элементов.

Примеры [ править ]

Все числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю . Чётно -индексированные (последовательность A028296 в OEIS ) имеют чередующиеся знаки. Вот некоторые значения:

E ₀	знак равно	1
E ₂	знак равно	−1
E ₄	знак равно	5
E ₆	знак равно	−61
E ₈	знак равно	1 385
E ₁₀	знак равно	−50 521
E ₁₂	знак равно	2 702 765
E ₁₄	знак равно	−199 360 981
E ₁₆	знак равно	19 391 512 145
E ₁₈	знак равно	−2 404 879 675 441

Некоторые авторы повторно индексируют последовательность, чтобы опустить нечетные числа Эйлера с нулевым значением или изменить все знаки на положительные (последовательность A000364 в OEIS ). Эта статья соответствует принятой выше конвенции.

Явные формулы [ править ]

В терминах чисел Стирлинга второго рода [ править ]

Следующие две формулы выражают числа Эйлера через числа Стирлинга второго рода ^[1] ^[2]

E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right),

E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)},

где обозначает числа Стирлинга второго рода , а обозначает возрастающий факториал . $S(r,k)$ $x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)$

В виде двойной суммы [ править ]

Следующие две формулы выражают числа Эйлера как двойные суммы ^[3]

E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k},

E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}.

В виде повторяемой суммы [ править ]

Явная формула для чисел Эйлера: ^[4]

E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},

где $i$ обозначает мнимую единицу с $i 2 = -1$ .

В сумме по разделам [ править ]

Число Эйлера $Е 2 п$ можно выразить в виде суммы по четным перегородкам из $2 п$ , ^[5]

E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},

а также сумма по нечетным разбиениям $2 n - 1$ , ^[6]

E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},

где в обоих случаях $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k n$ и

{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}

- полиномиальный коэффициент . В дельта Кронекера в приведенных выше формулах ограничивают суммы по $к$ с до $2 к 1 + 4 к 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 пк п = 2 п$ и $K 1 + 3 к 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 н - 1) k n = 2 n - 1$ соответственно.

В качестве примера,

{\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}

Как определяющий [ править ]

$Е 2 п$ задается определителем

{\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Как составное [ править ]

$E 2 n$ также задается следующими интегралами:

{\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}

Конгруэнции [ править ]

В. Чжан ^[7] получил следующие комбинационные тождества относительно чисел Эйлера, для любого простого числа имеем $p$

(-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}

W. Zhang и Z. Xu ^[8] доказали, что для любого простого и целого числа имеем $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $\alpha \geq 1$

E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}

где - функция Эйлера . $\phi (n)$

Асимптотическое приближение [ править ]

Для больших индексов числа Эйлера растут довольно быстро, так как они имеют нижнюю границу

|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.

Зигзагообразные числа Эйлера [ править ]

Ряд Тейлора из IS $\sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},

где $A n$ - числа зигзага Эйлера , начинающиеся с

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (последовательность A000111 в OEIS )

Для всех четных $n$ ,

A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},

где $E n$ - число Эйлера; и для всех нечетных $n$ ,

A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},

где $B n$ - число Бернулли .

Для каждого n ,

{\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.

^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Номер звонка
Число Бернулли
Константа Эйлера – Маскерони

Ссылки [ править ]

^ Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли с участием числа Эйлера» . Московский журнал комбинаторики и теории чисел . 8 (4): 385–387. doi : 10.2140 / москва.2019.8.389 .
^ Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула для чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода» .
^ Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера» . Журнал неравенств и приложений . 219 (2015). DOI : 10,1186 / s13660-015-0738-9 .
^ Тан, Росс (2012-05-11). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх / вниз) из степенного ряда» (PDF) .
↑ Велла, Дэвид С. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера» . Целые числа . 8 (1): A1.
^ Мейлфант, J. (2011). "Конечные, замкнутые выражения для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга". arXiv : 1103.1585 [ math.NT ].
^ Чжан, WP (1998). «Некоторые тождества с участием Эйлера и центральных факториальных чисел» (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 36 (4): 154–157.
^ Чжан, WP; Сюй, З.Ф. (2007). «О гипотезе чисел Эйлера». Журнал теории чисел . 127 (2): 283–291. DOI : 10.1016 / j.jnt.2007.04.004 .

Внешние ссылки [ править ]

"Числа Эйлера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Число Эйлера» . MathWorld .

[1] Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли с участием числа Эйлера» . Московский журнал комбинаторики и теории чисел . 8 (4): 385–387. doi : 10.2140 / москва.2019.8.389 .

[2] Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула для чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода» .

[3] Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера» . Журнал неравенств и приложений . 219 (2015). DOI : 10,1186 / s13660-015-0738-9 .

[4] Тан, Росс (2012-05-11). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх / вниз) из степенного ряда» (PDF) .

[5] Велла, Дэвид С. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера» . Целые числа . 8 (1): A1.

[6] Мейлфант, J. (2011). "Конечные, замкнутые выражения для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга". arXiv : 1103.1585 [ math.NT ].

[7] Чжан, WP (1998). «Некоторые тождества с участием Эйлера и центральных факториальных чисел» (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 36 (4): 154–157.

[8] Чжан, WP; Сюй, З.Ф. (2007). «О гипотезе чисел Эйлера». Журнал теории чисел . 127 (2): 283–291. DOI : 10.1016 / j.jnt.2007.04.004 .

[1]