В математике , в Многочлены Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединить числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряд и с формулой Эйлера – МакЛорина .
Эти многочлены возникают при исследовании многих специальных функций и, в частности , на дзета - функции Римана и дзета - функции Гурвица . Это последовательность Аппеля (т. Е. Последовательность Шеффера для обычного производного оператора). Для полиномов Бернулли количество пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается с увеличением степени. В пределе большой степени они приближаются, при соответствующем масштабировании, к функциям синуса и косинуса .
Подобный набор многочленов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство многочленов Эйлера .
Представления Многочлены Бернулли B n могут быть определены производящей функцией . Они также допускают множество производных представлений.
Производящие функции Производящая функция для полиномов Бернулли равна
т е Икс т е т - 1 знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ B п ( Икс ) т п п ! . {\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.} Производящая функция для многочленов Эйлера равна
2 е Икс т е т + 1 знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ E п ( Икс ) т п п ! . {\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.} Явная формула B п ( Икс ) знак равно ∑ k знак равно 0 п ( п k ) B п - k Икс k , {\ displaystyle B_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} B_ {nk} x ^ {k},} E м ( Икс ) знак равно ∑ k знак равно 0 м ( м k ) E k 2 k ( Икс - 1 2 ) м - k . {\ displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ choose k} {\ frac {E_ {k}} {2 ^ {k}}} \ left (x - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {mk} \ ,.} при n ≥ 0, где B k - числа Бернулли , а E k - числа Эйлера .
Представление дифференциальным оператором Многочлены Бернулли также задаются формулами
B п ( Икс ) знак равно D е D - 1 Икс п {\ displaystyle B_ {n} (x) = {D \ over e ^ {D} -1} x ^ {n}} где D = d / dx - дифференцирование по x, а дробь раскрывается в формальный степенной ряд . Следует, что
∫ а Икс B п ( ты ) d ты знак равно B п + 1 ( Икс ) - B п + 1 ( а ) п + 1 . {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x} B_ {n} (u) ~ du = {\ frac {B_ {n + 1} (x) -B_ {n + 1} (a)} {n + 1}} ~.} ср. интегралы ниже . Точно так же многочлены Эйлера задаются формулой
E п ( Икс ) знак равно 2 е D + 1 Икс п . {\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.} Представление интегральным оператором Многочлены Бернулли также являются единственными многочленами, определяемыми формулой
∫ Икс Икс + 1 B п ( ты ) d ты знак равно Икс п . {\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (u) \, du = x ^ {n}.} Интегральное преобразование
( Т ж ) ( Икс ) знак равно ∫ Икс Икс + 1 ж ( ты ) d ты {\ displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {x} ^ {x + 1} f (u) \, du} на многочленах f просто составляет
( Т ж ) ( Икс ) знак равно е D - 1 D ж ( Икс ) знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ D п ( п + 1 ) ! ж ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + ж ′ ( Икс ) 2 + ж ″ ( Икс ) 6 + ж ‴ ( Икс ) 24 + ⋯ . {\ displaystyle {\ begin {align} (Tf) (x) = {e ^ {D} -1 \ over D} f (x) & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { D ^ {n} \ over (n + 1)!} F (x) \\ & {} = f (x) + {f '(x) \ over 2} + {f' '(x) \ over 6 } + {f '' '(x) \ over 24} + \ cdots ~. \ end {align}}} Это можно использовать для получения приведенных ниже формул обращения .
Еще одна явная формула Явная формула для полиномов Бернулли дается формулой
B м ( Икс ) знак равно ∑ п знак равно 0 м 1 п + 1 ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( Икс + k ) м . {\ displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n \ choose k} (x + k) ^ {m}.} Это похоже на выражение ряда для дзета-функции Гурвица на комплексной плоскости. Действительно, есть связь
B п ( Икс ) знак равно - п ζ ( 1 - п , Икс ) {\ Displaystyle В_ {п} (х) = - п \ дзета (1-п, х)} где ζ ( s , q ) - дзета-функция Гурвица. Последний обобщает многочлены Бернулли, учитывая нецелые значения n .
Внутренняя сумма может быть понимается как п - й прямой разности по х м ; это,
Δ п Икс м знак равно ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) п - k ( п k ) ( Икс + k ) м {\ displaystyle \ Delta ^ {n} x ^ {m} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {n \ choose k} (x + k) ^ {m} } где Δ - оператор прямой разности . Таким образом, можно написать
B м ( Икс ) знак равно ∑ п знак равно 0 м ( - 1 ) п п + 1 Δ п Икс м . {\ displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} \, \ Delta ^ {n} х ^ {м}.} Эта формула может быть получена из приведенного выше тождества следующим образом. Поскольку оператор прямой разности Δ равен
Δ знак равно е D - 1 {\ displaystyle \ Delta = e ^ {D} -1} где D является дифференцирование по х , у нас есть, из серии Меркатора ,
D е D - 1 знак равно бревно ( Δ + 1 ) Δ знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ ( - Δ ) п п + 1 . {\ displaystyle {D \ over e ^ {D} -1} = {\ log (\ Delta +1) \ over \ Delta} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(- \ Delta) ^ {n} \ более n + 1}.} Пока это работает с полиномом m- й степени, таким как x m , можно позволить n идти от 0 только до m .
Интегральное представление для полиномов Бернулли дается интегралом Нёрлунда – Райса , который следует из выражения в виде конечной разности.
Явная формула для полиномов Эйлера дается выражением
E м ( Икс ) знак равно ∑ п знак равно 0 м 1 2 п ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( Икс + k ) м . {\ displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n \ choose k} (x + k) ^ {m} \ ,.} Сказанное выше следует аналогично, используя тот факт, что
2 е D + 1 знак равно 1 1 + Δ / 2 знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ ( - Δ 2 ) п . {\ displaystyle {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} = {\ frac {1} {1+ \ Delta / 2}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Bigl (} - {\ frac {\ Delta} {2}} {\ Bigr)} ^ {n}.}
Суммы p- ых степеней Используя либо выше интегрального представления о Икс п {\ Displaystyle х ^ {п}} или личность B п ( Икс + 1 ) - B п ( Икс ) знак равно п Икс п - 1 {\ Displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1}} , у нас есть
∑ k знак равно 0 Икс k п знак равно ∫ 0 Икс + 1 B п ( т ) d т знак равно B п + 1 ( Икс + 1 ) - B п + 1 п + 1 {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {x} k ^ {p} = \ int _ {0} ^ {x + 1} B_ {p} (t) \, dt = {\ frac {B_ { p + 1} (x + 1) -B_ {p + 1}} {p + 1}}} (при условии, что 0 0 = 1).
Числа Бернулли и Эйлера Эти числа Бернулли задаются B п знак равно B п ( 0 ) . {\ displaystyle \ textstyle B_ {n} = B_ {n} (0).}
Это определение дает ζ ( - п ) знак равно ( - 1 ) п п + 1 B п + 1 {\ displaystyle \ textstyle \ zeta (-n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} B_ {n + 1}} для п знак равно 0 , 1 , 2 , … {\ Displaystyle \ textstyle п = 0,1,2, \ ldots} .
Альтернативное соглашение определяет числа Бернулли как B п знак равно B п ( 1 ) . {\ displaystyle \ textstyle B_ {n} = B_ {n} (1).}
Эти два соглашения различаются только для п знак равно 1 {\ displaystyle n = 1} поскольку B 1 ( 1 ) знак равно 1 2 знак равно - B 1 ( 0 ) {\ Displaystyle B_ {1} (1) = {\ tfrac {1} {2}} = - B_ {1} (0)} .
В число Эйлера определяются E п знак равно 2 п E п ( 1 2 ) . {\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({\ tfrac {1} {2}}).}
Явные выражения для низких степеней Первые несколько полиномов Бернулли:
B 0 ( Икс ) знак равно 1 B 1 ( Икс ) знак равно Икс - 1 2 B 2 ( Икс ) знак равно Икс 2 - Икс + 1 6 B 3 ( Икс ) знак равно Икс 3 - 3 2 Икс 2 + 1 2 Икс B 4 ( Икс ) знак равно Икс 4 - 2 Икс 3 + Икс 2 - 1 30 B 5 ( Икс ) знак равно Икс 5 - 5 2 Икс 4 + 5 3 Икс 3 - 1 6 Икс B 6 ( Икс ) знак равно Икс 6 - 3 Икс 5 + 5 2 Икс 4 - 1 2 Икс 2 + 1 42 . {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {0} (x) & = 1 \\ [8pt] B_ {1} (x) & = x - {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + {\ frac {1} {6}} \\ [8pt] B_ {3} (x) & = x ^ {3} - {\ frac { 3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x \\ [8pt] B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}} \\ [8pt] B_ {5} (x) & = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {3}} x ^ {3} - {\ frac {1} {6}} x \\ [8pt] B_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + {\ frac {5} {2}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {42}}. \ End { выровнено}}} Первые несколько полиномов Эйлера:
E 0 ( Икс ) знак равно 1 E 1 ( Икс ) знак равно Икс - 1 2 E 2 ( Икс ) знак равно Икс 2 - Икс E 3 ( Икс ) знак равно Икс 3 - 3 2 Икс 2 + 1 4 E 4 ( Икс ) знак равно Икс 4 - 2 Икс 3 + Икс E 5 ( Икс ) знак равно Икс 5 - 5 2 Икс 4 + 5 2 Икс 2 - 1 2 E 6 ( Икс ) знак равно Икс 6 - 3 Икс 5 + 5 Икс 3 - 3 Икс . {\ displaystyle {\ begin {align} E_ {0} (x) & = 1 \\ [8pt] E_ {1} (x) & = x - {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] E_ {2} (x) & = x ^ {2} -x \\ [8pt] E_ {3} (x) & = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2 } + {\ frac {1} {4}} \\ [8pt] E_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x \\ [8pt] E_ {5} (x ) & = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {2} } \\ [8pt] E_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x. \ End {выровнено}}}
Максимум и минимум При более высоком n величина вариации B n ( x ) между x = 0 и x = 1 становится большой. Например,
B 16 ( Икс ) знак равно Икс 16 - 8 Икс 15 + 20 Икс 14 - 182 3 Икс 12 + 572 3 Икс 10 - 429 Икс 8 + 1820 г. 3 Икс 6 - 1382 3 Икс 4 + 140 Икс 2 - 3617 510 {\ displaystyle B_ {16} (x) = x ^ {16} -8x ^ {15} + 20x ^ {14} - {\ frac {182} {3}} x ^ {12} + {\ frac {572 } {3}} x ^ {10} -429x ^ {8} + {\ frac {1820} {3}} x ^ {6} - {\ frac {1382} {3}} x ^ {4} + 140x ^ {2} - {\ frac {3617} {510}}} что показывает, что значение при x = 0 (и при x = 1) равно −3617/510 ≈ −7,09, а при x = 1/2 значение составляет 118518239/3342336 ≈ +7,09. DH Lehmer [1] показал, что максимальное значение B n ( x ) между 0 и 1 подчиняется
M п < 2 п ! ( 2 π ) п {\ displaystyle M_ {n} <{\ frac {2n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} если n не равно 2 по модулю 4, и в этом случае
M п знак равно 2 ζ ( п ) п ! ( 2 π ) п {\ displaystyle M_ {n} = {\ frac {2 \ zeta (n) n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} (где ζ ( Икс ) {\ Displaystyle \ zeta (х)} - дзета-функция Римана ), а минимум подчиняется
м п > - 2 п ! ( 2 π ) п {\ displaystyle m_ {n}> {\ frac {-2n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} если n не равно 0 по модулю 4, и в этом случае
м п знак равно - 2 ζ ( п ) п ! ( 2 π ) п . {\ displaystyle m_ {n} = {\ frac {-2 \ zeta (n) n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}.} Эти пределы довольно близки к фактическим максимумам и минимумам, и Лемер также дает более точные пределы.
Различия и производные Многочлены Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям из умбрального исчисления :
Δ B п ( Икс ) знак равно B п ( Икс + 1 ) - B п ( Икс ) знак равно п Икс п - 1 , {\ displaystyle \ Delta B_ {n} (x) = B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1},} Δ E п ( Икс ) знак равно E п ( Икс + 1 ) - E п ( Икс ) знак равно 2 ( Икс п - E п ( Икс ) ) . {\ displaystyle \ Delta E_ {n} (x) = E_ {n} (x + 1) -E_ {n} (x) = 2 (x ^ {n} -E_ {n} (x)).} (Δ - оператор прямой разности ). Также,
E п ( Икс + 1 ) + E п ( Икс ) знак равно 2 Икс п . {\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.} Эти полиномиальные последовательности представляют собой последовательности Аппеля :
B п ′ ( Икс ) знак равно п B п - 1 ( Икс ) , {\ Displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x),} E п ′ ( Икс ) знак равно п E п - 1 ( Икс ) . {\ Displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).} Переводы B п ( Икс + у ) знак равно ∑ k знак равно 0 п ( п k ) B k ( Икс ) у п - k {\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} B_ {k} (x) y ^ {nk}} E п ( Икс + у ) знак равно ∑ k знак равно 0 п ( п k ) E k ( Икс ) у п - k {\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} E_ {k} (x) y ^ {nk}} Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппеля . ( Другой пример - полиномы Эрмита .)
Симметрии B п ( 1 - Икс ) знак равно ( - 1 ) п B п ( Икс ) , п ≥ 0 , {\ Displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x), \ quad n \ geq 0,} E п ( 1 - Икс ) знак равно ( - 1 ) п E п ( Икс ) {\ Displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)} ( - 1 ) п B п ( - Икс ) знак равно B п ( Икс ) + п Икс п - 1 {\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}} ( - 1 ) п E п ( - Икс ) знак равно - E п ( Икс ) + 2 Икс п {\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}} B п ( 1 2 ) знак равно ( 1 2 п - 1 - 1 ) B п , п ≥ 0 из приведенных ниже теорем умножения. {\ displaystyle B_ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} - 1 \ right) B_ { n}, \ quad n \ geq 0 {\ text {из теорем умножения ниже.}}} Чжи-Вэй Сун и Хао Пан [2] установили следующее удивительное соотношение симметрии: если r + s + t = n и x + y + z = 1 , то
р [ s , т ; Икс , у ] п + s [ т , р ; у , z ] п + т [ р , s ; z , Икс ] п знак равно 0 , {\ displaystyle r [s, t; x, y] _ {n} + s [t, r; y, z] _ {n} + t [r, s; z, x] _ {n} = 0, } где
[ s , т ; Икс , у ] п знак равно ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( s k ) ( т п - k ) B п - k ( Икс ) B k ( у ) . {\ displaystyle [s, t; x, y] _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {s \ choose k} {t \ choose {nk} } B_ {nk} (x) B_ {k} (y).}
Ряд Фурье Ряд Фурье полиномов Бернулли также ряд Дирихле , учитывая при расширении
B п ( Икс ) знак равно - п ! ( 2 π я ) п ∑ k ≠ 0 е 2 π я k Икс k п знак равно - 2 п ! ∑ k знак равно 1 ∞ потому что ( 2 k π Икс - п π 2 ) ( 2 k π ) п . {\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi i) ^ {n}}} \ sum _ {k \ not = 0} {\ frac {e ^ {2 \ pi ikx}} {k ^ {n}}} = - 2n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right)} {(2k \ pi) ^ {n}}}.} Обратите внимание на простой предел большого n для тригонометрических функций с соответствующим масштабированием.
Это частный случай аналогичного вида дзета-функции Гурвица
B п ( Икс ) знак равно - Γ ( п + 1 ) ∑ k знак равно 1 ∞ exp ( 2 π я k Икс ) + е я π п exp ( 2 π я k ( 1 - Икс ) ) ( 2 π я k ) п . {\ displaystyle B_ {n} (x) = - \ Gamma (n + 1) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi ikx) + e ^ {i \ pi n} \ exp (2 \ pi ik (1-x))} {(2 \ pi ik) ^ {n}}}.}. Это расширение действительно только для 0 ≤ x ≤ 1, когда n ≥ 2, и действительно для 0 < x <1, когда n = 1.
Также может быть вычислен ряд Фурье полиномов Эйлера. Определение функций
C ν ( Икс ) знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ потому что ( ( 2 k + 1 ) π Икс ) ( 2 k + 1 ) ν {\ Displaystyle С _ {\ Nu} (х) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos ((2k + 1) \ pi x)} {(2k + 1) ^ { \ nu}}}} а также
S ν ( Икс ) знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ грех ( ( 2 k + 1 ) π Икс ) ( 2 k + 1 ) ν {\ displaystyle S _ {\ nu} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ((2k + 1) \ pi x)} {(2k + 1) ^ { \ nu}}}} для ν > 1 {\ displaystyle \ nu> 1} , многочлен Эйлера имеет ряд Фурье
C 2 п ( Икс ) знак равно ( - 1 ) п 4 ( 2 п - 1 ) ! π 2 п E 2 п - 1 ( Икс ) {\ Displaystyle C_ {2n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n-1)!}} \ pi ^ {2n} E_ {2n-1} (x)} а также
S 2 п + 1 ( Икс ) знак равно ( - 1 ) п 4 ( 2 п ) ! π 2 п + 1 E 2 п ( Икс ) . {\ displaystyle S_ {2n + 1} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n)!}} \ pi ^ {2n + 1} E_ {2n} (x). } Обратите внимание, что C ν {\ displaystyle C _ {\ nu}} а также S ν {\ displaystyle S _ {\ nu}} являются нечетными и четными соответственно:
C ν ( Икс ) знак равно - C ν ( 1 - Икс ) {\ Displaystyle С _ {\ ню} (х) = - С _ {\ ню} (1-х)} а также
S ν ( Икс ) знак равно S ν ( 1 - Икс ) . {\ Displaystyle S _ {\ nu} (х) = S _ {\ nu} (1-х).} Они связаны с функцией ци Лежандра. χ ν {\ displaystyle \ chi _ {\ nu}} в виде
C ν ( Икс ) знак равно Re χ ν ( е я Икс ) {\ Displaystyle С _ {\ ню} (х) = \ OperatorName {Re} \ чи _ {\ ню} (е ^ {ix})} а также
S ν ( Икс ) знак равно Я χ ν ( е я Икс ) . {\ displaystyle S _ {\ nu} (x) = \ operatorname {Im} \ chi _ {\ nu} (e ^ {ix}).}
Инверсия Многочлены Бернулли и Эйлера могут быть обращены, чтобы выразить одночлен через многочлены.
В частности, как видно из предыдущего раздела об интегральных операторах , следует, что
Икс п знак равно 1 п + 1 ∑ k знак равно 0 п ( п + 1 k ) B k ( Икс ) {\ displaystyle x ^ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 \ select k} B_ {k} (x)} а также
Икс п знак равно E п ( Икс ) + 1 2 ∑ k знак равно 0 п - 1 ( п k ) E k ( Икс ) . {\ displaystyle x ^ {n} = E_ {n} (x) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {n \ select k} E_ {k }(Икс).}
Связь с падающим факториалом Многочлены Бернулли можно разложить с помощью падающего факториала. ( Икс ) k {\ Displaystyle (х) _ {к}} в виде
B п + 1 ( Икс ) знак равно B п + 1 + ∑ k знак равно 0 п п + 1 k + 1 { п k } ( Икс ) k + 1 {\ displaystyle B_ {n + 1} (x) = B_ {n + 1} + \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {n + 1} {k + 1}} \ left \ { {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} (x) _ {k + 1}} где B п знак равно B п ( 0 ) {\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)} а также
{ п k } знак равно S ( п , k ) {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} = S (n, k)} обозначает число Стирлинга второго рода . Вышеупомянутое можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал в терминах полиномов Бернулли:
( Икс ) п + 1 знак равно ∑ k знак равно 0 п п + 1 k + 1 [ п k ] ( B k + 1 ( Икс ) - B k + 1 ) {\ displaystyle (x) _ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {n + 1} {k + 1}} \ left [{\ begin {matrix} n \ \ k \ end {matrix}} \ right] \ left (B_ {k + 1} (x) -B_ {k + 1} \ right)} где
[ п k ] знак равно s ( п , k ) {\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] = s (n, k)} обозначает число Стирлинга первого рода .
Теоремы умножения Эти теоремы умножения были даны Джозеф Людвиг Раабе в 1851 году:
Для натурального числа т ≥1 ,
B п ( м Икс ) знак равно м п - 1 ∑ k знак равно 0 м - 1 B п ( Икс + k м ) {\ displaystyle B_ {n} (mx) = m ^ {n-1} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} B_ {n} \ left (x + {\ frac {k} {m}}) \верно)} E п ( м Икс ) знак равно м п ∑ k знак равно 0 м - 1 ( - 1 ) k E п ( Икс + k м ) для м знак равно 1 , 3 , … {\ Displaystyle E_ {n} (mx) = m ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k} E_ {n} \ left (x + {\ frac { k} {m}} \ right) \ quad {\ mbox {for}} m = 1,3, \ dots} E п ( м Икс ) знак равно - 2 п + 1 м п ∑ k знак равно 0 м - 1 ( - 1 ) k B п + 1 ( Икс + k м ) для м знак равно 2 , 4 , … {\ displaystyle E_ {n} (mx) = {\ frac {-2} {n + 1}} m ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k } B_ {n + 1} \ left (x + {\ frac {k} {m}} \ right) \ quad {\ mbox {for}} m = 2,4, \ dots}
Интегралы Две определенных интегралов , связывающие многочлены Бернулли и Эйлера для чисел Бернулли и Эйлера являются: [ править ]
∫ 0 1 B п ( т ) B м ( т ) d т знак равно ( - 1 ) п - 1 м ! п ! ( м + п ) ! B п + м для м , п ≥ 1 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (t) B_ {m} (t) \, dt = (- 1) ^ {n-1} {\ frac {m! n!} {(m + n)!}} B_ {n + m} \ quad {\ text {for}} m, n \ geq 1} ∫ 0 1 E п ( т ) E м ( т ) d т знак равно ( - 1 ) п 4 ( 2 м + п + 2 - 1 ) м ! п ! ( м + п + 2 ) ! B п + м + 2 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} E_ {n} (t) E_ {m} (t) \, dt = (- 1) ^ {n} 4 (2 ^ {m + n + 2}) -1) {\ frac {m! N!} {(M + n + 2)!}} B_ {n + m + 2}}
Периодические многочлены Бернулли Периодический Бернулли многочлен Р п ( х ) является многочленом Бернулли оценивается в дробной части аргумента х . Эти функции используются для получения остаточного члена в формуле Эйлера – Маклорена, связывающей суммы с интегралами. Первый многочлен - это пилообразная функция .
Строго говоря, эти функции вовсе не являются полиномами, и правильнее их следует называть периодическими функциями Бернулли, а P 0 ( x ) даже не является функцией, являясь производной пилообразного зуба и, следовательно, гребешка Дирака .
Следующие свойства представляют интерес, действительны для всех Икс {\ displaystyle x} :
п k ( Икс ) непрерывно для всех k > 1 п k ′ ( Икс ) существует и непрерывен для k > 2 п k ′ ( Икс ) знак равно k п k - 1 ( Икс ) , k > 2 {\ displaystyle {\ begin {align} & P_ {k} (x) {\ text {является непрерывным для всех}} k> 1 \\ [5pt] & P_ {k} '(x) {\ text {существует и является непрерывным for}} k> 2 \\ [5pt] & P '_ {k} (x) = kP_ {k-1} (x), k> 2 \ end {выровнено}}}
Смотрите также Числа Бернулли Многочлены Бернулли второго рода Полином Стирлинга
Рекомендации ^ DH Lehmer, "О максимумах и минимумах многочленов Бернулли", American Mathematical Monthly , том 47, страницы 533–538 (1940) ^ Чжи-Вэй Сунь; Хао Пань (2006). «Тождества относительно многочленов Бернулли и Эйлера». Acta Arithmetica . 125 : 21–39. arXiv : math / 0409035 . Bibcode : 2006AcAri.125 ... 21S . DOI : 10,4064 / aa125-1-3 . Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Довер, Нью-Йорк. (См. Главу 23 ) Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001 (См. Главу 12.11) Дилчер, К. (2010), «Многочлены Бернулли и Эйлера» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Цвийович, Джурдье; Клиновский, Яцек (1995). «Новые формулы для полиномов Бернулли и Эйлера при рациональных аргументах». Труды Американского математического общества . 123 : 1527–1535. DOI : 10.2307 / 2161144 . Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . (Рассматривается связь с дзета-функцией Гурвица и трансцендентным Лерхом.) Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 495–519. ISBN 0-521-84903-9 .
Внешние ссылки Список интегральных тождеств с многочленами Бернулли из NIST