Серия Меркатор

Полиномиальное приближение к логарифму с n = 1, 2, 3 и 10 в интервале (0,2).

В математике , то серия Меркатора или серия Ньютон-Меркатор является рядом Тейлора для натурального логарифма :

${\ displaystyle \ ln (1 + x) = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ { 4}} {4}} + \ cdots}$

В суммирования обозначениях ,

${\ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n}.}$

Ряд сходится к натуральному логарифму (сдвинутому на 1) всякий раз, когда .${\ Displaystyle -1 <х \ leq 1}$

История [ править ]

Эта серия была независимо открыта Иоганном Худде ^[1] и Исааком Ньютоном . Впервые он был опубликован Николасом Меркатором в его трактате « Логарифмотехния» 1668 года .

Вывод [ править ]

Ряд может быть получен из теоремы Тейлора путем индуктивного вычисления n- ^й производной от at , начиная с${\ Displaystyle \ ln (х)}$${\ displaystyle x = 1}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln (x) = {\ frac {1} {x}}.}$

В качестве альтернативы можно начать с конечного геометрического ряда ( )${\ Displaystyle т \ neq -1}$

${\ displaystyle 1-t + t ^ {2} - \ cdots + (- t) ^ {n-1} = {\ frac {1 - (- t) ^ {n}} {1 + t}}}$

который дает

${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + t}} = 1-t + t ^ {2} - \ cdots + (- t) ^ {n-1} + {\ frac {(-t) ^ { n}} {1 + t}}.}$

Следует, что

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {1 + t}} = \ int _ {0} ^ {x} \ left (1-t + t ^ {2} - \ cdots + (- t) ^ {n-1} + {\ frac {(-t) ^ {n}} {1 + t}} \ right) \ dt}$

и почленным интегрированием

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}$

Если , остаточный член стремится к 0 при .${\displaystyle -1<x\leq 1}$${\displaystyle n\to \infty }$

Это выражение можно интегрировать итеративно еще k раз, чтобы получить

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

куда

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

и

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

- многочлены от x . ^[2]

Особые случаи [ править ]

Установка в серии Меркатора дает переменную гармоническую серию${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}$

Сложная серия [ править ]

Комплекс степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

является рядом Тейлора для , где журнал обозначает главную ветвь из сложного логарифма . Этот ряд сходится точно для всех комплексных чисел . Фактически, как видно из теста отношения , он имеет радиус сходимости, равный 1, поэтому сходится абсолютно на каждом диске B (0,  r ) с радиусом r  <1. Более того, он сходится равномерно на каждом полукруглом диске , с δ  > 0. Это сразу следует из алгебраического тождества:${\displaystyle -\log(1-z)}$${\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}$

заметив, что правая часть равномерно сходится на всем замкнутом единичном круге.

См. Также [ править ]

• Джон Крейг

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Меркатора» . MathWorld .
• Антон фон Браунмюль (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie , Seite 134, через Интернет-архив
• Эрикссон, Ларссон и Вад. Matematisk analys med tillämpningar , часть 3. Гетеборг 2002. с. 10.
• Некоторые современники Декарта, Ферма, Паскаля и Гюйгенса из «Краткого изложения истории математики» (4-е издание, 1908 г.) У. В. Рауз Болл