В математике , последовательность Аппель , названный в честь Аппель , любая последовательность полиномов удовлетворение личности
и в котором ненулевая константа.
Среди наиболее заметных последовательностей Аппеля, помимо тривиального примера являются полиномы Эрмита , то Многочлены Бернулли , и полиномы Эйлера . Каждая последовательность Аппеля является последовательностью Шеффера , но большинство последовательностей Шеффера не являются последовательностями Аппеля. Последовательности апелляций имеют вероятностную интерпретацию как системы моментов .
Эквивалентные характеристики последовательностей Аппеля
Следующие условия на полиномиальные последовательности легко убедиться, что они эквивалентны:
- Для ,
- а также - ненулевая константа;
- Для некоторой последовательности скаляров с ,
- Для той же последовательности скаляров
- где
- Для ,
Формула рекурсии
Предполагать
где последнее равенство используется для определения линейного оператора на пространстве многочленов от . Позволять
- обратный оператор, коэффициенты являются числами, обычно обратными формальному степенному ряду , так что
В соглашениях теневого исчисления часто трактуют этот формальный степенной ряд как представляющий последовательность Аппеля . Можно определить
используя обычное разложение в степенной ряд и обычное определение композиции формальных степенных рядов. Тогда у нас есть
(Это формальное дифференцирование степенного ряда в дифференциальном операторе является примером дифференциации Пинчерле .)
В случае полиномов Эрмита это сводится к обычной формуле рекурсии для этой последовательности.
Подгруппа полиномов Шеффера
Множество всех последовательностей Аппеля замыкается относительно операции умбральной композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предполагать а также являются полиномиальными последовательностями, заданными формулой
Тогда мрачная композиция - полиномиальная последовательность, -й член
(нижний индекс появляется в , так как это -й член этой последовательности, но не в , поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).
При этой операции множество всех последовательностей Шеффера является неабелевой группой , но множество всех последовательностей Аппеля является абелевой подгруппой . То, что это абелева, можно увидеть, если учесть тот факт, что каждая последовательность Аппеля имеет вид
и эта темная композиция последовательностей Аппеля соответствует умножению этих формальных степенных рядов на оператор.
Другое соглашение
Другое соглашение, которому следуют некоторые авторы (см. Чихара ), определяет это понятие по-другому, что противоречит первоначальному определению Аппелла, с использованием тождества
вместо.
Смотрите также
Рекомендации
- Аппель, Пол (1880). "Sur une classe de polynômes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e Série. 9 : 119–144.
- Роман, Стивен; Рота, Джан-Карло (1978). «Мрачное исчисление» . Успехи в математике . 27 (2): 95–188. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90087-7 ..
- Рота, Джан-Карло; Kahaner, D .; Одлызко, Андрей (1973). «Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 685–760. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 . Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
- Стивен Роман. Мрачное исчисление . Dover Publications .
- Теодор Сейо Чихара (1978). Введение в ортогональные многочлены . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 978-0-677-04150-6.
Внешние ссылки
- "Многочлены Аппеля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Последовательность апелляций в MathWorld