В математике , полином последовательности имеет обобщенное представление Аппеля, если производящая функция для многочленов принимает определенный вид:
где производящая функция или ядро состоит из серии
- с участием
а также
- и все
а также
- с участием
Учитывая вышесказанное, нетрудно показать, что является многочленом степени .
Многочлены Боаса – Бака - несколько более общий класс многочленов.
Особые случаи
- Выбор дает класс полиномов Бренке .
- Выбор приводит к последовательности полиномов Шеффера , которая включает в себя полиномы общей разности , такие как полиномы Ньютона .
- Комбинированный выбор а также дает последовательность полиномов Аппеля .
Явное представление
Обобщенные полиномы Аппеля имеют явное представление
Постоянная
где эта сумма распространяется на все композиции из в части; то есть сумма распространяется на все такой, что
Для полиномов Аппеля это становится формулой
Отношение рекурсии
Эквивалентно необходимое и достаточное условие того, что ядро можно записать как с участием в том, что
где а также иметь степенной ряд
а также
Подстановка
сразу дает рекурсивное соотношение
Для частного случая многочленов Бренке имеем и таким образом все , значительно упрощая рекурсивное отношение.
Смотрите также
Рекомендации
- Ральф П. Боас младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправлено второе издание) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.
- Бренке, Уильям К. (1945). «О производящих функциях полиномиальных систем». Американский математический ежемесячник . 52 (6): 297–301. DOI : 10.2307 / 2305289 .
- Хафф, WN (1947). «Тип многочленов, порожденных функцией f (xt) φ (t)». Математический журнал герцога . 14 (4): 1091–1104. DOI : 10.1215 / S0012-7094-47-01483-X .