Последовательность Шеффера

В математике , А последовательность Шеффера или poweroid является многочленом последовательность , т.е. последовательность { р _п ( х ): п = 0, 1, 2, 3, ...} из многочленов , в котором индекс каждого полинома равна его степени , удовлетворяющие условиям, связанным с исчислением теней в комбинаторике. Они названы в честь Исадора М. Шеффера .

Определение [ править ]

Зафиксируем полиномиальную последовательность p _n . Определим линейный оператор Q на многочленах от x следующим образом:

${\ Displaystyle Qp_ {n} (x) = np_ {n-1} (x) \ ,.}$

Это определяет Q на всех многочленах. Полиномиальная последовательность p _n является последовательностью Шеффера, если только что определенный линейный оператор Q эквивариантен по сдвигу ; такой Q тогда является дельта-оператором . Здесь мы определяем линейный оператор Q на полиномах как эквивариантный по сдвигу, если всякий раз, когда f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) является «сдвигом» g ( x ), то ( Qf) ( х ) = ( Qg ) ( х + а ); т.е. Q коммутирует с каждым оператором сдвига : T _a Q = QT _a .

Свойства [ править ]

Множество всех последовательностей Шеффера представляет собой группу при операции умбральной композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предположим, что {  p _n (x): n = 0, 1, 2, 3, ...} и {  q _n (x): n = 0, 1, 2, 3, ...} - полиномиальные последовательности, заданные формулой

${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k} \ {\ mbox {and}} \ q_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {n, k} x ^ {k}.}$

Тогда умбральная композиция - это полиномиальная последовательность, n- й член которой равен${\ displaystyle p \ circ q}$

${\ displaystyle (p_ {n} \ circ q) (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} q_ {k} (x) = \ sum _ {0 \ leq \ ell \ leq k \ leq n} a_ {n, k} b_ {k, \ ell} x ^ {\ ell}}$

(индекс n появляется в p _n , поскольку это член n этой последовательности, но не в q , поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).

Нейтральный элемент этой группы - стандартный мономиальный базис

${\ displaystyle e_ {n} (x) = x ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ delta _ {n, k} x ^ {k}.}$

Две важные подгруппы - это группа последовательностей Аппеля , которые представляют собой те последовательности, для которых оператор Q является простым дифференцированием, и группа последовательностей биномиального типа , которые удовлетворяют тождеству

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

Последовательность Шеффера {  p _n ( x ): n  = 0, 1, 2,. . . } имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда оба

${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$

и

${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,}$

Группа последовательностей Аппеля абелева ; группа последовательностей биномиального типа - нет. Группа последовательностей Аппеля является нормальной подгруппой ; группа последовательностей биномиального типа - нет. Группа последовательностей Шеффера является полупрямым произведением группы последовательностей Аппеля и группы последовательностей биномиального типа. Отсюда следует, что каждый смежный класс группы последовательностей Аппеля содержит ровно одну последовательность биномиального типа. Две последовательности Шеффера находятся в одном таком смежном классе тогда и только тогда, когда оператор Q, описанный выше, называемый « дельта-оператором » этой последовательности, является одним и тем же линейным оператором в обоих случаях. (Обычно дельта-операторявляется эквивариантным сдвигу линейным оператором на многочленах, понижающим степень на единицу. Этот термин принадлежит Ф. Хильдебрандту.)

Если s _n ( x ) - последовательность Шеффера, а p _n ( x ) - одна последовательность биномиального типа, которая имеет один и тот же дельта-оператор, то

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$

Иногда термин последовательность Шеффера будет определена означает последовательность , которая носит это отношение к некоторой последовательности биномиального типа. В частности, если {  s _n ( x )} - последовательность Аппеля, то

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$

Последовательность многочленов Эрмита , последовательность многочленов Бернулли и одночлены { x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...} являются примерами последовательностей Аппеля.

Последовательность Шеффера p _n характеризуется своей экспоненциальной производящей функцией

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$

где A и B - (формальные) степенные ряды по t . Таким образом, последовательности Шеффера являются примерами обобщенных многочленов Аппеля и, следовательно, имеют ассоциированное рекуррентное отношение .

Примеры [ править ]

Примеры полиномиальных последовательностей, которые являются последовательностями Шеффера, включают:

• Эти полиномы Абеля ;
• Эти многочлены Бернулли ;
• Центральные факториальные многочлены;
• Эти полиномы Эрмита ;
• Эти полиномы Лагерра ;
• Эти многочлены Малера ;
• В мономах { х ^п  : п = 0, 1, 2, ...};
• Эти многочлены Мотта ;

Ссылки [ править ]

• Рота, Г.-К. ; Kahaner, D .; Одлызко, А. (июнь 1973). «Об основах комбинаторной теории VIII: конечно-операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–750. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 . Перепечатано в следующей ссылке.
• Рота, Г.-К. ; Doubilet, P .; Greene, C .; Kahaner, D .; Одлызко, А .; Стэнли, Р. (1975). Конечное операторное исчисление . Академическая пресса. ISBN 0-12-596650-4.
• Шеффер, И.М. (1939). «Некоторые свойства полиномиальных множеств нулевого типа». Математический журнал герцога . 5 (3): 590–622. DOI : 10.1215 / S0012-7094-39-00549-1 .
• Роман, Стивен (1984). Мрачное исчисление . Чистая и прикладная математика. 111 . Лондон: Academic Press Inc. [Издательство Харкорт Брейс Йованович]. ISBN 978-0-12-594380-2. Руководство по ремонту  0741185 . Перепечатано Dover, 2005.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Шеффера» . MathWorld .