Полиномы Мотта

В математике многочлены Мотта s _n ( x ) - это многочлены, введенные Н. Ф. Моттом  ( 1932 , стр. 442), который применил их к задаче теории электронов. Они задаются экспоненциальной производящей функцией

${\ displaystyle e ^ {x ({\ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1) / t} = \ sum _ {n} s_ {n} (x) t ^ {n} / n !. }$

Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд

${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1} {t}} = - \ sum _ {k \ geq 0} C_ {k} \ left ({\ frac {t } {2}} \ right) ^ {2k + 1}}$

в терминах каталонских чисел коэффициент перед многочленом можно записать как${\ displaystyle C_ {k}}$${\ displaystyle x ^ {k}}$

${\ displaystyle [x ^ {k}] s_ {n} (x) = (- 1) ^ {k} {\ frac {n!} {k! 2 ^ {n}}} \ sum _ {n = l_ {1} + l_ {2} + \ cdots l_ {k}} C _ {(l_ {1} -1) / 2} C _ {(l_ {2} -1) / 2} \ cdots C _ {(l_ {k } -1) / 2}}$,

в соответствии с общей формулой для обобщенных полиномов Аппеля , где сумма по всем композициям из Into положительных нечетных чисел. Пустой продукт, отображаемый для равно 1. Специальными значениями, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются${\ Displaystyle п = l_ {1} + l_ {2} + \ cdots l_ {k}}$${\ displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=n=0}$

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

При дифференцировании рекуррентность первой производной становится

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

Многочлены s _n ( x ) образуют связанную последовательность Шеффера для –2 t / (1 – t ² ) ( Роман 1984 , стр.130). Артур Эрдейи, Вильгельм Магнус , Фриц Оберхеттингер и др. ( 1955 , с. 251) дают для них явное выражение в терминах обобщенной гипергеометрической функции ₃ F ₀ :

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$

Ссылки [ править ]

• Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции. Vol. III , McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон, MR  0066496
• Мотт, Н.Ф. (1932), "Поляризация электронов двойным рассеянием", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащих статей математического и физического характера , 135 (827): 429-458, DOI : 10.1098 / rspa.1932.0044 , ISSN  0950-1207 , JSTOR  95868
• Роман, Стивен (1984), Темное исчисление , Чистая и прикладная математика, 111 , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR  0741185 , Перепечатано Dover, 2005