Полином Малера

В математике полиномы Малера g _n ( x ) — это многочлены, введенные Малером  ( 1930 ) в его работе о нулях неполной гамма-функции .

Полиномы Малера задаются производящей функцией

${\ displaystyle \ displaystyle \ sum g_ {n} (x) t ^ {n} / n! = \ exp (x (1 + te ^ {t}}}}$

Полиномы Малера могут быть представлены как последовательность Шеффера для функциональной обратной функции 1+ t – e ^t ( Roman 1984 , 4.9).

Первые несколько примеров (последовательность A008299 в OEIS )

${\ displaystyle g_ {0} = 1;}$

${\ displaystyle g_ {1} = 0;}$

${\ displaystyle g_ {2} = - x;}$

${\ displaystyle g_ {3} = - x;}$

${\displaystyle g_{4}=-x+3x^{2};}$

${\displaystyle g_{5}=-x+10x^{2};}$

${\displaystyle g_{6}=-x+25x^{2}-15x^{3};}$

${\displaystyle g_{7}=-x+56x^{2}-105x^{3};}$

${\displaystyle g_{8}=-x+119x^{2}-490x^{3}+105x^{4};}$

использованная литература

• Малер, Курт (1930), «Über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktionen», Rendiconti Palermo (на немецком языке), 54 : 1–41, JFM  56.0310.01
• Роман, Стивен (1984), Теневое исчисление , Pure and Applied Mathematics, vol. 111, Лондон: Academic Press Inc. [издательство Harcourt Brace Jovanovich], ISBN . 978-0-12-594380-2, МР  0741185Перепечатано Дувром, 2005 г.