В математике до 1970-х годов термин « мрачное исчисление» относился к удивительному сходству между кажущимися несвязанными полиномиальными уравнениями и некоторыми теневыми методами, используемыми для их «доказательства». Эти техники были введены Джоном Блиссардом ( 1861 г. ) и иногда называются символическим методом Блиссарда . Их часто приписывают Эдуарду Лукасу (или Джеймсу Джозефу Сильвестру ), который широко использовал эту технику. [1]
Краткая история
В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл попытался поставить умбральное исчисление на твердую основу.
В 1970-х Стивен Роман , Джан-Карло Рота и другие разработали умбральное исчисление с помощью линейных функционалов на пространствах многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера , включая полиномиальные последовательности биномиального типа и последовательности Аппеля , но может включать в себя методы систематического соответствия исчисления конечных разностей .
Умбральное исчисление XIX века
Этот метод представляет собой условную процедуру, используемую для получения идентификаторов, включающих индексированные последовательности чисел, притворяясь, что индексы являются показателями . Сконструированный буквально, он абсурден, но тем не менее успешен: тождества, полученные с помощью теневого исчисления, также могут быть правильно выведены более сложными методами, которые можно понимать буквально без логических затруднений.
Пример включает многочлены Бернулли . Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальный коэффициент ):
и удивительно похожее соотношение на многочленах Бернулли :
Сравните также обычную производную
к очень похожему на вид соотношению на многочленах Бернулли:
Эти сходства позволяют строить мрачные доказательства, которые на первый взгляд не могут быть правильными, но, похоже, все равно работают. Так, например, притворившись, что индекс n - k является показателем степени:
а затем дифференцируя, получаем желаемый результат:
В приведенном выше описании , переменная Ь является «умбра» ( латинский для тени ).
См. Также формулу Фаульхабера .
Умбрал Тейлор серия
Подобные соотношения наблюдались и в теории конечных разностей . Мрачная версия ряда Тейлора дается аналогичным выражением, включающим k -ые прямые разности из полиномиальной функции F ,
где
- это символ Поххаммера, используемый здесь для падающего последовательного продукта. Аналогичное соотношение имеет место для обратных различий и возрастающего факториала.
Этот ряд также известен как ряд Ньютона или прямое разложение Ньютона . Аналогия с разложением Тейлора используется в исчислении конечных разностей .
Белл и Риордан
В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такой аргумент логически строгим. Combinatorialist Джон Риордан в своей книге комбинаторные тождества , изданные в 1960 - х годах, использовал технику такого рода широко.
Современное умбральное исчисление
Другой комбинатор, Джан-Карло Рота , указал, что загадка исчезает, если рассматривать линейный функционал L на многочленах от z, определяемый формулой
Тогда, используя определение многочленов Бернулли, а также определение и линейность L , можно записать
Это позволяет заменить вхождения от , то есть переместить n с нижнего индекса на верхний (ключевая операция теневого исчисления). Например, теперь мы можем доказать, что:
Позже Рота заявил, что большая путаница возникла из-за того, что не удалось провести различие между тремя отношениями эквивалентности, которые часто встречаются в этой теме, и все они были обозначены знаком «=».
В статье, опубликованной в 1964 году, Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла , которые перечисляют разбиения конечных множеств.
В статье Романа и Роты, цитируемой ниже, умбральное исчисление характеризуется как изучение умбральной алгебры , определенной как алгебра линейных функционалов на векторном пространстве многочленов от переменной x , с произведением L 1 L 2 линейных функционалы, определяемые
Когда полиномиальные последовательности заменяют последовательности чисел как образы y n при линейном отображении L , тогда теневой метод рассматривается как существенный компонент общей теории специальных многочленов Роты, и эта теория является теневым исчислением по некоторым более современным определениям термин. [2] Небольшой образец этой теории можно найти в статье о полиномиальных последовательностях биномиального типа . Другая - статья под названием « Последовательность Шеффера» .
Позже Рота широко применил теневое исчисление в своей работе с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств кумулянтов . [3]
Смотрите также
- Умбральная композиция полиномиальных последовательностей
- Исчисление конечных разностей
- Полиномы Пиддака
- Символьный метод в теории инвариантов
Заметки
- ^ ET Белл, «История символического метода Blissard,с Sketch жизни своего изобретателя», Американского математического ежемесячника 45 : 7 (1938), стр 414-421..
- ^ Рота, GC; Kahaner, D .; Одлызко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684. DOI : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 .
- ^ G.-C. Рота и Дж. Шен, «О комбинаторике кумулянтов» , Журнал комбинаторной теории, серия A , 91: 283–304, 2000.
Рекомендации
- Белл, ET (1938), «История символического метода Blissard, в с Sketch жизни своего изобретателя», Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки , 45 (7): 414-421, DOI : 10,1080 / 00029890.1938.11990829 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2304144
- Блиссард, Джон (1861), "Теория уравнений общего положения" , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 4 : 279–305
- Роман, Стивен М .; Рота, Джан-Карло (1978), "Теневой анализ", Прогресс в области математики , 27 (2): 95-188, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (78) 90087-7 , ISSN 0001-8708 , МР 0485417
- Г.-К. Рота, Д. Каханер, А. Одлызко , "Конечное операторное исчисление", Журнал математического анализа и его приложений, вып. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
- Роман, Стивен (1984), Темное исчисление , Чистая и прикладная математика, 111 , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, Руководство по ремонту 0741185. Перепечатано Dover, 2005.
- Роман, С. (2001) [1994], "Исчисление тьмы" , Энциклопедия математики , EMS Press
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Мрачное исчисление» . MathWorld .
- А. Ди Буккьянико, Д. Леб (2000). «Избранный обзор мрачного исчисления» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . Динамические опросы. DS3 . Архивировано из оригинального (PDF) 24 февраля 2012 года.
- Роман С. (1982), Теория теневого исчисления, I