Теорема умножения

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Теорема умножения»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , то теорема умножения является определенным типом личности подчинялась многими специальными функциями , связанных с гамма - функцией . Для явного случая гамма-функции идентичность является продуктом значений; отсюда и название. Все различные отношения проистекают из одного и того же основного принципа; то есть отношение для одной специальной функции может быть получено из отношения для других, и это просто проявление одной и той же идентичности в разных обличьях.

Конечная характеристика [ править ]

Теорема умножения принимает две общие формы. В первом случае для получения отношения добавляется или умножается конечное число членов. Во втором случае добавляется или умножается бесконечное количество членов. Конечная форма обычно встречается только для гамма и родственных функций, для которых тождество следует из p-адического отношения над конечным полем . Например, теорема умножения для гамма-функции следует из формулы Чоула – Сельберга , которая следует из теории комплексного умножения . Бесконечные суммы встречаются гораздо чаще и вытекают из характеристических нулевых соотношений гипергеометрических рядов.

В следующей таблице представлены различные проявления теоремы умножения для конечной характеристики; характеристические нулевые отношения приведены ниже. Во всех случаях n и k - целые неотрицательные числа. Для частного случая n  = 2 теорема обычно называется формулой дублирования .

Гамма-функция – формула Лежандра [ править ]

Формула дублирования и теорема умножения для гамма-функции являются типичными примерами. Формула дублирования для гамма-функции:

${\ Displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Гамма (2z).}$

Это также называется формулой дублирования Лежандра ^[1] или отношением Лежандра в честь Адриана-Мари Лежандра . Теорема умножения

${\ Displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {k}} \ right) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {k}} \ right) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {k-1} {k}} \ right) = (2 \ pi) ^ {\ frac {k-1} {2}} \; k ^ {\ frac { 1-2kz} {2}} \; \ Gamma (kz)}$

для целого числа k ≥ 1, и иногда ее называют формулой умножения Гаусса в честь Карла Фридриха Гаусса . Теорему умножения для гаммы - функций можно понимать как особый случай, для тривиального характера Дирихля , из формулы Чоула-Сельберг .

Функция полигаммы, числа гармоник [ править ]

Функция полигамма является логарифмическая производная гамма - функции, и , таким образом, умножение теорема становится аддитивный, а не мультипликативный:

${\ displaystyle k ^ {m} \ psi ^ {(m-1)} (kz) = \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} \ psi ^ {(m-1)} \ left (z + {\ frac {n} {k}} \ right)}$

для , и, для , есть функция дигаммы :${\ displaystyle m> 1}$${\ displaystyle m = 1}$

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Тождества полигаммы можно использовать для получения теоремы умножения для гармонических чисел .

Дзета-функция Гурвица [ править ]

Для дзета-функции Гурвица обобщает полигамма-функцию на нецелые порядки и, таким образом, подчиняется очень похожей теореме умножения:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

где - дзета-функция Римана . Это частный случай${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

и

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Формулы умножения неглавных характеров могут быть даны в виде L-функций Дирихле .

Периодическая дзета-функция [ править ]

Периодическая Дзета - функция ^[2] иногда определяется как

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

где Li _s ( z ) - полилогарифм . Он подчиняется формуле дублирования

${\displaystyle 2^{-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Таким образом, это собственный вектор оператора Бернулли с собственным значением 2 ^{- s} . Теорема умножения

${\displaystyle k^{-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

Периодическая дзета-функция встречается в формуле отражения для дзета-функции Гурвица, поэтому соотношение, которому она подчиняется, и дзета-соотношение Гурвица отличаются заменой  s  → - s .

Эти многочлены Бернулли может быть получено как предельный случай периодической дзета - функции, принимая с , чтобы быть целым числом, и , следовательно , умножение теорема может быть получена из указанных выше. Аналогично, подстановка  q  = log  z приводит к теореме умножения для полилогарифма.

Полилогарифм [ править ]

Формула дублирования принимает вид

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

Общая формула умножения имеет форму суммы Гаусса или дискретного преобразования Фурье :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Эти тождества следуют из тождества периодической дзета-функции, полагая  z  = log  q .

Функция Куммера [ править ]

Формула для дублирования функции Куммера является

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

и, таким образом, напоминает полилогарифм, но скручен на  i .

Многочлены Бернулли [ править ]

Для полиномов Бернулли теоремы умножения были даны Джозефом Людвигом Раабе в 1851 году:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

и для многочленов Эйлера ,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

и

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

Многочлены Бернулли могут быть получены как частный случай дзета-функции Гурвица, и, таким образом, тождества следуют из этого.

Карта Бернулли [ править ]

Карта Бернулли является некоторой простой моделью диссипативной динамической системы , описывающая эффект оператора сдвига на бесконечной череде монета переворачивается (The множество Кантора ). Карта Бернулли - это односторонняя версия тесно связанной карты Бейкера . Отображение Бернулли обобщается до k-адической версии, которая действует на бесконечных цепочках из k символов: это схема Бернулли . Оператор переноса, соответствующий оператору сдвига в схеме Бернулли, имеет вид${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Возможно, неудивительно, что собственные векторы этого оператора задаются полиномами Бернулли. То есть есть что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Это тот факт, что собственные значения отмечают эту систему как диссипативную: для недиссипативной динамической системы , сохраняющей меру , собственные значения передаточного оператора лежат на единичной окружности.${\displaystyle k^{-m}<1}$

Можно построить функцию, подчиняющуюся теореме умножения, из любой полностью мультипликативной функции . Позвольте быть полностью мультипликативным; то есть для любых целых m , n . Определим его ряд Фурье как${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Предполагая, что сумма сходится, так что g ( x ) существует, тогда можно предположить, что она подчиняется теореме умножения; то есть, что

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

То есть g ( x ) является собственной функцией передаточного оператора Бернулли с собственным значением f ( k ). Теорема умножения для многочленов Бернулли затем следует как частный случай мультипликативной функции . В характерах Дирихля полностью мультипликативные, и , таким образом , могут быть легко использованы для получения дополнительных идентичностей этой формы.${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$

Характеристический ноль [ править ]

Теорема умножения над полем нулевой характеристики не закрывается после конечного числа членов, но требует выражения бесконечного ряда . Примеры включают это для функции Бесселя :${\displaystyle J_{\nu }(z)}$

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

где и могут быть взяты как произвольные комплексные числа. Такие тождества с нулевой характеристикой обычно следуют из одного из многих возможных тождеств гипергеометрического ряда.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \nu }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Довер, Нью-Йорк. (Теоремы умножения перечислены отдельно глава за главой)
• C. Truesdell, " О теоремах сложения и умножения для специальных функций ", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics , (1950) pp. 752–757.