Дигамма функция

Дигамма-функция , отображаемая в прерывистой раскраске домена${\ displaystyle \ psi (z)}$

Графики вещественной части дигаммы и следующих трех функций полигаммы вдоль реальной линии

В математике , то функция дигамма определяется как логарифмическая производная от гамма - функции : ^{[1] [2]}

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln {\ big (} \ Gamma (x) {\ big)} = {\ frac {\ Gamma '(x)} {\ Гамма (x)}}.}$

Это первая из функций полигаммы .

Функция дигаммы часто обозначается как или Ϝ ^{[ необходима цитата ]} (заглавная форма архаичной греческой согласной дигаммы, означающей двойную гамму ).${\ Displaystyle \ psi _ {0} (х), \ psi ^ {(0)} (х)}$

Связь с номерами гармоник [ править ]

Гамма-функция подчиняется уравнению

${\ Displaystyle \ Гамма (г + 1) = г \ Гамма (г). \,}$

Взяв производную по z, получаем:

${\ Displaystyle \ Gamma '(z + 1) = z \ Gamma' (z) + \ Gamma (z) \,}$

Деление на Γ ( z + 1) или эквивалентное z Γ ( z ) дает:

${\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma '(z + 1)} {\ Gamma (z + 1)}} = {\ frac {\ Gamma' (z)} {\ Gamma (z)}} + {\ frac {1} {z}}}$

или же:

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = \ psi (z) + {\ frac {1} {z}}}$

Поскольку гармонические числа определены для натуральных чисел n как

${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}$

функция дигаммы связана с ними

${\ displaystyle \ psi (n) = H_ {n-1} - \ gamma,}$

где H ₀ = 0, а γ - постоянная Эйлера – Маскерони . Для полуцелых аргументов функция дигаммы принимает значения

${\ displaystyle \ psi \ left (n + {\ tfrac {1} {2}} \ right) = - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k-1}}.}$

Интегральные представления [ править ]

Если действительная часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интегральное представление благодаря Гауссу: ^[3]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Комбинируя это выражение с интегральным тождеством для постоянной Эйлера – Маскерони, получаем:${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

Интеграл - это гармоническое число Эйлера , поэтому можно записать и предыдущую формулу${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Следствием этого является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Интегральное представление Дирихле: ^[3]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

Интегральным представлением Гаусса можно манипулировать, чтобы получить начало асимптотического разложения . ^[4]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл можно распознать как преобразование Лапласа .

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу, для которой также даются первые несколько членов асимптотического разложения: ^[5]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Из определения и интегрального представления гамма-функции получаем${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

с . ^[6]${\displaystyle \Re z>0}$

Бесконечное представление продукта [ править ]

Функция является целой функцией ^[7] и может быть представлена ​​бесконечным произведением${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Здесь есть к - й нуль (см ниже), и это постоянная Эйлера-Mascheroni .${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \gamma }$

Примечание: Это также равно в силу определения функции дигаммы: .${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

Формула ряда [ править ]

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством для постоянной Эйлера – Маскерони дает следующее выражение для дигамма-функции, действительное в комплексной плоскости за пределами отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стегун 6.3.16): ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}}$

Оценка сумм рациональных функций [ править ]

Вышеупомянутое удостоверение можно использовать для оценки сумм в форме

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

где p ( n ) и q ( n ) - полиномы от n .

Выполнение дроби на u _n в комплексном поле в случае, когда все корни q ( n ) являются простыми корнями,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

Чтобы ряды сходились,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

в противном случае серия будет больше гармонической и, следовательно, расходится. Следовательно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

С расширением ряда полигамма-функции более высокого ранга обобщенная формула может быть задана как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k}),}$

при условии, что ряд слева сходится.

Серия Тейлор [ править ]

Дигамма имеет рациональный дзета-ряд , задаваемый рядом Тейлора при z = 1 . Это

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},}$

который сходится при | z | <1 . Здесь ζ ( n ) - дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица .

Серия Ньютона [ править ]

Ряд Ньютона для дигамма, иногда называют Stern серии , ^{[8] [9]} читает

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}$

где (^s
_k) -биномиальный коэффициент. Его также можно обобщить на

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

где m = 2,3,4, ... ^[9]

Ряды с коэффициентами Грегори, числами Коши и многочленами Бернулли второго рода [ править ]

Для дигаммы существуют различные серии, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, ряд с коэффициентами Грегори G _n есть

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

где ( v ) _n - возрастающий факториал ( v ) _n = v ( v +1) ( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) - коэффициенты Грегори более высокого порядка с G _n (1) = G _n , Γ - гамма-функция, а ζ - дзета-функция Гурвица . ^{[10] [9]}Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n читается ^{[10] [9]}

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Ряд с многочленами Бернулли второго рода имеет следующий вид ^[9]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

где ψ _n ( a ) - многочлены Бернулли второго рода, определяемые порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Его можно обобщить на

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

где многочлены N _{n, r} ( a ) задаются следующим порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

так что N _{n, 1} ( a ) = ψ _n ( a ) . ^[9] Подобные выражения с логарифмом гамма-функции включают эти формулы ^[9]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

и

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=2,3,4,\ldots }$

Формула отражения [ править ]

Дигамма-функция удовлетворяет формуле отражения, аналогичной формуле гамма-функции :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$

Формула повторяемости и характеристика [ править ]

Дигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Таким образом, можно сказать, что «телескоп» 1 / x , поскольку

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

где Δ - оператор прямой разности . Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонического ряда , откуда следует формула

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони .

В более общем смысле, есть

${\displaystyle \psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k}}\right).}$

для . Еще одно расширение серии:${\displaystyle Re(z)>0}$

${\displaystyle \psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}}$,

где - числа Бернулли. Этот ряд расходится для всех z и известен как ряд Стирлинга .${\displaystyle B_{2j}}$

Фактически ψ - единственное решение функционального уравнения

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

которая монотонна на ℝ ⁺ и удовлетворяет условию F (1) = - γ . Этот факт непосредственно следует из единственности Γ- функции с учетом ее рекуррентного уравнения и ограничения выпуклости. Отсюда следует уравнение полезной разности:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Некоторые конечные суммы, включающие функцию дигаммы [ править ]

Существует множество формул конечного суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

связаны с Гауссом. ^{[11] [12]} Более сложные формулы, например

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

являются результатом работ некоторых современных авторов (см., например, Приложение B в Blagouchine (2014) ^[13] ).

Теорема Гаусса о дигамме [ править ]

Для положительных целых чисел r и m ( r < m ) дигамма-функция может быть выражена через константу Эйлера и конечное число элементарных функций

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

которое выполняется в силу своего рекуррентного уравнения для всех рациональных аргументов.

Асимптотическое разложение [ править ]

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \psi (z)\sim \log z-{\frac {1}{2z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{z^{2n}}}=\log z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}},}$

где B _k - k- е число Бернулли, а ζ - дзета-функция Римана . Первые несколько условий этого расширения:

${\displaystyle \psi (z)\approx \log z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {5}{660z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни при каком z , любая конечная частичная сумма становится все более точной с увеличением z .

Разложение можно найти, применив к сумме формулу Эйлера – Маклорена ^[14]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

Разложение также может быть получено из интегрального представления, полученного из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Расширение в виде геометрического ряда и замена интегрального представления чисел Бернулли приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Кроме того, расширение только конечного числа членов ряда дает формулу с явным членом ошибки:${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Неравенства [ править ]

Когда x > 0 , функция

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

полностью монотонна и, в частности, положительна. Это следствие теоремы Бернштейна о монотонных функциях, примененной к интегральному представлению, полученному из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, по неравенству выпуклости подынтегральное выражение в этом представлении ограничено сверху величиной . как следствие${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\log x+\psi (x)}$

также полностью монотонен. Отсюда следует , что для всех х > 0 ,

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \log x-{\frac {1}{2x}}.}$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера. ^[15] Alzer также доказано , что для S ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Связанные оценки были получены Elezovic, Джордано, и Pecaric, который доказал , что при х > 0 ,

${\displaystyle \log(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\log(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони . ^[16] Константы, входящие в эти оценки, являются наилучшими из возможных. ^[17]${\displaystyle \gamma }$

Из теоремы о среднем значении следует следующий аналог неравенства Гаучи : если x > c , где c ≈ 1,461 - единственный положительный вещественный корень дигамма-функции, а если s > 0 , то

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Более того, равенство выполняется тогда и только тогда, когда s = 1 . ^[18]

Вдохновленные гармоническим неравенством среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, гармоническое неравенство среднего значения для дигамма-функции:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$ за ${\displaystyle x>0}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда . ^[19]${\displaystyle x=1}$

Вычисление и приближение [ править ]

Асимптотическое разложение дает простой способ вычислить ψ ( x ), когда действительная часть x велика. Чтобы вычислить ψ ( x ) при малых x , рекуррентное соотношение

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

может использоваться для сдвига значения x на более высокое значение. Бил ^[20] предлагает использовать указанное выше повторение, чтобы сдвинуть x до значения больше 6, а затем применить указанное выше расширение с членами выше x ^14, отсекающими, что дает «более чем достаточную точность» (по крайней мере 12 цифр, кроме около нулей) .

Когда x стремится к бесконечности, ψ ( x ) становится сколь угодно близким как к ln ( x - 1/2), так и к ln x . Переход вниз от х + 1 до х , ψ уменьшается на 1 / х , Ln ( х - 1/2) уменьшается на Ln ( х + 1/2) / ( х - 1/2) , что больше , чем 1 / х , а ln x уменьшается на ln (1 + 1 / x) , что меньше 1 / x. Отсюда мы видим, что для любого положительного x, большего 1/2 ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

или, для любого положительного х ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

Экспонента exp ψ ( x ) приблизительно равна x - 1/2 для больших x , но приближается к x при малых x , приближаясь к 0 при x = 0 .

Для x <1 мы можем вычислить пределы, исходя из того факта, что между 1 и 2, ψ ( x ) ∈ [- γ , 1 - γ ] , поэтому

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

или же

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ можно вывести асимптотический ряд для exp (- ψ ( x )) . Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически, как и должно быть для больших аргументов, и также имеет ноль неограниченной кратности в начале координат.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Это похоже на разложение Тейлора exp (- ψ (1 / y )) при y = 0 , но не сходится. ^[21] (Функция не аналитична на бесконечности.) Аналогичный ряд существует для exp ( ψ ( x )), который начинается с${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ ( x +1/2), то окажется, что нет нечетных степеней x (нет члена x ⁻¹ ). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое экономит вычислительные члены четного порядка.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Особые значения [ править ]

Дигамма-функция имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел в результате теоремы Гаусса о дигамме . Некоторые из них перечислены ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от или где является действительным знаком, можно легко вывести, что${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

Кроме теоремы Гаусса о дигамме, такая замкнутая формула для действительной части вообще не известна. У нас есть, например, в мнимой единице численное приближение

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Корни функции дигаммы [ править ]

Корни дигамма-функции - это седловые точки комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, все они лежат на реальной оси . Только один на положительной вещественной оси является уникальным минимум вещественного гамма - функции на ℝ ⁺ при х ₀ =1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Все остальные встречаются одиночно между полюсами на отрицательной оси:

х ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

х ₂ =-1,573 498 473 162 390 458 77 ...

х ₃ =−2,610 720 868 444 144 650 00 ...

х ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

Уже в 1881 г. Чарльз Эрмит заметил ^[22], что

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

асимптотически выполняется. Лучшее приближение расположения корней дается формулой

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

и, используя следующий термин, становится еще лучше

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

которые оба возникают из формулы отражения через

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

и подставив ψ ( x _n ) на его несходящееся асимптотическое разложение. Правильный второй член этого разложения - 1/2 n , где данный член хорошо подходит для аппроксимации корней с малым n .

Можно привести еще одно усовершенствование формулы Эрмита: ^[7]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

Что касается нулей, следующие тождества с бесконечной суммой были недавно доказаны Иштваном Мезо и Майклом Хоффманом ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

В общем, функция

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

может быть определен и подробно изучен цитируемыми авторами.

Следующие результаты ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

также верны.

Здесь γ - постоянная Эйлера – Маскерони .

Регуляризация [ править ]

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

этот интеграл может быть аппроксимирован расходящимся общим гармоническим рядом, но к ряду может быть добавлено следующее значение

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

См. Также [ править ]

• Полигамма функция
• Тригамма функция
• Чебышёвские разложения дигамма-функции в Wimp, Jet (1961). «Полиномиальные приближения к интегральным преобразованиям» . Математика. Комп . 15 (74): 174–178. DOI : 10.1090 / S0025-5718-61-99221-3 .

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Последовательность OEIS A020759 (десятичное разложение (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2), где Gamma (x) обозначает гамма-функцию) - psi (1/2)

OEIS :  A047787 psi (1/3), OEIS :  A200064 psi (2/3), OEIS :  A020777 psi (1/4), OEIS :  A200134 psi (3/4), OEIS :  A200135 - OEIS :  A200138 psi (1 / 5) до psi (4/5).