Полигамма функция

Графики полигамма-функций ψ , ψ ⁽¹⁾ , ψ ⁽²⁾ и ψ ⁽³⁾ вещественных аргументов

В математике , то функция полигамма порядка т является мероморфны функции на комплексных чисел ℂ определяется как ( м + 1) й производной логарифма от гамма - функции :

${\ Displaystyle \ psi ^ {(m)} (z): = {\ frac {d ^ {m}} {dz ^ {m}}} \ psi (z) = {\ frac {d ^ {m + 1 }} {dz ^ {m + 1}}} \ ln \ Gamma (z).}$

Таким образом

${\ Displaystyle \ psi ^ {(0)} (z) = \ psi (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}}}$

где ψ ( z ) - дигамма-функция, а Γ ( z ) - гамма-функция . Они голоморфные на ℂ \ - ℕ ₀ . При всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют полюс порядка m + 1 . Функцию ψ ⁽¹⁾ ( z ) иногда называют тригамма-функцией .

Логарифм гамма-функции и первые несколько полигамма-функций в комплексной плоскости

ln Γ ( z )	ψ (0) ( z )	ψ (1) ( z )
ψ (2) ( z )	ψ (3) ( z )	ψ (4) ( z )

Интегральное представление [ править ]

При m > 0 и Re z > 0 полигамма-функция равна

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ psi ^ {(m)} (z) & = (- 1) ^ {m + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ { m} e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} \, dt \\ & = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {t ^ {z-1}} {1-t}} (\ ln t) ^ {m} \, dt. \ End {align}}}$

Это выражает функцию полигаммы в качестве преобразования Лапласа из . Из теоремы Бернштейна о монотонных функциях следует, что при m > 0 и x вещественном и неотрицательном значении является полностью монотонной функцией.${\ displaystyle (-1) ^ {m + 1} t ^ {m} / (1-e ^ {- t})}$${\ displaystyle (-1) ^ {m + 1} \ psi ^ {(m)} (x)}$

Установка m = 0 в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое аналогично случаю m = 0 выше, но имеет дополнительный член .${\ displaystyle e ^ {- t} / t}$

Отношение повторения [ править ]

Он удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}$

что - рассматриваемое для положительного целочисленного аргумента - приводит к представлению суммы обратных степеней натуральных чисел:

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}$

для всех n ∈ ℕ . Подобно логарифмической гамма-функции, полигамма-функции могут быть обобщены из области ℕ однозначно на положительные действительные числа только благодаря их рекуррентному соотношению и одному заданному значению функции, скажем ψ ^{( m )} (1) , за исключением случая m = 0 , где дополнительное условие строгой монотонности на ℝ ⁺ по - прежнему необходимо. Это тривиальным следствием теоремы Бора-Mollerup для гамма - функции , где строго логарифмической выпуклости на ℝ ⁺ в которую требуется дополнительно. Случай m= 0 следует рассматривать по-другому, потому что ψ ⁽⁰⁾ не нормируется на бесконечности (сумма обратных величин не сходится).

Отношение отражения [ править ]

${\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}$

где P _m попеременно является нечетным или четным многочленом степени | м - 1 | с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом (−1) ^m ⌈2 ^{m - 1} ⌉ . Они подчиняются уравнению рекурсии

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}$

Теорема умножения [ править ]

Теорема умножения дает

${\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

для функции дигаммы .

Представление серии [ править ]

Полигамма-функция имеет представление в виде ряда

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

которое выполняется при m > 0 и любом комплексном z, не равном отрицательному целому числу. Это представление может быть записано более компактно в терминах дзета-функции Гурвица как

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}$

С другой стороны, дзета Гурвица может быть понята как обобщение полигаммы на произвольный, нецелочисленный порядок.

Еще одна серия может быть разрешена для полигамма-функций. По словам Шлёмильха ,

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}$

Это результат теоремы факторизации Вейерштрасса . Таким образом, теперь гамма-функцию можно определить как:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}$

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right).}$

Наконец, мы приходим к суммированию для полигамма-функции:

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}$

Где δ _{n 0} - дельта Кронекера .

Также Лерх трансцендентный

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}$

можно обозначить через полигамма-функцию

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}$

Серия Тейлор [ править ]

Ряд Тейлора при г = 1 IS

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}$

который сходится при | z | <1 . Здесь ζ - дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд можно использовать для получения ряда рациональных дзета-рядов .

Асимптотическое разложение [ править ]

Эти несходящиеся ряды можно использовать для быстрого получения значения приближения с определенной числовой точностью как минимум для больших аргументов:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}$

где мы выбрали B ₁ =1/2, т.е. числа Бернулли второго рода.

Неравенства [ править ]

В гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

${\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}$

откуда следует, что функция

${\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}$

неотрицательно для всех и . Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции полностью монотонно. Используя представленное выше интегральное представление, заключаем, что${\displaystyle m\geq 1}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}$

полностью монотонный. Из неравенства выпуклости следует, что${\displaystyle e^{t}\geq 1+t}$

${\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}$

неотрицательна для всех и , таким образом, аналогичный аргумент преобразования Лапласа дает полную монотонность${\displaystyle m\geq 1}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}$

Таким образом, для всех т ≥ 1 и х > 0 ,

${\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}$

См. Также [ править ]

• Факториал
• Гамма-функция
• Дигамма функция
• Тригамма функция
• Обобщенная полигамма-функция

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4» . Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.