В математическом анализе , то Бор-Mollerup теорема является теорема доказана датским математиков Харальд Бор и Йоханнес Mollerup . Теорема характеризует в гамма - функцию , определенную для й > 0 с помощью
как единственная функция f на интервале x > 0, которая одновременно обладает тремя свойствами
- f (1) = 1 и
- f ( x + 1) = x f ( x ) для x > 0 и
- е является логарифмически выпуклым .
Трактовка этой теоремы содержится в книге Артина « Гамма-функция» , которая была перепечатана AMS в сборнике работ Артина.
Теорема была впервые опубликована в учебнике по комплексному анализу , поскольку Бор и Моллеруп считали, что она уже доказана.
Заявление
- Теорема Бора – Моллерупа. Γ ( x ) - единственная функция, которая удовлетворяет f ( x + 1) = x f ( x ) с выпуклым log ( f ( x )), а также с f (1) = 1 .
Доказательство
Пусть Γ ( x ) - функция с предполагаемыми свойствами, установленными выше: Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) и log (Γ ( x )) выпуклый, а Γ (1) = 1 . Из Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) можно установить
Цель условия, что Γ (1) = 1, заставляет свойство Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) дублировать факториалы целых чисел, так что теперь мы можем заключить, что Γ ( n ) = ( n - 1) ! если n ∈ N и Γ ( x ) вообще существует. Благодаря нашему соотношению для Γ ( x + n ) , если мы можем полностью понять Γ ( x ) для 0 < x ≤ 1, то мы поймем Γ ( x ) для всех значений x .
Наклон прямой, соединяющей две точки ( x 1 , log (Γ ( x 1 ))) и ( x 2 , log (Γ ( x 2 ))) , назовем ее S ( x 1 , x 2 ) , монотонно возрастает. в каждом аргументе с x 1 < x 2, поскольку мы оговорили, что log (Γ ( x )) выпуклый. Таким образом, мы знаем, что
После упрощения использования различных свойств логарифма и затем возведения в степень (которое сохраняет неравенства, поскольку экспоненциальная функция монотонно возрастает), мы получаем
Из предыдущей работы это расширяется до
и другие
Последняя строка - сильное заявление. В частности, это верно для всех значений n . То есть Γ ( x ) не больше правой части при любом выборе n, и аналогично Γ ( x ) не меньше левой части при любом другом выборе n . Каждое отдельное неравенство стоит особняком и может интерпретироваться как независимое утверждение. Из-за этого мы можем выбирать разные значения n для RHS и LHS. В частности, если мы оставим n для правой стороны и выберем n + 1 для левой, мы получим:
Из этой последней строки очевидно, что функция зажата между двумя выражениями - это общий метод анализа для доказательства различных вещей, таких как наличие предела или сходимость. Пусть n → ∞ :
поэтому левая часть последнего неравенства становится равной правой части в пределе и
зажат между ними. Это может означать только то, что
В контексте этого доказательства это означает, что
обладает тремя указанными свойствами, принадлежащими Γ ( x ) . Кроме того, доказательство дает конкретное выражение для Γ ( x ) . И последняя важная часть доказательства - помнить, что предел последовательности уникален. Это означает, что для любого выбора 0 < x ≤ 1 может существовать только одно возможное число Γ ( x ) . Следовательно, не существует другой функции со всеми свойствами, присвоенными Γ ( x ) .
Остающийся неясным моментом является вопрос о доказательстве того, что Γ ( x ) имеет смысл для всех x, где
существуют. Проблема в том, что наше первое двойное неравенство
построен с ограничением 0 < x ≤ 1 . Если, скажем, x > 1, то тот факт, что S монотонно возрастает, сделал бы S ( n + 1, n ) < S ( n + x , n ) , что противоречит неравенству, на котором построено все доказательство. Тем не мение,
который демонстрирует, как настроить Γ ( x ) на все значения x, где определен предел.
Смотрите также
Рекомендации
- "Теорема Бора – Моллерупа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Бора – Моллерупа" . MathWorld .
- «Доказательство теоремы Бора – Моллерупа» . PlanetMath .
- «Альтернативное доказательство теоремы Бора – Моллерупа» . PlanetMath .
- Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . Холт, Райнхарт, Уинстон.
- Розен, Майкл (2006). Экспозиция Эмиля Артина: Подборка . Американское математическое общество.
- Моллеруп Дж., Бор Х. (1922). Lærebog и Kompleks Analyze vol. III, Копенгаген .( Учебник по комплексному анализу )