Логарифмически выпуклая функция

В математике , А функция F является логарифмический выпуклым или Супервыпуклым ^[1] , если , то композиция из логарифма с F , сам по себе является функцией выпуклой .${\ displaystyle {\ log} \ circ f}$

Определение [ править ]

Пусть X является выпуклым подмножеством из реального векторного пространства , и пусть F  : X → R функция принимает неотрицательные значения. Тогда f равно:

• Логарифмически выпуклый, если выпуклый, и${\ displaystyle {\ log} \ circ f}$
• Строго логарифмически выпуклый, если строго выпуклый.${\ displaystyle {\ log} \ circ f}$

Здесь мы интерпретируем как .${\ displaystyle \ log 0}$${\ displaystyle - \ infty}$

Явно f является логарифмически выпуклым тогда и только тогда, когда для всех x ₁ , x ₂ ∈ X и всех t ∈ [0, 1] выполняются два следующих эквивалентных условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

Аналогично, f является строго логарифмически выпуклым тогда и только тогда, когда в двух приведенных выше выражениях выполняется строгое неравенство для всех t ∈ (0, 1) .

Разрешения выше определение F равным нулю, но если е логарифмически выпукло и обращается в нуль в любой точке X , то она равна нулю всюду в интерьере X .

Эквивалентные условия [ править ]

Если f - дифференцируемая функция, определенная на интервале I ⊆ R , то f является логарифмически выпуклой тогда и только тогда, когда для всех x и y в I выполняется следующее условие :

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

Это эквивалентно условию, что всякий раз, когда x и y находятся в I и x > y ,

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

Более того, f является строго логарифмически выпуклым тогда и только тогда, когда эти неравенства всегда строгие.

Если е дважды дифференцируемы, то она логарифмический выпукла тогда и только тогда, когда для всех х в I ,

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

Если неравенство всегда строгое, то функция f строго логарифмически выпуклая. Однако обратное неверно: возможно, что f является строго логарифмически выпуклой, и что для некоторого x мы имеем . Например, если , то f строго логарифмически выпукло, но .${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$

Кроме того, логарифмически выпукло тогда и только тогда, когда выпукло для всех . ^{[2] [3]}${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Достаточные условия [ править ]

Если они логарифмически выпуклые, а если неотрицательные действительные числа, то логарифмически выпуклые.${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$

Если - любое семейство логарифмически выпуклых функций, то является логарифмически выпуклым.${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$

Если выпуклая и логарифмически выпуклая и неубывающая, то логарифмически выпуклая.${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle g\circ f}$

Свойства [ править ]

Логарифмический выпуклая функция F является выпуклой функцией , поскольку она является композитом из возрастающих выпуклой функции и функции , которая является выпуклым по определению. Однако логарифмическая выпуклость - это строго более сильное свойство, чем выпуклость. Например, функция возведения в квадрат выпуклая, а ее логарифм - нет. Следовательно, функция возведения в квадрат не является логарифмически выпуклой.${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \log \circ f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$является логарифмически выпуклым, когда и строго логарифмически выпуклым, когда .${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p>1}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$строго логарифмически выпукло на для всех${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle p>0.}$
• Гамма-функция Эйлера является строго логарифмически выпуклой, если ограничена положительными действительными числами. Фактически, согласно теореме Бора – Моллерупа , это свойство можно использовать для характеристики гамма-функции Эйлера среди возможных расширений факториальной функции на вещественные аргументы.

См. Также [ править ]

• Логарифмически вогнутая функция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джон Б. Конвей. Функции одной комплексной переменной I , второе издание. Springer-Verlag, 1995. ISBN  0-387-90328-3 .
• "Выпуклость, логарифмическая" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Никулеску, Константин; Persson, Ларс-Эрик (2006), Выпуклые функции и их приложения - современный подход (. 1 - й изд), Springer , DOI : 10.1007 / 0-387-31077-0 , ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN  1613-5237.

• Монтель, Поль (1928), «Sur les fonctions convxes et les fonctions sousharmoniques», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 7 : 29–60.

Эта статья включает материал из логарифмически выпуклой функции PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .